北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和优秀一课一练

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考点01：求等比数列前n项和
1．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（ ）
A．93B．－93
C．45D．－45
【答案】A
【分析】由等比数列前n项和公式可得答案.
【详解】
故选：A
2．在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
.
考点02：等比数列前n项和的基本量计算
3．已知等比数列的前项和为，公比为2，且，则
【答案】1
【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.
【详解】依题意，，故，解得.
故答案为：1
4．在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）设公比为，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
考点03：等比数列片段和性质及应用
5．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值.
【详解】因为为等比数列，其前n项和为，
故为等比数列，故为等比数列，
故，故，
故选：B.
6．在等比数列中，若，，则 ．
【答案】8
【分析】根据等比数列的性质直接得出答案即可.
【详解】在等比数列中，，，也成等比数列，
因为，，
所以，
故答案为：
考点04：等比数列奇、偶项和的性质及应用
7．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解.
【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
8．已知等比数列的公比，且，则 .
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
考点05：等比数列前n项和的其他性质
9．数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（ ）
A．192B．190C．180D．182
【答案】B
【分析】利用关系求的通项公式，进而可得的通项公式，求即可.
【详解】当时，，
当 时，，
经检验满足上式，所以，
设，则 ，
所以.
故选：B
10．等比数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列得前项和公式可得，即可求出结果.
【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即，
故答案为：.
考点06：前n项和特点
11．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为 .
【答案】1
【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.
【详解】当时，，当时，，
所以，
又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，
此数列的前项和，则的值为.
故答案为：1.
12．已知等比数列的前项和为，则 ．
【答案】
【分析】解法一：根据与之间的关系，结合等比数列的定义运算求解；解法二：根据比数列的前项和，直接列式求解.
【详解】解法一：当时，，
显然不合题意，可得；
当时，；
若为等比数列，则，且，解答；
解法二：因为，
设等比数列的公比为，由题可知，1，
因为等比数列的前项和（为常数，且），
所以，得．
故答案为：.
考点07：前n项和与通项关系
13．记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
14．已知等比数列，前项和为，满足.
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的值；
(3)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据与的关系求出前3项，再由题意知为等比数列即可求出及公比和首项即可求解；
（2）把（1）的结论代入化简，再根据等比数列前项和公式即可求解；
（3）分组求和即可求解.
【详解】（1）由可得，
，
，
因为数列是等比数列，所以，
即，所以，.
所以，，符合题意；
（2）由（1）知，，所以，
令，则，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）因为，
所以.
考点08：等比数列的简单应用
15．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式求解．
【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴，
故选：C．
16．云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值．
【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以2为公比的等比数列，
，，解得，
所以，
．
故选：C．
1．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（ ）
A．B．C．17D．
【答案】A
【分析】利用等差中项公式、等比数列通项公式和等比数列求和公式即可解决.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，即，
又因为等比数列的公比为，
所以上式化为，解得.
所以的前10项和为.
故选：A
2．德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（ ）
A．2091B．2101C．2110D．2112
【答案】B
【分析】先得到的通项公式，再分组求和即可.
【详解】由题意得，当时，，
当时，，
故，
，
故前20批次共派遣学生的人数为.
故选：B
3．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，则等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】利用和公比表示，由，求出，利用等比数列性和求出，然后由即可求出.
【详解】设公比为，
，
则．因为，所以．所以，解得．
因为，所以．所以．
故选：A．
4．已知等比数列的首项为1，公比为3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由定义得到为首项为，公比为9的等比数列，利用求和公式求出答案.
【详解】由题意得，
故为首项为，公比为9的等比数列，
则.
故选：D
5．（多选）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当，且取得最小值时，只能等于6
【答案】ABC
【分析】A，C项通过等比数列的性质即可得出结论；B，D项，根据等比数列的公比和前项和即可得出结论.
【详解】由题意，，
在正项等比数列中，，
A项，，A正确；
B项，当时，因为，所以，可得，B正确；
C项，，C正确．
D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．
故选：ABC.
6．（多选）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】ABD
【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前项和公式为计算即可.
【详解】设的公差为，的公比为，
则，
所以是常数，故A正确；
易知是常数，故B正确；
由不是常数，故C错误；
是常数，故D正确.
故选：ABD
7．已知数列满足，则数列的前8项和 ．
【答案】502
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
8．已知数列的前项和为，则 ．
【答案】263
【分析】根据等比中项可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，即可根据分组求和，结合等比求和公式即可求解.
【详解】由可得为等比数列，
由知是首项为1，公比的等比数列，所以，
即，所以．
故答案为：263
9．己知数列为等差数列，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得首项和公差，再由等差数列的通项公式，即可得解；
（2）采用分组求和法，结合等差、等比数列的求和公式，即可得解．
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，，
所以，，解得，，
所以数列的通项公式为．
（2），
所以
．
10．已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求数列的前10项和.
【详解】（1）当时，，，，
等比数列的公比为，则有，
由，可得．
当时，．
经检验，当时，满足上式，
所以．
（2），
设的前10项和为，
．
1．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.
（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.
【详解】（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和的通项公式分别为.
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为.
2．已知数列的前项和为，．
(1)证时：为等比数列．
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出数列的通项，再利用分组求和法结合等比数列前项和公式求解即得.
【详解】（1）当时，由，得，而，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，即，
因此，
所以
.
3．某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】(1)
(2)4
【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和；
(2)是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可；作差，利用函数的单调性，即可得出结论.
【详解】（1）由题意得是等差数列，，
所以，由题意得，
所以，
所以是首项为250，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）是数列的前项和，所以，
是数列的前项和减去600，
所以，
，
又当时，函数单调递增，
所以函数单调递增，且时，时，
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
走进高考
1．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
3．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
4．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
5．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
6．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．