高考数学一轮复习作业本2.1 导数的运算、几何意义（含答案）

2020高考数学(理数)复习作业本2.1 导数的运算、几何意义

一         、选择题

1.在x=1附近，取Δx=0.3，在四个函数①y=x；②y=x2；③y=x3；④y=中，平均变化率最大的是(　　)

A.④       B.③          C.②       D.①

2.在曲线y=x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为(　　)

A.Δx＋＋2     B.Δx－－1       C.Δx＋2      D.Δx－＋2

3.函数y=在x=1到x=2之间的平均变化率为(　　)

A.－1       B.－0.5        C.－2      D.2

4.某质点的运动方程是s=t-(2t-1)2，则在t=1s时的瞬时速度为(　　)

A.-1　　     B.-3               C.7          D.13

5.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y=sin x          B．y=ln x            C．y=ex           D．y=x3

6.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.         B．         C.         D．

7.函数f(x)=x+sin x的图象在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A.0.5                            B.                             C.                             D.+1

8.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)

A.-1                          B.0                                         C.1                                            D.2

二         、填空题

9.设f0(x)=sin x，f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f′1(x)，…，fn＋1(x)=f′n(x)，n∈N，

则f2 019(x)=________.

10.已知曲线C：f(x)=x3-ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.

11.函数y=cosx在x∈[0,]时的变化率为________；在x∈[]时的变化率为________.

12.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为　　　　. 

三         、解答题

13.已知函数，g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.

14.已知曲线y=x3＋x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.

(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.

15.已知f(x)=x2，g(x)=x3，求适合f/(x0)＋5=g/(x0)的x0值.

16.已知函数(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.

答案解析

1. [答案]　B;

2. [答案]　C;

3. [答案]　B;

4. [答案]B;

5.答案为：A；

设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，

则由题意知，只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=－1即可，

y=f(x)=sin x的导函数为f′(x)=cos x，则f′(0)f′(π)=－1,

故函数y=sin x具有T性质：y=f(x)=ln x的导函数为f′(x)=，

则f′(x1)·f′(x2)=＞0，故函数y=ln x不具有T性质；

y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex，则f′(x1)·f′(x2)=ex1＋x2＞0，

故函数y=ex不具有T性质；y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2，

则f′(x1)f′(x2)=9xx≥0，故函数y=x3不具有T性质．故选A.

6.答案为：A；

∵y=，∴y′===.

∵ex＞0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)．

又α∈[0，π)，∴α∈，故选A.

7.A；f(x)=x+sin x,则f '(x)=1+cos x,则f '=1,而f=+1,故函数f(x)的图象在x=处的切线方程为y-=x-,即y=x+1.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.

故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为0.5×1×1=0.5.故选A.

8.C　依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,

∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.

9.答案为：-sin x；解析：f0(x)=sin x，f1(x)=f′0(x)=cos x，

f2(x)=f′1(x)=-sin x，f3(x)=f′2(x)=-cos x，

f4(x)=f′3(x)=sin x，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 018共2 019个数，2 019=4×506＋3，所以f2 018(x)=f2(x)=-sin x.

10.答案：；

解析:设切点坐标为(t，t3-at＋a).由题意知，f′(x)=3x2-a，

切线的斜率为k=y′|x=t=3t2-a，①所以切线方程为y-(t3-at＋a)=(3t2-a)(x-t).②

将点(1,0)代入②式得，-(t3-at＋a)=(3t2-a)(1-t)，解之得，t=0或t=1.5.

分别将t=0和t=代入①式，得k1=-a和k2=-a，由题意，它们互为相反数得a=.

11. [答案]　　－;[解析]　当x∈时，==；

当x∈时，===－.因此，y=cosx在区间和区间上的平均变化率分别是和－.

12.答案：(e-1,+∞)；解析　函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f '(x)=ex-m,

要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需ex-m=-e-1有解,即m=ex+e-1有解,

由ex>0,得m>e-1.则实数m的取值范围为(e-1,+∞).

13.解：根据题意有

曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=3，

曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g′(1)=-a.所以f′(1)=g′(1)，即a=-3.

曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1)，

得：y＋1=3(x-1)，即切线方程为3x-y-4=0.

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).

得y＋6=3(x-1)，即切线方程为3x-y-9=0，所以，两条切线不是同一条直线.

14.解：(1)由y=x3＋x-2，得y′=3x2＋1，由已知令3x2＋1=4，解之得x=±1.

当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(-1，-4).

(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-0.25.

∵l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，

∴直线l的方程为y＋4=-0.25(x＋1)，即x＋4y＋17=0.

15.

16.解析：(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3,则f '(x)=(x-2)2-1≥-1,

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,

解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,

得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).