人教A版高考数学一轮总复习第4章第7节解三角形应用举例课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第4章第7节解三角形应用举例课时学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第七节　解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示 相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比. 解三角形应用问题的步骤二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．              (√)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为． (×)(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°． (×)(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是． (×)2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．如图，为测量一棵树OP的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.30＋30　解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝×－×＝.由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以树的高度OP＝PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.　解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝ km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.所以AB＝ km.所以A，B两点间的距离为 km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m　解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1　解三角形的实际应用——应用性考向1　测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋2××CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝(km)，BC＝BD＋CD＝(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km，而<＝＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD＝1 km，AC＝3 km”变为“BD＝200 m，CD＝300 m”，其他条件不变，求这条索道AC的长．解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得＝，所以＝.所以AD＝＝200 (m)．在△ABC中，DC＝300 m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100 m.故这条索道AC长为100 m.2．若将本例条件“∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km”变为“∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，AD＝100 m，作CO⊥AB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE＝50 m，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，所以∠ACD＝30°.由正弦定理可得AC＝＝100.在△ACE中，由正弦定理可得sin∠CEA＝＝－1，所以cos θ＝cos＝sin∠CEA＝－1. 距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．考向2　测量高度问题如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.22．6　解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ABD中，AB＝＝＝200.在Rt△ACD中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)A． B．C． D．D　解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，＝，即＝，则AD＝.在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)A．15米 B．25米  C．35米 D．45米B　解析：如图所示：由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB．设OP＝x，则OA＝x，OB＝x，在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，即(x)2＝502＋x2－2×50x×，所以x2＋25x－1 250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________米．80　解析：如图，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝＝＝40(＋)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝40(－)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝80(米)，则A，B两点间的距离为80米．考点2　正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝. (1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD 中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD中，由余弦定理可得，cos C＝＝＝.因为C为三角形的内角，故C＝，所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，故四边形ABCD的面积S＝.(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以sin∠BDC＝＝.因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，所以cos∠BDC＝，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点．(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)A．7 km B．8 kmC．9 km D．6 kmA　解析：在△ACD中，由余弦定理得cos D＝＝.在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝.因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，即＋＝0，解得AC2＝49.所以AC＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝.(1)求BD；(2)求△BCD周长的最大值．解：在△ABD中，设BD＝x，∠ABD＝α，则∠ADB＝2α，因为＝，所以cos α＝.由余弦定理得cos α＝＝.整理得x2－8x＋15＝0，解得x＝5或x＝3.当x＝3时，得∠ADB＝2α＝，与AD2＋BD2≠AB2矛盾，故舍去，所以BD＝5.(2)在△BCD中，设∠CBD＝β，所以＝＝，所以BC＝sin，CD＝sin β，所以BC＋CD＝·＝10sin≤10.所以△BCD周长的最大值为15.考点3　解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x)＝cos2x＋sin(π－x)sin－.(1)求函数f (x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f (A)＝－1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．解：(1)f (x)＝－sin xcos x－＝cos 2x－sin 2x＝－sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f (x)在[0，π]上的单调递减区间为和.(2)因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，所以－<2A－<.又f (A)＝－sin＝－1，所以2A－＝，即A＝.因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．又a＝2，所以bc≤4，所以S△ABC＝bcsin A≤.即△ABC的面积的最大值为.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x)＝sin 2x－cos2x－(x∈R)，设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f (C)＝0.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求△ABC的周长．解：(1)f (x)＝sin 2x－cos2x－＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.因为f (C)＝sin－1＝0且C为三角形内角，所以C＝.(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，则sin B－2sin A＝0.由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得cos＝＝，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋.