人教A版普通高中数学一轮复习第五章第三节平面向量的数量积及综合应用学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第五章第三节平面向量的数量积及综合应用学案，共27页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题以及其他一些实际问题．
自查自测,
知识点一 向量的夹角
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)向量a与b的夹角的范围是(0，π)．( × )
(2)在等边三角形ABC中， AB与BC的夹角为60°.( × )
(3)若向量a，b共线，则它们的夹角θ＝π.( × )
(4)若向量a，b的夹角θ＝π2，则a⊥b.( √ )
2．(教材改编题)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
C 解析：如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是向量AB与BC的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
核心回扣
1．定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围：向量夹角θ的范围是0≤θ≤π．
3．共线与垂直：当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π；当a与b垂直时，θ＝π2．
注意点：
分析两个向量的夹角，要求两个向量的起点重合，不重合时可以通过“平移”实现．
知识点二 平面向量的数量积
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1B．3
C．3D．33
C 解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cs 30°＝2×3×32＝3.
2．(教材改编题)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB+AC，|OA|＝|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A．14BCB．34BC
C．－14BCD．－34BC
A 解析：由2AO＝AB+AC知，O为BC的中点，根据题意作下图．
因为O为△ABC的外接圆圆心，
所以OA＝OB＝OC.
因为|OA|＝|AB|，所以AB＝OB＝OA＝OC，
所以△AOB为正三角形，∠ABO＝60°.
所以BA在BC上的投影向量为12BO＝14BC.
1．数量积：a·b＝|a||b|cs θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角)．零向量与任一向量的数量积为0．
2.
投影向量：如图，OM＝a，ON＝b, MM1⊥ON，OM1是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，则OM＝|a|·cs 〈a，b〉e＝|a|cs 〈a，b〉bb．
3．数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于向量a的长度与向量b在向量a的方向上的投影的乘积．
4．运算律：
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
知识点三 平面向量数量积的性质
1．若向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，则a·b的值等于 ；a与b夹角的余弦值等于 ．
5 55 解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，4)，所以a·b＝1×(－3)＋2×4＝5，|a|＝12+22＝5，|b|＝-32+42＝5，
所以cs 〈a，b〉＝a·bab＝55×5＝55．
2．(教材改编题)已知向量a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，若a⊥b，则t＝ ．
－23 解析：因为a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，所以b＝a－(a－b)＝(1，3)．因为a⊥b，所以a·b＝(2，t)·(1，3)＝2＋3t＝0，解得t＝－23．
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论：
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π.
应用1 已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B 解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角；若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
应用2 已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值为 ．
－1313 解析：由题意知，p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－1，
|p|＝a+b2＝13，|q|＝a-b2＝1，所以cs θ＝p·qp·q＝－1313．

平面向量数量积的运算
1．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝( )
A．5B．3
C．25D．5
B 解析：(方法一)以{AB，AD}为基底向量，可知AB＝AD＝2，AB·AD＝0，则EC＝EB+BC＝12AB+AD，ED＝EA+AD＝－12AB+AD，所以EC·ED＝12AB+AD·-12AB+AD＝－14AB2＋AD2＝－1＋4＝3.
(方法二)如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，
可得EC＝(1，2)，ED＝(－1，2)，
所以EC·ED＝－1＋4＝3.
(方法三)由题意可得
ED＝EC＝5，CD＝2.
在△CDE中，由余弦定理可得
cs ∠DEC＝DE2+CE2-DC22DE·CE＝5+5-42×5×5＝35，
所以EC·ED＝ECEDcs ∠DEC＝5×5×35＝3.
2．(2024·青岛模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，则CD·CB＝( )
A．－18B．－63
C．18D．63
C 解析：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，
得CB＝23，CA·CB＝0.
所以CD·CB＝(CA+AD)·CB
＝CA·CB＋32AB·CB
＝32(CB-CA)·CB＝32CB2＝18.
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4．若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC＝ ．
12 解析：(方法一：几何法)因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC-AB·AD＝AB·AD，所以AB·DC＝AB·AD.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB|＝|AB|·|AD|cs π4，化简得|AD|＝22.故AD·AC＝AD·(AD+DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(22)2＋22×2cs π4＝12.
(方法二：坐标法)如图，建立平面直角坐标系．
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由AB·AC＝2AB·AD，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，整理得n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD·AC＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
平面向量数量积的性质
【例1】(1)已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝3，则|a＋2b|等于( )
A．1＋23B．19
C．13+43D．32
B 解析：根据向量的运算法则和数量积的定义，可得|a＋2b|＝a+2b2＝a2+4a·b+4b2＝12+4×1×3×cs30°+4×32＝19.
(2)(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cs 〈a＋b，a－b〉＝( )
A．117B．1717
C．55D．255
B 解析：因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则a+b＝52+32＝34，a-b＝12+-12＝2，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cs 〈a＋b，a－b〉＝a+b·a-ba+ba-b＝234×2＝1717．
(3)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1D．λμ＝－1
D 解析： 因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．
由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，
即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，
整理得λμ＝－1.
1．求平面向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2.
(2)几何法：利用向量的几何意义．
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝a·bab．
(2)坐标法．
3．两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝37，则a与b的夹角为( )
A．π3B．π6
C．π4D．2π3
D 解析：因为|2a－b|＝37，
即4a2＋b2－4a·b＝37，
即16＋9－4×2×3×cs 〈a，b〉＝37，
解得cs 〈a，b〉＝－12．
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π3．
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．
23 解析：(方法一)|a＋2b|
＝a+2b2
＝a2+4a·b+4b2
＝22+4×2×1×cs60°+4×12
＝12＝23.
(方法二)由|a|＝|2b|＝2及向量a，b的夹角为60°可知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，
则|a＋2b|＝|OC|.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足a-b＝3，a+b＝2a-b，则b＝ ．
3 解析：(方法一)因为a+b＝2a-b，即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0.
又因为a-b＝3，即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以b＝3.
(方法二)设c＝a－b，则c＝3，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.
由题意可得(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即b＝c＝3.
平面向量数量积的应用
考向1 平面向量与三角函数
【例2】已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求α；
(2)若|m－n|＝2，求cs 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cs2α＝0，
即sinα＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z.
(2)若|m－n|＝2，则(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cs α)2＝2，
整理得4sin2α＋4－8sinα＋4cs2α＝2，
即8－8sinα＝2，可得sin α＝34．
所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－18．
[变式] 本例中条件改为“m＝(sinα－2，－cs α－1)，n＝(－sin α，cs α)”，若m∥n，求tan α.
解：由m∥n得(－sin α)(－cs α－1)＝(sin α－2)·cs α，化简得sin α＝－2cs α，
所以tan α＝－2.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解．
考向2 平面向量的最值问题
【例3】在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，若点P(cs θ，sin θ)，则|PA+PB|的最大值为 ．
25＋2 解析：由题意知，直线x＋2y－4＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，
则A(4，0)，B(0，2)．
又P(cs θ，sin θ)，
所以PA＝(4－cs θ，－sin θ)，
PB＝(－cs θ，2－sin θ)，
有PA+PB＝(4－2cs θ，2－2sin θ)，
则|PA+PB|
＝4-2csθ2+2-2sinθ2
＝24-8sinθ+2csθ
＝24-85sinθ+φ，其中tan φ＝2.
当sin (θ＋φ)＝－1时，|PA+PB|取得最大值，
且最大值为24+85＝26+25＝25+12＝25＋2.
向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量，构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
1．在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点 P的直线与 AB，AC所在的直线分别交于点 M，N.若AM＝xAB，AN＝yAC(x＞0，y＞0)，则2x＋y 的最小值为( )
A．3B．32
C．1D．13
A 解析：由题意知，AP＝AB+BP＝AB＋BC3＝AB＋AC-AB3＝2AB3＋AC3．
又AM＝xAB，AN＝yAC(x＞0，y＞0)，
所以AP＝2AM3x＋AN3y．
由M，P，N三点共线，得23x＋13y＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)23x+13y＝53＋2x3y＋2y3x≥53＋22x3y·2y3x＝3，当且仅当x＝y时，等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
2．(2024·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
A．－12B．－1
C．－2D．－4
B 解析：设MC＝λAC(λ∈[0，1])，则MB＝MA+AB＝－(1－λ)AC+AB，
所以MB·MC＝[－(1－λ)AC+AB]·(λAC)＝－λ(1－λ)AC2＋λAB·AC＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cs 60°＝3λ(3λ－2)＝9λ-132－1.由二次函数的性质知，当λ＝13时，MB·MC取得最小值为－1.
故MB·MC的最小值是－1.
平面向量与三角形的“四心”
近几年的高考经常考查向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，考查考生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想．在高考命题中，三角形的“四心”显得非常重要．平面几何中三角形的“四心”，即三角形的内心、外心、重心、垂心．在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的“四心”的向量表示：其一可以使我们对三角形中的“四心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识. 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想．
[典题展示]
(1)已知点M在△ABC所在的平面内，满足OM＝OA＋λABABsinB+ACACsinC(λ∈R)，则动点M的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心B．垂心
C．外心D．重心
思路展示 令△ABC边BC上的高为h，则有|AB|sin B＝|AC|sin C＝h，令边BC的中点为D，则AB+AC＝2AD，
因此，AM＝OM-OA＝λABh+ACh＝λh(AB+AC)＝2λhAD，即AM∥AD，
所以动点M的轨迹一定通过△ABC的重心．故选D.
(2)已知O为△ABC的外心，3OA＋4OB＋5OC＝0，则cs ∠BAC的值为( )
A．255B．55
C．1010D．105
思路展示 因为O为△ABC的外心，
所以|OA|＝|OB|＝|OC|.
设|OA|＝r，
又4OB＋5OC＝－3OA，
所以16r2＋25r2＋40r2cs ∠BOC＝9r2，
所以cs ∠BOC＝－45．
又∠BOC＝2∠BAC，
所以cs 2∠BAC＝2cs2∠BAC－1＝－45．又0＜∠BAC＜π2，
所以cs∠BAC＝1010．故选C.
(3)若H为△ABC所在平面内一点，且HA2＋BC2＝HB2＋CA2＝HC2＋AB2，则点H是△ABC的( )
A．重心B．外心
C．内心D．垂心
思路展示 由HA2＋BC2＝HB2＋CA2得HA2＋(BH+HC)2＝HB2＋(CH+HA)2，得BH·HC＝CH·HA，
所以HC·BA＝0，即HC⊥BA.
由HA2＋BC2＝HC2＋AB2得HA2＋(BH+HC)2＝HC2＋(AH+HB)2，
得BH·HC＝AH·HB，
所以BH·AC＝0，即BH⊥AC.
由HB2＋CA2＝HC2＋AB2，得HB2＋(CH+HA)2＝HC2＋(AH+HB)2，得CH·HA＝AH·HB，
所以HA·CB＝0，即HA⊥CB.所以点H为△ABC的垂心．故选D.
三角形“四心”的向量表示
(1)在△ABC中，若|OA|＝|OB|＝|OC|或OA2＝OB2＝OC2，则点O是△ABC的外心．
(2)在△ABC中，若GA+GB+GC＝0，则点G是△ABC的重心．
(3)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若OP-OA＝λAB+12BC，λ∈R，则直线AP过△ABC的重心．
(4)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O为△ABC的垂心．
(5)在△ABC中，若|BC|·OA＋|AC|·OB＋|AB|·OC＝0，则点O为△ABC的内心．
(6)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若OP＝OA＋λABAB+ACAC(λ∈R)，则直线AP过△ABC的内心．

[试题呈现]
骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中圆A(前轮)，圆D (后轮)的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，AC·BP的最大值为( )
A．18B．24
C．36D．48
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：建立合适的坐标系，通过坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求最值．
C 解析：如图，以E为坐标原点，AD为x轴，建立平面直角坐标系．
由题意可得A(－4，0)，B(－2，23)，C(2，23)．
圆D的方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋3cs α，3sin α)(α为DP与x轴正方向的夹角)，
则AC＝(6，23)，BP＝(6＋3cs α，3sin α－23)，
AC·BP＝6(6＋3cs α)＋23(3sin α－23)
＝63cs α＋6sin α＋24
＝1212sinα+32csα＋24
＝12sin α+π3＋24.
易知当sin α+π3＝1时，AC·BP取得最大值为36.
思路参考：选取合适的基底把AC和BP表示出来，利用数量积的几何意义求解．
C 解析：设AC与DP的夹角为θ.AC·BP＝(AB+AE)·(BD+DP)＝(AB+AE)·(2AE-AB+DP)＝(AB+AE)·(AE-AB)＋(AB+AE)·AE＋(AB+AE)·DP＝0＋43×4×32＋43×3cs θ≤36.
当DP与(AB+AE)即AC同向时，等号成立．
思路参考：同样是基底法，你还有别的求最值的方法吗？
C 解析：设AC与DP的夹角为θ.AC·BP＝AC·(BD+DP)＝AC·BD+AC·DP＝43×43×12＋43×3cs θ≤36.
当DP与AC同向时，等号成立．
思路思考：能否借助平面向量数量积的几何意义，利用投影向量解决？一个向量在另外一个向量方向上的投影向量满足什么条件时数量积有最大值？
C 解析：由题可知，当BP在AC上的投影的数量最大时，AC·BP有最大值．
过点P作PM⊥AC，如图所示，设AC与BE相交于点O，
则有AC⊥PM.
因为BP在AC上的投影的数量为|OM|，所以当AC∥DP时，|OM|最大，此时|OM|＝33，
故AC·BP＝|AC|·|OM|＝43×33＝36.
课时质量评价(三十)
1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2B．－1
C．1D．2
C 解析：由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.
又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.
2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为( )
A．－5eB．5e
C．－2eD．2e
C 解析：设a与b所成的角为θ，
则cs θ＝a·bab＝-635＝－255，
故a在b上的投影向量为(|a|cs θ)e＝－2e.
3．(多选题)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，则下列说法正确的是( )
A．m·n＝－1
B．m与n的夹角为2π3
C．|m－n|＝7
D．(m＋n)⊥(m－n)
ABC 解析：因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以|m|2＋|n|2＋2m·n＝3，
即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；
因为cs 〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤〈m，n〉≤π，
所以〈m，n〉＝2π3，故B正确；
因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正确；
因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误．
4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6B．－5
C．5D．6
C 解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即a·cac＝b·cbc，
即25+3t5＝3＋t，解得t＝5.
5．(2024·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝1534，则AB边上的中线长为( )
A．49B．7
C．494D．72
D 解析：由S△ABC＝12ab sin C＝12×3×b×32＝1534，得b＝5.
不妨设AB的中点为M，则CM＝12(CA+CB)，
故|CM|＝12W1CA+CB2
＝12W1*23。16*2ZQCA2+CB2+2CACBcs60°
＝1225+9+2×5×3×12＝72，
即AB边上的中线长为72．
6．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为 ．
2π3 解析：由b＝(－1，0)，得|b|＝1.
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
即a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cs 〈a，b〉＋2|b|2＝0.
因为|a|＝4，所以4cs 〈a，b〉＋2＝0，所以cs 〈a，b〉＝－12．
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π3．
7．已知AB＝(cs23°，cs67°)，BC＝(2cs68°，2cs22°)，则△ABC的面积为 ．
22 解析：根据题意知AB＝(cs23°，cs67°)，
所以BA＝(－cs23°，－sin23°)，则|BA|＝1.
又因为BC＝(2cs68°，2cs22°)＝(2cs68°，2sin68°)，
所以|BC|＝2.
由BA·BC＝－2cs23°cs68°－2sin23°·sin 68°＝－2(cs23°cs68°＋sin23°·sin68°)＝－2×cs45°＝－2，
得csB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135°.故S△ABC＝12|BA||BC|sinB＝12×1×2×22＝22．
8．在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC＝0，求t的值．
解：(1)由题意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，
则AB+AC＝(2，6)，AB-AC＝(4，4)，
所以|AB+AC|＝210，|AB-AC|＝42，
故所求的两条对角线的长分别为210，42.
(2)由题意可得，OC＝(－2，－1)，
AB-tOC＝(3＋2t，5＋t)．
由(AB-tOC)·OC＝0，
得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
即－6－4t－5－t＝0，
从而5t＝－11，解得t＝－115．
9．(多选题)(数学与文化)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有( )
A．OA·OD＝－22
B．OB+OH＝－2OE
C．AH·HO＝BC·BO
D．AH·AB＝1－2
ABD 解析：对于A，OA·OD＝1×1×cs3π4＝－22，故正确；
对于B，OB+OH＝2OA＝－2OE，故正确；
对于C，|AH|＝|BC|，|HO|＝|BO|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误；
对于D，AH·AB＝|AB|2cs3π4，由余弦定理可得|AB|2＝2－2，所以AH·AB＝(2－2)×-22＝1－2，故正确．
10．(多选题)已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs (α－β)，sin (α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C．OA·OP1＝OP2·OP3
D．OA·OP3＝OP1·OP2
ABD 解析：由题意OA＝(1，0)，OPi的坐标等于Pi的坐标(i＝1，2，3)，
|OP1|＝|OP2|＝1，A正确；
|AP2|＝csβ-12+sinβ-02＝2-2csβ，
|P1P3|＝csα-β-csα2+sinα-β-sinα2＝2-2csαcsα-β+sinαsinα-β
＝2-2csβ，
所以|AP2|＝|P1P3|，B正确；
OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs (α－β)＋sin βsin (α－β)＝cs (2β－α)，C错误；
OA·OP3＝cs (α－β)，OP1·OP2＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs (α－β)，D正确．
11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是( )
A．[－5，3]B．[－3，5]
C．[－6，4]D．[－4，6]
D 解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4)．
设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，
所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x-322＋(y－2)2－254．
又x-322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上的点到点32，2距离的平方，圆心(0，0)到点32，2的距离为52，所以PA·PB的最小值为52-12－254＝－4，PA·PB的最大值为52+12－254＝6，
即PA·PB∈[－4，6].故选D.
12．(数学与生活)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM·PN的取值范围是( )
A．[1，2]B．[2，3]
C．32，4D．32，3
B 解析：如图所示，取AF的中点Q，连接OA，OF，OQ，OP.根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝3.
又PM·PN＝(PO+OM)·(PO+ON)＝|PO|2＋PO·ON+PO·OM+OM·ON＝|PO|2＋PO·(ON+OM)－1＝|PO|2－1.
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为3，此时|PO|2－1＝2.
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|PO|2－1＝3.
故PM·PN的取值范围是[2，3].
13．在△ABC中，AB＝(3sin x，sin x)，AC＝(－sin x，cs x)．
(1)设f(x)＝AB·AC，若f(A)＝0，求角A的值；
(2)若对任意的实数t，恒有|AB-tAC|≥|BC|，求△ABC面积的最大值．
解：(1)f(x)＝AB·AC＝－3sin2x＋sinx cs x＝－3× 1-cs2x2＋sin2x2＝sin 2x+π3－32．
因为f(A)＝0，所以sin 2A+π3＝32．
又因为A∈(0，π)，所以2A＋π3∈π3，7π3，
所以2A＋π3＝2π3，所以A＝π6．
(2)如图，设AD＝tAC，
则AB-tAC＝DB，
即|DB|≥|BC|恒成立，
所以AC⊥BC.
因为|AB|＝4sin2x＝2-2cs2x|AC|＝1，
所以|BC|＝W1*23。7ZQAB2-AC2≤3.
所以△ABC的面积为S＝12BC·AC≤32．
当且仅当cs 2x＝－1，
即x＝π2＋kπ，k∈Z时等号成立．
所以△ABC面积的最大值为32．
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝a·a
|a|＝√(x_(1)^(2)+y_(1)^(2))
夹角
cs θ＝a·bab
cs θ＝
x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|JP
x1x2+y1y2≤x12+y12x22+y22)
读
求AC·BP的最大值
想
1.平面向量的数量积.2.求最值
算
AC ，BP以及AC·BP
思
转化与化归，建立坐标系，利用数量积以及数量积的几何意义，将数量积的最值问题转化为三角函数求最值；数形结合，选取合适的基底，结合投影向量，利用几何意义求最值