浙教版七年级数学下册(培优特训)专项1.3平行线经典模型必刷(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册(培优特训)专项1.3平行线经典模型必刷(原卷版+解析)，共29页。
2．（2023•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
3.（2023秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
4.（2023秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
5．（2023秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
6．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
7．（2023春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
8.（2023秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
9.（2023秋•兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
10.（2023春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
11.（2023秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
12.（2023秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
13.（2023秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
14.（2023春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
15.（2023春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
16.（2023春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
17.（2023•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
18．（2023春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
（培优特训）专项1.3 平行线经典模型必刷
1.（2023秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．
答案:135
【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，
∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，
∴∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．
故答案为：135．
2．（2023•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
答案:A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
3.（2023秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
答案:D
【解答】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．
故选：D．
4.（2023秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
答案:α+β﹣γ＝90°
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故答案为：α+β﹣γ＝90°．
5．（2023秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
答案:94°
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，
∴∠APE＝∠CAP＝36°，
∵BD∥EF，∠DBP＝58°，
∴∠BPE＝∠DBP＝58°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．
故答案为：94°．
6．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
答案:110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
∵∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．
故答案为：110°．
7．（2023春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 ．
答案:155°
【解答】解：过点B作BE∥AD，
∵AD∥CF
∴AD∥BE∥CF，
∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；
∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，
∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，
∴∠2的度数为155°．
故答案为：155°．
8.（2023秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，
∵CF∥BA，
∴∠BCF＝∠B＝30°，
∵BA∥DE，CF∥BA，
∴CF∥DE．
∵∠D＝40°，
∴∠FCD＝∠D＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．
9.（2023秋•兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【解答】解：过C作CF∥AD，
∵BE∥AD
∴∠ACF＝∠A＝52°，
∵CF∥BE
∴∠BCF＝∠B＝43°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，
∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°．
10.（2023春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，
∴∠BGM＝2×25°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠GPH＝∠BGM＝50°；
②如图1，过点O作ON∥AB，
则∠MON＝∠BOM＝50°，
∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，
∴∠EHD＝∠BGE＝75°，
∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，
∵AB∥CD，ON∥AB，
∴ON∥CD，
∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，
∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；
（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：
如图2，过点Q作QN∥AB，
则∠GQN＝∠AGQ，
∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，
∴∠AGS＝2∠FGS，
∵GQ平分∠AGP，
∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，
∵AB∥CD，
∴∠GIH＝∠IHC，
∵HQ平分∠IHC，
∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，
∵QN∥AB，AB∥CD，
∴QN∥CD，
∴∠NQH＝∠QHC，
∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，
∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．
11.（2023秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，
∴，，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴，，
∴．
12.（2023秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，
∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，
∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，
∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；
（2）∠BED＝2∠F，理由如下：
过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，
∴∠BED＝2（∠2+∠3），
∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，
∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，
∴∠BED＝∠BED+∠F，
∴∠BED＝2∠F；
（3）如图，延长DE交BF于点M，
则有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，
∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，
∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，
∴∠EBM+∠MDF＝35°，
∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．
13.（2023秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
14.（2023春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝70°，
∴∠ABE+∠CDE＝290°，
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，
过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；
（2）结论：∠E+6∠M＝360°，
证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°．
15.（2023春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
16.（2023春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠1是△CEP的一个外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∴∠A＝∠C+∠P，
∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，
∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，
∴∠P的度数为46°；
（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，
由（1）得：
∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，
∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
＝∠PAB﹣∠PCD，
＝（∠PAB﹣∠PCD）
＝∠P
＝×46°
＝23°，
∴∠AQC的度数为23°；
（3）∵CP∥AQ，
∴∠PCQ＝∠AQC，
∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，
由（2）得：
∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，
∴2∠PCQ＝∠PAB，
∴∠PCQ＝∠PAB．
17.（2023•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝
18．（2023春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，
∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥DC，
∠ABE＝∠BEC，
∴∠EBC＝∠BEC．
（2）证明：由（1）可知，
∠EBC＝∠BEC，
由外角性质可知，
∠FEC＝∠F+∠FDC
又∵∠EBC﹣∠F＝45°，
∴∠FEC＝∠F+45°，
∴∠FDC＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠FDC＝45°，
∴DF平分∠ADC．
（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，
①当H在PB之间时，
设∠PCE＝α，则∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝，
又∵∠CBE＝∠MDC
∴∠ADM＝90°﹣＝2α，
∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，
∴＝＝．
同理，当H点位于H′时，∠DCH′＝α，
＝＝5，
∴的值为或5．