高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精练)(原卷版+解析)，共31页。


【题型一 统计概率和函数综合】
1.(2023·华师大二附中高三练习）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据；．
②对于一组数据，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2，a=ω−bv
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
2. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 ，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件 ，求事件 发生的概率；
（2）若从质量指标值 的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表 ：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值： ， ）.
3. (2023·贵州省思南中学高三月考）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.
（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
4．(2023·全国高三课时练习）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以 （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量， （单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
（1）求变量 概率分布列；
（2）当 时，求 与 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断 与 应选用哪一个．
【题型二 统计概率和导数综合】
1.(2023·四川模拟）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
2.(2023·武昌模拟）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
3．(2023·石家庄模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
4. (2023·临沂二模）随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增．西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源．因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，人类生态友好”的路线.当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进行评估．若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复产．该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入（以下简称生态投入）将逐年减少（a是常数，）亿元．该县从2021年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为．模型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束．
（1）若2021年该县生态变差的概率为，求该县2022年生态友好的概率；
（2）若2021年该县生态变差概率为，生态投入是40亿元，a为何值时，从2021年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值．
【题型三 统计概率和数列综合】
1.(2023·唐山二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
2.(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.
（1）求；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的前项和，并说明的实际意义.
3．(2023·高三课时练习）2022年2月日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙､丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，.
①试证明为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.
4.(2023·广东高三模拟）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
质量指标值
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值
利润 （元）
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
9.10 统计概率和其他专题综合
【题型解读】
【题型一 统计概率和函数综合】
1.(2023·华师大二附中高三练习）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据；．
②对于一组数据，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2，a=ω−bv
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
答案：见解析
【解析】（1）解：散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为ω=bv+a
由v=16i=16vi=4.1，ω=16i=16ωi=3.05，则b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=12a=ω−bv=3.05−12×4.1=1
变量关于的回归方程为
综上，y关于x的回归方程为
（2）解：由，解得，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为
的分布列为：
2. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 ，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件 ，求事件 发生的概率；
（2）若从质量指标值 的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表 ：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值： ， ）.
答案：见解析
【解析】（1）解：设事件 的概率为 ，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为 ，
则 .
（2）解：由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
的频率为 ； 的频率为 ；
的频率为 .
故利用分层抽样抽取的7件产品中， 的有4件， 的有2件， 的有1件.
从这 件产品中任取 件产品，质量指标值 的件数 的所有可能取值为 ， ， ，
， ， ，
所以 的分布列为
所以 .
（3）解：由频率分布直方图可得该产品的质量指标值 与利润 （元）的关系如下表所示（ ）：
故每件产品的利润 .
则 ，令 得 ，
故当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
所以当 时， 取得最大值，为 .
所以生产该产品能够盈利，当 时，每件产品的利润取得最大值 元.
3. (2023·贵州省思南中学高三月考）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.
（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
答案：（Ⅰ）； （Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.
【解析】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率
（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为
②分组时，每人检验次数的期望如下
∴
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即
所以当时，用分组的办法能减少检验次数.
4．(2023·全国高三课时练习）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以 （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量， （单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
（1）求变量 概率分布列；
（2）当 时，求 与 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断 与 应选用哪一个．
答案：见解析
【解析】（1）解：设甲市场需求量为 的概率为 ，乙市场需求量为 的概率为 ，则由题意得
， ， ；
， ， ．
设两个市场总需求量为 的概率为 ，则由题意得
所有可能的取值为16，17，18，19，20，且 ，
，
，
，
．
所以 的分布列如下表．
（2）解：由题意得，当 时， ，
当 时， ．
所以
设 “销售利润不少于8900元”，则
当 时， ，
当 时， ，解得 ．
由（1）中 的分布列可知，
（3）解：由（1）知， ， .
当 时， 的分布列为：
所以 ；
当 时， 的分布列为：
所以 .
因为 ，所以应选 .
【题型二 统计概率和导数综合】
1.(2023·四川模拟）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
答案：(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
【解析】（1）设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
2.(2023·武昌模拟）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
答案：见解析
【解析】（1）解：比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）解：①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
的期望为.
3．(2023·石家庄模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
答案：见解析
【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）解：①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
4. (2023·临沂二模）随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增．西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源．因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，人类生态友好”的路线.当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进行评估．若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复产．该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入（以下简称生态投入）将逐年减少（a是常数，）亿元．该县从2021年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为．模型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束．
（1）若2021年该县生态变差的概率为，求该县2022年生态友好的概率；
（2）若2021年该县生态变差概率为，生态投入是40亿元，a为何值时，从2021年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值．
答案：见解析
【解析】（1）解：设“该县2021年生态友好”，“该县2022年生态友好”，
∵该县2021年生态变差的概率为，即，，
∴如果该县2021年生态友好，那么它2022年生态友好的概率为
，
该县2021年变差，那么它2022年友好的概率为
．
因为“该县2021年生态友好，那么它2022年生态友好”与“该县年生态变差，而年生态友好”是互斥事件，
所以，，
所以，该县2022年生态友好的概率为．
（2）解：设该县2021年生态变差的概率为，
同（1）可得，该县年生态友好的概率为，
∴该县年生态变差的概率为，
∴该县年生态变差的概率为，
该县从年开始的第年生态变差的概率为
，，
∴若从年开始到生态投入结束共有年，则，
即，
∴，
对该县总生态投入额
，
∴．
若，则，单调递减；若，则，单调递增，
由于时，，所以，当时，最小，且最小值是亿元，
也就是说，当时，对该县总生态投入额最小，最小值为亿元．
【题型三 统计概率和数列综合】
1.(2023·唐山二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
答案：(1)分布列见解析，数学期望为
(2)回归方程为，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
【解析】(1)由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以的分布列为：
所以数学期望为.
(2)令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
(3)
由题知，在前轮就成功的概率为
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故.
2.(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.
（1）求；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的前项和，并说明的实际意义.
答案：见解析
【解析】（1）解：；
（2）证明：由题得，
∴，
又，∴数列是以为首项、为公比的等比数列；
（3）解：由（2）知，故，
从而，
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，
∴表示前次航班一共被熔断的次数.
3．(2023·高三课时练习）2022年2月日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙､丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，.
①试证明为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.
答案：见解析
【解析】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为0，1，2，3
，，
，，
的分布列为：
期望.
另解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为，易知，
，.
的分布列为：
期望.
（2）解：①第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则
，从而，
又，
是以为首项，公比为的等比数列.
②由①可知，
，，故.
4.(2023·广东高三模拟）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
答案：（1）；（2）①证明见详解；②.
【解析】（1）由已知，，，得；
的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；
当时，由，
所以，
则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），
所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，
所以，则，
所以，即；
设，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；
又，，
所以使的最大整数的取值为，
即时，的最大值为；
综上，的最大值为.
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
1
2
3
P
质量指标值
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值
利润 （元）
0
1
2
质量指标值
利润
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
16
17
18
19
20
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
0.06
0.06
0.71
0
1
2
3
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3