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    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精练)(原卷版+解析)
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    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精练)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精练)(原卷版+解析),共16页。


    【题型一 直线和椭圆位置关系】
    1.(2023·全国·高三专题练习)直线y=x+2与椭圆eq \f(x2,m)+eq \f(y2,3)=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
    A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)
    C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
    2.(2023·福建高三期末)直线与椭圆的位置关系为( )
    A.相交B.相切C.相离D.不确定
    3. (2023·全国·高三专题练习)已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )
    A.B.C.D.
    4. (2023·深圳模拟)已知直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是( )
    A.[3,+∞)B.(-∞,3]
    C.(3,+∞)D.(-∞,3)
    5.(2023·全国高三模拟)直线与椭圆的交点个数为( ).
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    【题型二 弦长问题】
    1.(2023·青岛高三模拟)坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点,则 面积的最大值为( )
    A.B.C.D.1
    2.(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知椭圆eq \f(x2,2)+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=eq \f(4\r(2),3),则实数m的值为( )
    A.-1 B.1 C.-2 D.2
    3.(2023·武功县普集高级中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若|AB|+|CD|=eq \f(48,7),求直线AB的方程.
    4.(2023·全国高三模拟)已知椭圆:的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率.
    【题型三 中点弦问题】
    1.(2023·全国高三专题练习)过椭圆C:右焦点F的直线l:交C于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为( )
    A.B.C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为( )
    A.B.C.D.
    3. (2023·全国·模拟预测)已知椭圆M:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,椭圆M的离心率为eq \f(1,2),且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2))).
    (1)求椭圆M的方程;
    (2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
    4.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆,试确定m的取值范围,使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
    【题型四 直线与椭圆的综合问题】
    1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知椭圆左焦点为,经过点的直线与圆相交于,两点,是线段与的公共点,且.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)与的交点为,,且恰为线段的中点,求的面积.
    2.设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(3),2))),且离心率为eq \f(\r(3),2).F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,⊙F的半径为PF.
    (1)求椭圆E和⊙F的方程;
    (2)若直线l:y=k(x-eq \r(3))(k>0)与⊙F交于A,B两点,与E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
    3. (2023·浙江·高三开学考试)已知动点M到两定点F1(-m,0),F2(m,0)的距离之和为4(0(1)求m的值;
    (2)若直线l:y=kx+eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A,B,且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=2(O为坐标原点),求k的值.
    4. (2023·江西·高三开学考试)已知为坐标原点,椭圆过点 ,记线段的中点为.
    (1)若直线的斜率为 3 ,求直线的斜率;
    (2)若四边形为平行四边形,求的取值范围.
    8.5 直线和椭圆的位置关系
    【题型解读】
    【题型一 直线和椭圆位置关系】
    1.(2023·全国·高三专题练习)直线y=x+2与椭圆eq \f(x2,m)+eq \f(y2,3)=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
    A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)
    C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
    答案:B
    【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x+2,,\f(x2,m)+\f(y2,3)=1,))
    得(m+3)x2+4mx+m=0.
    由Δ>0且m≠3及m>0,
    得m>1且m≠3.
    2.(2023·福建高三期末)直线与椭圆的位置关系为( )
    A.相交B.相切C.相离D.不确定
    答案:A
    【解析】直线可化为,所以直线恒过点,
    又,即在椭圆的内部,
    直线与椭圆的位置关系为相交.
    故选:A.
    3. (2023·全国·高三专题练习)已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )
    A.B.C.D.
    答案:C
    【解析】设椭圆长轴长为(且,则椭圆方程为.
    由 ,可得,
    因为直线与椭圆只有一个交点,则,
    即.
    解得或或,
    又由,所以,所以长轴长.
    故选:.
    4. (2023·深圳模拟)已知直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是( )
    A.[3,+∞)B.(-∞,3]
    C.(3,+∞)D.(-∞,3)
    答案:A
    【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点
    ∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆
    ∵直线与曲线:恒有公共点
    ∴点在椭圆内或椭圆上,即.∴
    故选A.
    5.(2023·全国高三模拟)直线与椭圆的交点个数为( ).
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    答案:C
    【解析】由题意,椭圆,可得,
    则椭圆的右顶点为,上顶点为,
    又由直线恰好过点,所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
    故选:C.
    【题型二 弦长问题】
    1.(2023·青岛高三模拟)坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点,则 面积的最大值为( )
    A.B.C.D.1
    答案:A
    【解析】直线方程为,代入椭圆方程得,,
    设,则

    点到直线的距离为,
    所以(),
    记,则,
    当时,递增,当时,,递减,
    所以时,取得唯一的极大值也是最大值.即△MAN面积的最大值为.
    故选:A.
    2.(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知椭圆eq \f(x2,2)+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=eq \f(4\r(2),3),则实数m的值为( )
    A.-1 B.1 C.-2 D.2
    答案:AB
    【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)+y2=1,,y=x+m))消去y并整理,
    得3x2+4mx+2m2-2=0.
    Δ=16m2-12(2m2-2)
    =-8m2+24>0,
    设A(x1,y1),B(x2,y2),
    则x1+x2=-eq \f(4m,3),x1x2=eq \f(2m2-2,3).
    由题意,
    得|AB|=eq \r(2x1+x22-8x1x2)=eq \f(4\r(2),3),
    解得m=±1,满足题意.
    3.(2023·武功县普集高级中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若|AB|+|CD|=eq \f(48,7),求直线AB的方程.
    【解析】(1)由题意知e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2),2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=eq \r(3),
    所以椭圆方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
    (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.
    ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
    则直线CD的方程为y=-eq \f(1,k)(x-1).
    将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=eq \f(8k2,3+4k2),x1·x2=eq \f(4k2-12,3+4k2),
    所以|AB|=eq \r(k2+1)|x1-x2|=eq \r(k2+1)·eq \r(x1+x22-4x1x2)=eq \f(12k2+1,3+4k2).
    同理,|CD|=eq \f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)+1)),3+\f(4,k2))=eq \f(12k2+1,3k2+4).所以|AB|+|CD|=eq \f(12k2+1,3+4k2)+eq \f(12k2+1,3k2+4)
    =eq \f(84k2+12,3+4k23k2+4)=eq \f(48,7),解得k=±1,
    所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
    4.(2023·全国高三模拟)已知椭圆:的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率.
    【解析】(1)由椭圆可得,所以,解得,
    因为椭圆经过点,故得到,解得,
    所以椭圆的方程为
    (2)当切线垂直轴时,的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设的横坐标为1,
    代入椭圆得解得,所以;
    当切线不垂直轴时,设切线方程为即,
    所以圆心到切线的距离,得,
    把代入椭圆方程,整理得
    设,则,
    设,则,则

    所以,
    综上所述,,此时,因为,所以直线的斜率为
    【题型三 中点弦问题】
    1.(2023·全国高三专题练习)过椭圆C:右焦点F的直线l:交C于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为( )
    A.B.C.D.
    答案:A
    【解析】直线中,令,可得,所以右焦点,,
    设,,,,则,的中点,
    联立,整理得,
    所以,,
    所以,
    所以,又,,
    所以,,
    所以椭圆的方程为,
    故选:A.
    2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】设,则,,
    则,
    两式相减得:,
    ∴===,
    又==,∴,
    联立,得.
    ∴椭圆方程为.
    故选:D.
    3. (2023·全国·模拟预测)已知椭圆M:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,椭圆M的离心率为eq \f(1,2),且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2))).
    (1)求椭圆M的方程;
    (2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
    【解析】(1)∵e=eq \f(c,a)=eq \r(1-\f(b2,a2))=eq \f(1,2),
    则3a2=4b2,
    将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2)))代入椭圆方程得
    eq \f(1,a2)+eq \f(9,4b2)=1,
    解得a=2,b=eq \r(3),
    ∴椭圆M的方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
    (2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
    ∵线段PQ的中点恰为点N,
    ∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.
    ∵eq \f(x\\al(2,P),4)+eq \f(y\\al(2,P),3)=1,eq \f(x\\al(2,Q),4)+eq \f(y\\al(2,Q),3)=1,两式相减可得
    eq \f(1,4)(xP+xQ)(xP-xQ)+eq \f(1,3)(yP+yQ)(yP-yQ)=0,
    ∴eq \f(yP-yQ,xP-xQ)=-eq \f(3,4),
    即直线PQ的斜率为-eq \f(3,4),
    ∴直线PQ的方程为y-1=-eq \f(3,4)(x-1),
    即3x+4y-7=0.
    4.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆,试确定m的取值范围,使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
    【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点,则应有:
    ①-②并把③代入得.
    .⑥
    联立④⑥得代入⑤得,解得.
    【题型四 直线与椭圆的综合问题】
    1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知椭圆左焦点为,经过点的直线与圆相交于,两点,是线段与的公共点,且.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)与的交点为,,且恰为线段的中点,求的面积.
    答案:(1);(2).
    【解析】(1)由圆可得,
    因为,
    所以,
    即,又,故,
    所以椭圆的方程为;
    (2)设,,,,
    为线段的中点,则,
    ,又,
    解得,,
    若,则,直线的方程为,
    由.解得,即,,
    所以的面积,
    若,同理可求得的面积,
    综上所述,的面积为.
    2.设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(3),2))),且离心率为eq \f(\r(3),2).F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,⊙F的半径为PF.
    (1)求椭圆E和⊙F的方程;
    (2)若直线l:y=k(x-eq \r(3))(k>0)与⊙F交于A,B两点,与E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
    【解析】(1)设E的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),
    由题设知eq \f(1,a2)+eq \f(3,4b2)=1,eq \f(\r(a2-b2),a)=eq \f(\r(3),2).
    解得a=2,b=1,故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)+y2=1.
    因此F(eq \r(3),0),|PF|=eq \f(1,2),即⊙F的半径为eq \f(1,2).
    所以⊙F的方程为(x-eq \r(3))2+y2=eq \f(1,4).
    (2)由题设可知,A在E外,B在E内,C在⊙F内,D在⊙F外,在l上的四点A,B,C,D满足|AC|=|AB|-|BC|,|BD|=|CD|-|BC|.
    设C(x1,y1),D(x2,y2),将l的方程代入E的方程得(1+4k2)x2-8eq \r(3)k2x+12k2-4=0,
    则x1+x2=eq \f(8\r(3)k2,4k2+1),
    x1x2=eq \f(12k2-4,4k2+1),
    |CD|=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2)
    =eq \f(4k2+4,4k2+1)=1+eq \f(3,4k2+1)>1,
    又⊙F的直径|AB|=1,
    所以|BD|-|AC|=|CD|-|AB|=|CD|-1>0,
    故不存在正数k使|AC|=|BD|.
    3. (2023·浙江·高三开学考试)已知动点M到两定点F1(-m,0),F2(m,0)的距离之和为4(0(1)求m的值;
    (2)若直线l:y=kx+eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A,B,且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=2(O为坐标原点),求k的值.
    【解析】(1)由0设曲线C的方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,b2)=1,把点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3),\f(1,2)))代入得eq \f(3,4)+eq \f(1,4b2)=1,解得b2=1,由c2=a2-b2,解得c2=3,
    所以m=eq \r(3).
    (2)由(1)知曲线C的方程为eq \f(x2,4)+y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
    联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)+y2=1,,y=kx+\r(2),))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)+k2))x2+2 eq \r(2)kx+1=0,
    则有Δ=4k2-1>0,得k2>eq \f(1,4).x1+x2=eq \f(8 \r(2)k,1+4k2),x1x2=eq \f(4,1+4k2),
    则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+eq \r(2))(kx2+eq \r(2))=(1+k2)x1x2+eq \r(2)k(x1+x2)+2=eq \f(6-4k2,1+4k2)=2.
    得k2=eq \f(1,3)>eq \f(1,4),所以k的值为±eq \f(\r(3),3).
    4. (2023·江西·高三开学考试)已知为坐标原点,椭圆过点 ,记线段的中点为.
    (1)若直线的斜率为 3 ,求直线的斜率;
    (2)若四边形为平行四边形,求的取值范围.
    【解析】(1)设,则,
    两式相减可得,,而,
    则有,又直线斜率,因此
    所以直线的斜率.
    (2)当直线不垂直于x轴时,设直线,,
    由消去y并整理得:,
    ,,,
    因四边形为平行四边形,即,则点,
    而,即,
    又点P在椭圆上,则,化简得,满足,
    于是得,,,


    当直线垂直于x轴时,得点或,若点,点M,N必在直线上,
    由得,则,若点,同理可得,
    综上,的取值范围为.
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