人教A版普通高中数学一轮复习第五章第二节平面向量的基本定理及坐标表示学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第五章第二节平面向量的基本定理及坐标表示学案，共20页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

自查自测,
知识点一 平面向量基本定理
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底．( √ )
(2)基底中的向量可以是零向量．( × )
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．( √ )
(4)e1，e2是平面内两个不共线的向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.( √ )
2．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB+yAC，则x＝ ，y＝ ．
12 －16 解析：如图．
因为MN＝MC+CN＝13AC＋12CB＝13AC＋12(CA+AB)＝12AB－16AC，所以x＝12，y＝－16．
核心回扣
平面向量基本定理
注意点：
基底{e1，e2} 必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．
知识点二 平面向量的坐标运算
1．(教材改编题)设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A．(6，3)B．(－2，－6)
C．(2，1)D．(7，2)
B 解析：2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6)．
2．(教材改编题)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 ．
(1，5) 解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4=5-x，1=6-y，解得x=1，y=5.
1．向量加法、减法、数乘运算及向量的模
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
(3)λa＝(λx1，λy1)；
(4)|a|＝x12+y12.
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
AB＝(x2－x1，y2－y1)，
AB＝x2-x12+y2-y12.
知识点三 平面向量共线的坐标表示
若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，则下列结论成立的是( )
A．a－c与b共线B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线D．a＋b与c共线
C 解析：a－c＝(4，2)，因为4×7－2×5＝18≠0，所以a－c与b不共线；
b＋c＝(7，11)，因为7×6－11×6＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；
b－c＝(3，3)，因为3×6－3×6＝0，所以a与b－c共线；
a＋b＝(11，13)，因为11×4－13×2＝18≠0，所以a＋b与c不共线．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
2．当x2y2≠0时，a∥b等价于x1x2＝y1y2．
【常用结论】
1．如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1=μ1，λ2=μ2，即基底给定，同一向量的分解形式唯一．特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1+x22，y1+y22．
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33．
应用1 在△ABC中，M为AC的中点，若AB＝λBM+μBC(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是( )
A．λ＋μ＝1B．λ－μ＝3
C．λ＋2μ＝0D．2λ－μ＝0
C 解析：因为M为AC的中点，
所以BM＝12BA＋12BC，所以AB＝－2BM+BC.
又AB＝λBM+μBC(λ，μ∈R)，所以λ＝－2，μ＝1，所以λ＋2μ＝0.
应用2 已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝ ．
3 解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线．
由平面向量基本定理得3x-4y=6，2x-3y=3，
解得x=6，y=3，
所以x－y＝3.
平面向量的坐标运算
1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为( )
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
D 解析：设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，
2AB＝(2，－2)．
根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即x=2， y-1=-2，解得x=2，y=-1.
所以点D的坐标为(2，－1)．
2．(2024·温州模拟)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
A．-12，5B．12，5
C．-12，-5D．12，-5
C 解析： 因为在平行四边形ABCD中，AB+AD＝AC＝2AO＝2OC，所以CO＝－AO＝－12(AD+AB)＝－12(1，10)＝-12，-5．
3．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A．c＝2a－3bB．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2bD．c＝3a－2b
D 解析：建立如图所示平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，
所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)．
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
则m-2n=7， m+3n=-3，解得m=3， n=-2，
所以c＝3a－2b.
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
平面向量共线的坐标表示
【例1】(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于( )
A．－1B．0
C．1D．2
B 解析：因为c＝a＋kb＝(3，1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝π3，若m＝(c－6，a－b)，n＝(a－b，c＋6)，且m∥n，则△ABC的面积为( )
A．3B．932
C．332D．33
C 解析：因为m＝(c－6，a－b)，n＝(a－b，c＋6)，且m∥n，
所以(a－b)2＝(c－6)(c＋6)，化为a2＋b2－c2＝2ab－6，
所以cs π3＝a2+b2-c22ab＝2ab-62ab＝12，解得ab＝6，
所以S△ABC＝12ab sin C＝12×6×32＝332．
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”解题．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于( )
A．－2B．－1
C．－12D．12
A 解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
所以2a＋b＝(4，2)．
又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，
所以2m＋4＝0，解得m＝－2.
2．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
－23 解析：由题意，得AB＝OB-OA＝(4－k，－7)，AC＝OC-OA＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
平面向量基本定理的应用
考向1 用已知基底表示向量
【例2】如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点．设AD＝a，AB＝b，试用{a，b}为基底表示DC，EF.
解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以DC＝AF＝12AB＝12b，
EF＝ED+DA+AF
＝－12DC-AD＋12AB
＝－12×12b－a＋12b
＝14b－a.
[变式] 本例中，若设BC的中点为G，则AG＝ ．
12a＋34b 解析：BC＝BA+AD+DC＝－b＋a＋12b＝a－12b，
所以AG＝AB+BG＝AB＋12BC＝b＋12a－14b＝12a＋34b.
平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
考向2 解析法(坐标法)在向量中的应用
【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点．若CA＝λCE+μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A．65B．85
C．2D．83
B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
所以CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)．
因为CA＝λCE+μDB，
所以(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
所以-2λ+μ=-2，λ+2μ=2， 解得λ=65，μ=25．
故λ＋μ＝85．
应用平面向量基本定理解题的两种思路
(1)基向量法．(2)坐标法．
能用坐标法解决的问题，一般不用基向量法．
考向3 利用平面向量基本定理求参数的值(或范围)
【例4】在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝23CA＋13CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.又CM＝tCP，则t的值为 ．
34 解析：如图所示．
因为A，M，Q三点共线，
所以设CM＝xCQ＋(1－x)CA＝x2CB＋(1－x)CA.
又因为CP＝23CA＋13CB，CM＝tCP，
所以x2=13t， 1-x=23t，解得t＝34．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．(2024·青岛质检)在△ABC中，AN＝14NC，若P是直线BN上的一点，且满足AP＝mAB＋25AC，则实数m的值为( )
A．－4B．－1
C．1D．4
B 解析：根据题意，设BP＝nBN(n∈R)，
则AP＝AB+BP＝AB+nBN＝AB＋n(AN-AB)＝AB＋n15AC-AB＝(1－n)AB＋n5AC.
又AP＝mAB＋25AC，
所以1-n=m，n5=25， 解得n=2，m=-1.
2．如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD＝λAC+μAE，则λ－μ的值为( )
A．3B．2
C．1D．－3
D 解析：以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设正方形的边长为1，则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，E12，1，所以AE＝12，1，AC＝(1，1)，AD＝(0，1)．
因为AD＝λAC+μAE＝λ+μ2，λ+μ＝(0，1)，
所以λ+μ2=0，λ+μ=1，解得λ=-1，μ=2. 所以λ－μ＝－3.
课时质量评价(二十九)
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1－2e2与－e1＋2e2
D 解析：对于A，设e1＋e2＝λe1，则λ=1，1=0，无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ=1， -2=2λ，无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ=1， 1=-λ，无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．
2．(2024·南京模拟)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A．5B．6
C．17D．26
A 解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
所以b＝(－2，－4)．
因为3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，
所以|3a＋b|＝12+22＝5.
3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC＝0，则( )
A．PA＝－13BA＋23BC
B．PA＝23BA＋13BC
C．PA＝－13BA－23BC
D．PA＝23BA－13BC
D 解析：由题意知PA+PB+PC＝0，所以PA＋(AB-AP)＋(AC-AP)＝0.
所以PA＋(AB-AP)＋(BC-BA-AP)＝0.
整理得3PA+BC－2BA＝0，
即3PA＝2BA-BC.
所以PA＝23BA－13BC.
4．已知E为△ABC所在平面内的点，且BA＋12BC＝2BE.若CE＝mAB+nAC，则nm＝( )
A．－3B．3
C．13D．－13
A 解析：因为BE＝BC+CE，
所以BA＋12BC＝2BE＝2(BC+CE)．
所以2CE＝－AB－32BC＝－AB－32(AC-AB)＝12AB－32AC.
所以CE＝14AB－34AC.
所以m＝14，n＝－34，故nm＝－3.
5．已知向量a＝12，14，b＝(－2，m)，若a与b共线，则|b|＝ ．
5 解析：因为向量a＝12，14与b＝(－2，m)共线，所以12×m＝14×(－2)，解得m＝－1.所以b＝(－2，－1)，故|b|＝-22+-12＝5.
6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝ ．
0 解析：由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，
m－2n＝(－λ－3，－3)．
因为(2m＋n)∥(m－2n)，
所以－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.
7．在△AOB中，AC＝15AB，D为OB的中点，若DC＝λOA+μOB，则λμ的值为 ．
－625 解析：因为AC＝15AB，
所以AC＝15(OB-OA)．
因为D为OB的中点，所以OD＝12OB，
所以DC＝DO+OC＝－12OB＋(OA+AC)＝－12OB+OA＋15(OB-OA)＝45OA－310OB，
所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625．
8．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)(方法一)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以-6m+n=5， -3m+8n=-5，解得m=-1，n=-1.
(方法二)因为a＋b＋c＝0，
所以a＝－b－c.
又a＝mb＋nc，
所以mb＋nc＝－b－c，
所以m=-1，n=-1.
(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM-OC＝3c，
所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M(0，20)，
因为CN＝ON-OC＝－2b，
所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)，
所以MN＝(9，－18)．
9．(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2B．12
C．1D．－1
ABD 解析：点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量AB，BC不共线．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB-OA＝(－3，4)，BC＝OC-OB＝(t＋5，t－9)．若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，所以t≠1.
10．(2024·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB+λCA，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则S1S2等于( )
A．λ6B．λ2
C．13D．23
D 解析：依题意作图，如图所示．
设BD＝μBA＝μ(CA-CB)＝－μCB+μCA.
由条件BD＝12CB＋λ2CA，
得μ＝－12，λ2＝μ＝－12，BD＝－12BA，
所以点D在AB的延长线上，并且AD＝32AB，
所以S1S2＝ABAD＝23．
11．(多选题)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝13DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB+μAC(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A．λμ的最小值为16
B．λμ的最大值为116
C．1λ＋14μ的最大值为16
D．1λ＋14μ的最小值为4
BD 解析：因为D为AC上一点且满足AD＝13DC，所以AC＝4AD.
因为AP＝λAB+μAC，所以AP＝λAB＋4μAD.
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1.
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2λ·4μ＝4λμ，解得λμ≤116，当且仅当λ＝4μ＝12时等号成立，故λμ的最大值为116，故A错误，B正确．
1λ＋14μ＝1λ+14μ(λ＋4μ)＝2＋λ4μ＋4μλ≥2＋24μλ·λ4μ＝4，当且仅当λ＝4μ＝12时等号成立，故1λ＋14μ的最小值为4，故C错误，D正确．
12．(数学与文化)我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，在“赵爽弦图”中，若BE＝λEF，BF＝1625BC＋1225BA，则实数λ＝( )
A．2B．3
C．4D．5
B 解析： 建立如图所示的直角坐标系．
令BF＝m，EF＝n，
则A(－n，m)，B(－m，0)，C(0，n－m)，
BF＝(m，0)，BC＝(m，n－m)，BA＝(m－n，m)．
所以BF＝1625BC＋1225BA＝2825m-1225n，1625n-425m，
则有m=2825m-1225n，0=1625n-425m， 解得m＝4n.
所以λ＝BEEF＝3nn＝3.
13．如图，在△ABC中，AM＝34AB＋14AC.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB+yAC(x，y∈R)，求x＋y的值．
解：(1)在△ABC中，
由AM＝34AB＋14AC，
得4AM－3AB-AC＝0，
即3(AM-AB)＝AC-AM.
所以3BM＝MC，
即点M是线段BC上的靠近点B的四等分点，
所以△ABM与△ABC的面积之比为14．
(2)因为AM＝34AB＋14AC，
AP＝xAB+yAC(x，y∈R)，
AP∥AM，AN＝12AB，
所以设AP＝λAM＝3λ4AB＋λ4AC＝3λ2AN＋λ4AC.
因为N，P，C三点共线，所以3λ2＋λ4＝1，
解得λ＝47，x＝3λ4＝37，y＝14λ＝17，
故x＋y＝47．
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底