初中数学人教版七年级下册5.2.1 平行线同步训练题

这是一份初中数学人教版七年级下册5.2.1 平行线同步训练题，共29页。
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
1．（2021秋•威宁县期末）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（ ）
A．61°B．60°C．59°D．58°
2．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
3．（2022•江口县三模）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
4．（2022春•郯城县期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）
∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90°
C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠2
5．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
6．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
7．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
8．（2019春•武昌区期中）如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）
A．∠A+∠P+∠C＝90°B．∠A+∠P+∠C＝180°
C．∠A+∠P+∠C＝360°D．∠P+∠C＝∠A
9．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
10．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
11．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
13．（2021春•永川区校级月考）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
14．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？试说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．
15．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 120 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
16．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
17．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
18．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
19．（2021秋•香坊区期末）已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．
20．（2022秋•南岗区校级月考）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
（培优特训）专项5.4 平行线模型-铅笔模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
1．（2021秋•威宁县期末）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（ ）
A．61°B．60°C．59°D．58°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠A+∠2，
＝28°+31°
＝59°．
故选：C．
2．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
3．（2022•江口县三模）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
【答案】B
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠BAD＝∠CAD＝55°，
∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故选：B．
4．（2022春•郯城县期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）
∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90°
C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠2
【答案】C
【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴∠1＝∠2，
∴选项D不符合题意；
∵∠1＝∠2，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴选项A不符合题意；
∴∠2+∠3＝90°，
∴选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴∠3+∠4＝180°，但∠3≠∠2
∴∠2+∠4≠180°
选项C符合题意；
故选：C．
5．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
【答案】D
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
6．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
7．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（ ）度．
A．90﹣+mB．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+
【答案】D
【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠BAE＝∠AEM，∠MEC＝∠ECD，∠FBC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠FBC＝180°﹣n°，
∵∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠BAE＝∠BAD＝m°，∠ECD＝∠BCD＝（180°﹣n°），
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝∠BAE+∠ECD＝m°+（180°﹣n°）＝90°+m°﹣n°，
故选：D．
8．（2019春•武昌区期中）如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）
A．∠A+∠P+∠C＝90°B．∠A+∠P+∠C＝180°
C．∠A+∠P+∠C＝360°D．∠P+∠C＝∠A
【答案】C
【解答】解：连接AC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵∠P+∠PAC+∠PCA＝180°，
∴∠BAP+∠P+∠DCP＝∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA＝360°．
故选：C．
9．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 ．
【答案】54°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝36°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠FED﹣∠D＝54°，
故答案为：54°．
10．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 ．
【答案】214°
【解答】解：如图：过点B作BD∥l1，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∴∠3+∠CBD＝180°，
∴∠4+∠ABD+∠CBD+∠3＝360°，
∴∠4+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝34°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝146°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝214°，
故答案为：214°．
11．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝ ．
【答案】210°
【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝150°，
∵∠2+∠3+∠4＝360°，
∴∠2+∠3＝360°﹣∠4＝360°﹣150°＝210°．
故答案为：210°．
（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
13．（2021春•永川区校级月考）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【答案】540°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．
故答案为：540°．
14．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？试说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．
【解答】（1）解：AD与EC平行，理由如下：
∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝82°，
∴∠BDC＝82°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC＝∠BDC＝41°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝41°（已证），
又∵DA⊥FA，
∴∠FAD＝90°（垂直定义），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣41°＝49°．
15．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 120 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
16．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∵∠B＝135°，∠D＝145°，
∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°，
∴∠BCD＝80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，
如上图，∵CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，
即∠B+∠BCD+∠D＝360°．
17．（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
18．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
19．（2021秋•香坊区期末）已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，
∴∠ABV＝∠CDV，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，由（1）知：AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDR，
∵BE∥DF，
∴∠EBD＝∠DBF，
∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，
∴∠ABE＝∠FDR＝35°，
∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；
（3）如图3，设∠MEN＝α，
∵MG∥EN，
∴∠GME＝∠MEN＝α，
∵∠GME＝∠GEM＝α，
∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，
∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝35°+4α，
∵EB平分∠DEN，
∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，
∴∠DEM＝α+80°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，
∵∠EDC＝∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），
∵∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，
∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，
解得：α＝10°，
∴∠BDE＝（145°﹣4α）＝（145°﹣4×10°）＝90°，
∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，
∵MH⊥UV，
∴∠MHD＝90°，
∴∠EMH＝360°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝80°．
20．（2022秋•南岗区校级月考）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，
∵CS∥MN，
∴∠NAC＝∠ACS，
∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，
∴∠BCS＝∠CBQ，
∴PQ∥CS，
∴MN∥PQ；
（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：
∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，
∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，
又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．
∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠NAC，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD
＝∠MAC+∠NAC
＝（∠MAC+∠NAC）
＝90°．
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型