高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.3等和线和极化恒等式(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.3等和线和极化恒等式(精练)(原卷版+解析)，共13页。


【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq \(AN,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．1
2.(2023·陕西·交大附中模拟预测）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))＋μeq \(AN,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,4)
3. (2023·山东·山师附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq \(AC,\s\up7(→))＝a，eq \(BD,\s\up7(→))＝b，且eq \(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，则λ＋μ等于( )
A．1 B．eq \f(3,4) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,2)
4. (2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq \(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】
1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.
2.(2023·福建泉州·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up7(→))＝αeq \(AB,\s\up7(→))＋βeq \(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

3. (2023·全国·高三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
4. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设eq \(AP,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
5. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意
一点(含边界)，设eq \(OP,\s\up7(→))＝λeq \(OC,\s\up7(→))＋μeq \(OD,\s\up7(→))，则λ＋μ的取值范围为________．
【题型三 极化恒等式处理数量积的定值问题】
1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.
2.(2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(PN,\s\up7(→))＝( )
A．13 B．7 C．5 D．3
3.(2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(OP,\s\up7(→))＝( )
A．1 B．eq \f(1,16) C．eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
4. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则eq \(EB,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))＝________．
【题型四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】
1. 在∆ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则DE∙DF的最小值等于 .
2.(2023·海南海口·二模）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．
3. (2023•南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且
MN＝1，若的最小值为，则cs∠ACB＝________．
4. 如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为______．
5. 在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为______．
5.3 等和线和极化恒等式
【题型解读】
【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq \(AN,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．1
答案：A
【解析】如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|AN|,|AM|)．由图易知，eq \f(|AN|,|AM|)＝eq \f(1,2)，故选A．
2.(2023·陕西·交大附中模拟预测）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))＋μeq \(AN,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,4)
答案：C
【解析】如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|AB|,|AT|)．由图易知，eq \f(|AB|,|AT|)＝eq \f(4,5)，故选C．
3. (2023·山东·山师附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq \(AC,\s\up7(→))＝a，eq \(BD,\s\up7(→))＝b，且eq \(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，则λ＋μ等于( )
A．1 B．eq \f(3,4) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,2)
答案：A
【解析】如图，作eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(BD,\s\up7(→))，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A．
4. (2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq \(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
答案：eq \f(2,3)
【解析】图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|AO|,|AM|)．由图易知，eq \f(|AO|,|AM|)＝eq \f(2,3)．
【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】
1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.
答案：
【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证
，当时，取最大值，；
（2）取OA中点E，则
OC交BE于F，设,，易证
，当时，取最大值，.
2.(2023·福建泉州·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up7(→))＝αeq \(AB,\s\up7(→))＋βeq \(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

答案： [3，4]
【解析】直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[eq \f(AN,AM)，eq \f(AD,AM)]＝[3，4]．
3. (2023·全国·高三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案：
【解析】取AD中点F，则
直线FP交AE于G， 设
∵ FPG三点共线 ∴
当P在 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时，G与E重合，此时t取到最小值，
4. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设eq \(AP,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
【解析】如图，作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知eq \f(CE,DA)＝eq \f(CD,BD)，即eq \f(CE,1)＝eq \f(1,\r(10))，所以CE＝eq \f(\r(10),10)，设与BD平行且与圆C相切的直线交AD延长线于点F，作DH垂直该线于点H，显然DH＝2CE＝eq \f(\r(10),5)，由△DFH∽△BDA得eq \f(DF,BD)＝eq \f(DH,BA)，即eq \f(DF,\r(10))＝eq \f( \f(\r(10),5) ,3)，所以DF＝eq \f(2,3)，过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M，设t＝eq \f(AM,AD)，则x＋y＝t，由图形知“等值线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1＝eq \f(AD,AD)5. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意
一点(含边界)，设eq \(OP,\s\up7(→))＝λeq \(OC,\s\up7(→))＋μeq \(OD,\s\up7(→))，则λ＋μ的取值范围为________．
答案： [1，eq \f(3,2)]
【解析】如图，(λ＋μ)min＝1，(λ＋μ)max＝eq \f(3,2)．
【题型三 极化恒等式处理数量积的定值问题】
1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.
答案：
【解析】取BD的中点N，连接NF，EB，
则，
在中，，
2.(2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(PN,\s\up7(→))＝( )
A．13 B．7 C．5 D．3
答案：C
【解析】连接AP，BP，则eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AM,\s\up7(→))，eq \(PN,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(BN,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))，所以eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(PN,\s\up7(→))＝(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AM,\s\up7(→)))·(eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→)))＝eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(PB,\s\up7(→))－|eq \(AM,\s\up7(→))|2＝－eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(PB,\s\up7(→))－|eq \(AM,\s\up7(→))|2＝eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))－|eq \(AM,\s\up7(→))|2＝1×6－1＝5．
3.(2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(OP,\s\up7(→))＝( )
A．1 B．eq \f(1,16) C．eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
答案：B
【解析】取AO中点Q，连接PQ，eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PO,\s\up7(→))＝PQ2－AQ2＝eq \f(5,16)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)．
4. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则eq \(EB,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))＝________．
答案：－eq \f(27,7)
【解析】由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2 AB·AC·cs120°＝19，即BC＝eq \r(19)，因为eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))=AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cs120°＝－3，所以|AD|＝eq \f(\r(7),2)，因为S△ABC＝2S△ADC，则eq \f(1,2)|AB|·|AC|·sin120°＝2·eq \f(1,2)|AD||CE|，解得|CE|＝eq \f(3\r (21),7)，在Rt△DEC中，|DE|＝eq \r(CD2－CE2)＝eq \f(5\r (7),14)，所以eq \(EB,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))＝|ED|2－|CD|2＝－eq \f(27,7)．
【题型四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】
1. 在∆ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则DE∙DF的最小值等于 .
答案：154
【解析】取EF的中点H，连接DH、CH，
由DE∙DF=DH2−14EF2=DH2−14，
根据三角形三边性质可得：CH+DH≥CD，所以DH=CD−CH=52−12=2，
所以DE∙DF=DH2−14≥4−14=154，所以DE∙DF的最小值为154.
2.(2023·海南海口·二模）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．
答案：[－2，6]
【解析】取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq \r(3)．又由极化恒等式得：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|PD|2－eq \f(1,4)|AB|2＝|PD|2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]．
3. (2023•南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且
MN＝1，若的最小值为，则cs∠ACB＝________．
答案：
【解析】取MN的中点P，
则由极化恒等式得，
∵的最小值为，∴，
由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小，
如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH＝1，
又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30，sinA=，
所以cs∠ACB＝cs（150 －A）=．
4. 如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为______．
答案： [0，16]
【解析】如图取CD的中点E，连接PE，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \(DE,\s\up6(→))2＝eq \(OE,\s\up6(→))2－2，2≤|eq \(PE,\s\up6(→))|≤2eq \r(5)，所以eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为[0，16]．
5. 在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为______．
答案：2
【解析】如图取BC的中点E，取AD的中点F，eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))2－eq \(BE,\s\up6(→))2＝eq \(OE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)，而|eq \(OE,\s\up6(→))|≤|eq \(OF,\s\up6(→))|＋|eq \(FE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)||eq \(AD,\s\up6(→))|＋|eq \(FE,\s\up6(→))||＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)，当且仅当O，F，E三点共线时取等号．，所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为2．