高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和获奖第1课时教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和获奖第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了创设情境，引入课题，归纳总结,反思提升等内容，欢迎下载使用。

等比数列前n项和公式的推导及简单应用.
课时教学目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．
2.会用错位相减法求数列的和．
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
教学重点、难点
1．教学重点：
掌握等比数列的前n项和公式及其应用，等比数列前n项和公式推导方法；
等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。
2．教学难点 ：
等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解。
会用错位相减法求数列的和，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
实例分析
一天,小林和小明做“贷款”游戏,签订了一份合同.从签订合同之日起,在整整一个月(30天)中,小明第一天贷给小林1万元,第二天贷给小林2万元,第三天贷给小林3万元…...以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱,第三天还4分钱……后每天还的钱数是前一天的2倍.
合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收人1万元;第二天,他支出2分钱,收人2万元;第三天,他支出4分钱,收人3万元到了第10天,他共得到55万元,付出的总数只有10元2角3分.到了第20天,小林共得210万元,而小明才得到1048575分,共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月那该多好!
果真是这样吗?
环节二观察分析，感知概念
下面我们来计算一下双方得到的钱数.
设30天后,小林得到的钱数为(单位:万元),
小明得到的钱数为单位:分),
则根据合同,有
（万元）
①
如何计算呢?
由①式,可得
②
②-①,得
而可不是一个小数目!利用计算器计算,得
.
小林听到这个结果,肯定会吓出一身冷汗!
环节三抽象概括，形成概念
抽象概括
将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中.
对首项为,公比为的等比数列,设
探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？
引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以，就变成了它的后一项.
①
①两边同时乘q,得
探究2：若在此等式两边同以，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？
引导学生经过比较后发现：①,②两式有若干相同项，可两式相减求.
②
②，得
即
引导学生对q进行分类讨论。
追问2 由得到正确吗？
当时,等比数列的前项和公式为
追问3若q=1，是什么数列，前项和等于什么？
很明显,当时,由①式可得.
从而,等比数列的前项和公式为
公式分析
(1)知三求二：n q a1 an Sn
(2)n的含义：项数
(3)注意对q分类讨论
(4)错位相减法：乘公比（作用是构造相同项）后错开一项再相减。
环节四辨析理解，深化概念
思考交流
等比数列前项和的有关公式中涉及哪几个相关量?这几个量有什么实际意义?这几个相关量中,已知其中几个相关量可以求出其他几个?
例5(1)已知等比数列中,.求;
(2)求等比数列的前10项的和.
解：(1)由等比数列的前项和公式,得
（2）因为公比,所以
【设计意图】已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。
环节五概念应用，巩固内化
例6五洲电扇厂去年实现利润300万元,计划在以后5年中每年比上一年利润增长.问从今年起第5年的利润是多少?这5年的总利润是多少?（结果精确到1万元）
解：根据题意,可知每年的利润组成一个首项、公比的等比数列.所以从今年起第5年的利润为
（万元）
这5年的总利润为
（万元）
环节六 归纳总结,反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
(2)利用错位相减法求数列的前n项和．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法．
(3)等比数列前n项和的性质．
2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论．
3．常见误区：
(1)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
(2)错位相减法中粗心出错．
(3)忽略对参数的讨论．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第28页 练习 第1，2题
练习(第28页）
1.求下列等比数列的前项和:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.某超市去年的销售额为万元,计划在今后10年内每年比上一年增加.从今年起10年内这家超市的总销售额为()万元,并说明理由.
A.B.C.D.