高考数学一轮复习第四章第七节解三角形应用举例学案

这是一份高考数学一轮复习第四章第七节解三角形应用举例学案，共21页。
2．能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
3．通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算等数学核心素养．
自查自测
知识点 测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)东南方向与南偏东45˚方向相同．( √ )
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180˚.( × )
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.( × )
2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120˚，则A，B两点间的距离为____________km.
3 解析：在△ABC中，易得A＝30˚，
由正弦定理ABsin C＝BCsin A，得AB＝BCsin Csin A＝2×1×32＝3(km)．
核心回扣
解三角形的实际应用
考向1 测量距离问题
【例1】(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后由B地向北偏西60˚骑行23 km到达C地，再从C地向南偏西30˚骑行了5 km到达D地，求A地到D地的直线距离．
解：如图，由题意知，∠ABC＝150˚，AB＝2 km，BC＝23 km，∠BCD＝90˚.
在△ABC中，由余弦定理得AC＝AB2+BC2－2AB·BCcs ∠ABC
＝4+12+83×32＝27(km)，
由正弦定理得sin ∠ACB＝Asin ∠ABCAC＝714.
在△ACD中，cs ∠ACD＝cs (90˚＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－714，
由余弦定理得AD＝AC2+CD2－2AC·CDcs ∠ACD
＝28+25+2×27×5×714＝37(km)，
所以A地到D地的直线距离是37 km.
距离问题的类型及解法
(1)类型：①两点间既不可达也不可视，②两点间可视但不可达，③两点中一点可达另一点不可达．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦定理、余弦定理求解．
考向2 测量高度问题
【例2】如图，在热气球M上，观测到山顶C处的仰角为15˚，山脚A处的俯角为45˚，M到地面的距离MD＝100 m．已知∠BAC＝60˚，则山的高度BC为________m.
150 解析：依题意可知△AMD是等腰直角三角形，所以AM＝1002 m.
因为∠AMC＝60˚，∠BAC＝60˚，
所以∠MAC＝180˚－45˚－60˚＝75˚，∠ACM＝180˚－60˚－75˚＝45˚.
在△ACM中，由正弦定理得ACsin60˚＝AMsin45˚，所以AC＝AMsin45˚·sin 60˚，
所以BC＝AC·sin 60˚＝AMsin45˚·sin260˚＝100222×34＝150(m)．
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
1．(2024·烟台质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135˚，∠BDC＝∠DCA＝15˚，∠ACB＝120˚，则图中海洋蓝洞的口径为________.
解析：在△ADC中，∠DCA＝15˚，∠ADC＝150˚，所以∠DAC＝15˚，
由正弦定理ACsin∠ADC＝DCsin ∠DAC，得AC＝80sin 150˚sin 15˚＝406－24＝40(6+2)．
在△BCD中，∠BDC＝15˚，∠BCD＝135˚，所以∠DBC＝30˚，
由正弦定理CDsin ∠DBC＝BCsin ∠BDC，得BC＝80sin15˚sin30˚＝160sin 15˚＝40(6－2)．
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs ∠ACB，
得AB2＝1 600×(8＋43)＋1 600×(8－43)＋2×1 600×(6+2)×(6－2)×12
＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝805，故题图中海洋蓝洞的口径为805.
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30˚的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75˚的方向上，仰角为30˚，则此山的高度CD＝________m.
1006 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30˚，∠ABC＝180˚－75˚＝105˚，
故∠ACB＝45˚.
又AB＝600，故由正弦定理得600sin 45˚＝BCsin 30˚，解得BC＝3002.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30˚＝3002×33＝1006.
余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用
【例3】(2023·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝π3，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解：(1)(方法一)在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝π3，AD＝1，
所以S△ADC＝12AD·DC sin ∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC＝32，解得a＝4.
在△ABD中，∠ADB＝2π3，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·AD cs ∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×－12＝7，解得c＝7，
则cs B＝7+4－127×2＝5714，sin B＝1－cs2B＝1－57142＝2114，所以tanB＝sin BcsB＝35.
(方法二)在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝π3，AD＝1，
则S△ADC＝12AD·DC sin ∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC＝32，解得a＝4.
在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcs ∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得b＝3.
因为AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝π2，C＝π6.
如图，过点A作AE⊥BC于点E，
于是CE＝AC cs C＝32，AE＝AC sin C＝32，BE＝52，
所以在Rt△ABE中，tan B＝AEBE＝35.
(2)(方法一)在△ABD与△ACD中，由余弦定理得c2=14 a2+1－2×12 a×1×csπ－∠ADC，b2=14 a2+1－2×12 a×1×cs ∠ADC，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝23.
又S△ADC＝12×3×1×sin ∠ADC＝32，解得sin ∠ADC＝1，
而0