高中数学3.2 等比数列的前n项和课文课件ppt

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基础落实·必备知识全过关
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知识点　等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m都等于0,不是等比数列(2)当n是偶数时,S偶=　　　　; 当n是奇数时,S奇=a1+　　　　. (3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1;当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　　)(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则数列{an}为等比数列.(　　)(3)若{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q.(　　)(4)等比数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.(　　)
2.在公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式中,qn的系数与常数项有何关系?
探究点一　等比数列前n项和性质的应用
角度1.连续n项之和问题【例1】 (1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=(　　)A.32B.64C.72D.216
解析 由于S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,所以S9-S6=32,S12-S9=64,即a10+a11+a12=S12-S9=64.
(2)已知等比数列{an}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,
(方法二)根据等比数列的性质有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn,
规律方法　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
变式训练1在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
解 ∵S2n=60≠0,∴数列{an}的公比q≠-1.∵数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).又Sn=48,S2n=60,∴(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.
【例2】 数列{an}的前n项和Sn=3n-2,求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列.
解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.(方法一)由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.(方法二)当等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列.
规律方法　1.已知Sn,通过求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.2.若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.
变式训练2若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=　　　　　. 
探究点二　等比数列的实际应用
【例3】 王某2017年12月31日向银行贷款100 000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.(1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2;(2)求每年的还款额(精确到1元).
解 (1)由题意得,a2=100 000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110 250-2.05m.(2)因为100 000×(1+5%)10=1.059m+1.058m+…+m,所以100 000×1.0510= ,解得m≈12 950.
规律方法　分期付款问题的求解策略分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题通常有两种处理方法,一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.
变式训练3某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长 .求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
1.知识清单:(1)等比数列前n项和性质的应用.(2)等比数列的实际应用.2.方法归纳:整体代换的方法.3.常见误区:等比数列的性质混用;不能正确的建立数列模型.
1.[2023全国甲,理5]已知正项等比数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-4,则S4=(　　)A.7B.9C.15D.30
2.在等比数列{an}中,已知S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20=(　　)A.32B.16C.35D.162
解析 由题意知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列,且公比为q4.又S4=a1+a2+a3+a4=2,S8-S4=a5+a6+a7+a8=S4q4=4,所以q4=2,所以S20-S16=a17+a18+a19+a20=S4q16=32.故选A.
3.[2023全国乙,理15]已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　. 
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.(方法二)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q3=-2,则a7=a2·q5=-2.
4.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=81,则数列{an}的公比为　　　　. 
解析 易得a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),故q3=27,则q=3.