2024年中考数学【高分·突破】考点03含参方程组及其应用(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点03含参方程组及其应用(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒元下降到元．设平均下降率为，则，，满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
2．a、b为两个不等实数，，则的值等于（ ）
A．B．1C．D．2
3．在开启全面建设社会主义现代化国家新征程中，人民的生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．“，两地相距7500米，甲、乙两个小组同时从地出发匀速步行到地……”．若设乙组的速度为米/分，则可列方程．
由此判断原题中缺少的部分可能是（ ）
A．甲组的步行速度是乙组的倍，甲组比乙组用时多15分钟
B．甲组的步行速度是乙组的倍，甲组比乙组用时少15分钟
C．乙组的步行速度是甲组的倍，甲组比乙组用时多15分钟
D．乙组的步行速度是甲组的倍，甲组比乙组用时少15分钟
5．已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340B．430C．520D．610
6．某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨进入沙漠，并于在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到时正好经过枯树看到了标记，已知两支小队在距离出发点的位置相遇，设第一小队的平均速度是，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造米公路，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（ ）
A．或B．或C．D．
二、填空题
9．为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．

10．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为 ．
11．设抛物线，其中a，b均为实数．
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ；
（2）若抛物线经过点，则代数式的最小值为 ．
12．若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ．
13．“分田地”是《九章算术》中一个问题：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”意思为：一块田地，三个人分了总面积的，剩下了亩，问这块田有多少亩？设这块田为亩，则的值为 ．
14．有下列命题，其中正确命题的序号 ．
①若，则；
②在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是；
③已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距OG为；
④点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为：；
⑤若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则或6
⑥求代数式的最值，可通过“换元法”求解：设，则代数式可化为，利用二次函数的性质可求得最大值为．
15．函数（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最小值；③若，点，在该函数图像上，则当时，；④若关于x的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为．其中正确的结论是 （填写序号）
16．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？
解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当时，
即
∴
设函数
当时，
综上
(1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为 ；
(2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且．设点，，线段、的长是关于的一元二次方程的两个根．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设上述抛物线的顶点为，求直线的解析式．
18．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值．
19．【课本再现】
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
20．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．

(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
材料一：解方程：．
解：把常数项移到方程的右边，得．
两边都加，得，即．
两边开方，得，即或，
所以，．
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：．
∵，
∴，即有最小值1．
压轴热点考点03 含参方程组及其应用
一、单选题
1．随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒元下降到元．设平均下降率为，则，，满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均下降率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均下降率为，依题意得：，
故选：．
2．a、b为两个不等实数，，则的值等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得：，是方程的两个根，即：，根据根与系数的关系得到，，代入代数式求值即可．
【详解】解：根据题意得：，是方程的两个根，
即：，
，，
原式
．
故选：A．
3．在开启全面建设社会主义现代化国家新征程中，人民的生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用年月底机动车保有量年月底机动车保有量(该市机动车保有量年平均增长率为)，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，
故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．“，两地相距7500米，甲、乙两个小组同时从地出发匀速步行到地……”．若设乙组的速度为米/分，则可列方程．
由此判断原题中缺少的部分可能是（ ）
A．甲组的步行速度是乙组的倍，甲组比乙组用时多15分钟
B．甲组的步行速度是乙组的倍，甲组比乙组用时少15分钟
C．乙组的步行速度是甲组的倍，甲组比乙组用时多15分钟
D．乙组的步行速度是甲组的倍，甲组比乙组用时少15分钟
【答案】B
【分析】根据题意，分析和表示的意义，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：表示乙组速度的倍，
表示乙组所用时间，
∴表示甲组比乙组用时少15分钟，
∴原题中缺少的部分可能是“甲组的步行速度是乙组的倍，甲组比乙组用时少15分钟”，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，分析出和表示的意义．
5．已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340B．430C．520D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，
①当时，
，
，
，
，
会组成四位数，不满足题意；
②当时，
，
，
，
，
故组成最大的三位数为：；
③时，
，，
，
解得：，
组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想．
6．某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨进入沙漠，并于在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到时正好经过枯树看到了标记，已知两支小队在距离出发点的位置相遇，设第一小队的平均速度是，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可求第二小队的速度为，再根据两队的时间差为即列分式方程即可．
【详解】解；设第一小队的平均速度是，则第二小队的速度为，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，明确题意，找出数量关系是解题的关键．
7．甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造米公路，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得：，
变形：．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．
8．已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【分析】首先根据条件求出，然后将代入，得出关于、等式即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
，
函数的图象经过点，
，
或，
或．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，正确并且灵活地应用二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
9．为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．

【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
10．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
11．设抛物线，其中a，b均为实数．
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ；
（2）若抛物线经过点，则代数式的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）对于来说，当，由抛物线与x轴只有一个交点得到，即可得到答案；
（2）抛物线经过点，得，则，则，即可得到答案．
【详解】解：（1）对于来说，当，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
解得．
故答案为：
（2）由题意得，
即，
∴，
∴代数式的最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了配方法的应用、抛物线与x轴的交点问题等知识，熟练掌握二次函数的性质和配方法是解题的关键．
12．若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ．
【答案】或或
【分析】设，分，，三种情况，根据两点间距离公式、等腰三角形的性质分别列式求解即可．
【详解】解：、，
，
一次函数图像上的“零点”为点C，
设，
为等腰三角形时有下列三种情况：
当为腰，且点A为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
，
解得，
当时，点C的坐标为，
，
解得；
当为腰，且点B为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
不在一次函数图像上，故不合题意，舍去；
当时，点C的坐标为，
此时点A与点C重合，故不合题意，舍去；
当为底边，点C为顶点时，，
此时点C在线段的垂直平分线上，
点C的横坐标为，
点C的坐标为，
，
解得，
综上可知，k的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．
13．“分田地”是《九章算术》中一个问题：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”意思为：一块田地，三个人分了总面积的，剩下了亩，问这块田有多少亩？设这块田为亩，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意的等量关系列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了古代数学问题列一元一次方程，审清题意，明确等量关系是解题的关键．
14．有下列命题，其中正确命题的序号 ．
①若，则；
②在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是；
③已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距OG为；
④点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为：；
⑤若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则或6
⑥求代数式的最值，可通过“换元法”求解：设，则代数式可化为，利用二次函数的性质可求得最大值为．
【答案】②③④⑤⑥
【分析】当时，①的结论是错误的；由概率公式可得摸到白球的概率是，故可判断②是正确的；由的周长可计算出半径，可进一步求出该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为，故可判断③是正确的；根据二次函数的图象与性质结合可判断④是正确的；根据根与系数的关系可得，把变形，再整体代入得到方程求解即可得或6；根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：①若，当时，则，故结论①错误；
②一共有3个球，有1个白球，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，故结论②正确；
③连接，如图，
∵正六边形是圆的内接多边形，
∴，
∵，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，故③正确；
④∵点都在二次函数的图象上，
∴
∵，
∴
∴，
即，
∴，故④正确．
⑤∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，即，且，
∵，
∴，即，
∴，即，
解得：或．故⑤正确；
⑥设，
所以，
=
∵,
∴代数式有最大值，
当，最大值为，故⑥正确；
综上，正确的结论为②③④⑤⑥，
故答案为：②③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，概率公式，正多边形与圆，二次函数的图象与性质以及最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键
15．函数（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最小值；③若，点，在该函数图像上，则当时，；④若关于x的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为．其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】①④/④①
【分析】根据二次函数的图象与性质及解一元二次方程的方法进行判断即可．
【详解】解；∵b为常数，对一次函数的对称性不具有影响，
如图，函数具有对称性，对称轴是直线，故①正确，

∵函数，
∴函数有最小值0，此时，故②错误；
当时，函数，如图所示，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，
∴则当时，和的大小不确定，故③错误；

∵若关于x的方程有四个实数根，
∴当时，解得，，
当时，解得，，
∴，故④正确，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？
解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当时，
即
∴
设函数
当时，
综上
(1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为 ；
(2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
（2）令，则，将代入，得，根据题意得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵关于x的方程，即有实数根，
∴， ，，
即
∴
设函数
当时，
综上，
故答案为：5．
（2）令，则，将代入，
整理得，该方程有实数根，
∴
∴
有最大值
即的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且．设点，，线段、的长是关于的一元二次方程的两个根．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设上述抛物线的顶点为，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的公式和解一元二次方程等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
（1）根据题意分别求出、、三点坐标，再将、、三点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）先抛物线的解析式求出顶点的坐标，进而便可求出直线的解析式．
【详解】（1）、是方程的两个根．
，
，
，
，
，
，，
，
（舍去），
当时，，
．，
，
，，
按题意得，，
将，，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），
点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
即．
18．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解．
【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
当时，，
抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线为，
由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上．
，
．
图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，
，
，
解得（舍去），
，
∴整数的值为1．
19．【课本再现】
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9
【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；
（2）利用材料二的思路进行计算，即可解答；
（3）利用配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1），
，
，
，
故答案为：D；
（2）
，
，
，即有最大值14；
（3），
，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．

(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
【答案】(1)，
(2)AB长10米
【分析】（1）长可表示为，于是，化简得答案；
（2）令，构建方程求解；
【详解】（1）解：
，
，得
自变量的取值范围为：
（2）根据题意，令得：
解得
答：当矩形茶园的面积为200平方米时，长10米．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，一元二次方程的求解；理解方程和函数关系是解题的关键．
材料一：解方程：．
解：把常数项移到方程的右边，得．
两边都加，得，即．
两边开方，得，即或，
所以，．
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：．
∵，
∴，即有最小值1．