初中数学苏科版八年级上册6.2 一次函数课时训练

这是一份初中数学苏科版八年级上册6.2 一次函数课时训练，文件包含专题25类比归纳专题一次函数与三角形综合问题压轴题四大类型原卷版docx、专题25类比归纳专题一次函数与三角形综合问题压轴题四大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12896" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12896 \h 1
\l "_Tc2134" 【类型一 一次函数与三角形的面积问题】 PAGEREF _Tc2134 \h 1
\l "_Tc11830" 【类型二 一次函数与三角形全等问题】 PAGEREF _Tc11830 \h 8
\l "_Tc21819" 【类型三 一次函数与三角形存在问题】 PAGEREF _Tc21819 \h 21
\l "_Tc9834" 【类型四 一次函数中折叠问题】 PAGEREF _Tc9834 \h 33
【典型例题】
【类型一 一次函数与三角形的面积问题】
例题：（2023下·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知一次函数．
(1)求直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）分别求出当时y的值，当时x的值即可得到答案；
（2）求出，再求出即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴直线与坐标轴围成的三角形面积为4．

【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求直线与坐标轴围成的图形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·湖北黄石·八年级统考期末）已知一次函数，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是 ．
【答案】4
【分析】分别求出当时y的值和当时x的值，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，，解得，
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴围成的三角形面积，解此题的关键在于准确得到一次函数与坐标轴的交点坐标．
2．（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】 12
【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：联立得，
解得．
所以，交点坐标为，
令，则，解得，
，解得，
所以，两直线与轴交点之间的距离为，
所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积．
故答案为：，12．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键．
3．（2023下·山东济宁·七年级校考阶段练习）已知直线经过和两点，
(1)求直线的表达式；
(2)若第（1）问的直线与直线交于点C，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）将点A和点B坐标代入中，解二元一次方程组即可；
（2）联立两个一次函数解析式，求出交点坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：将和代入中，得：，
解得：，
∴；
（2）联立得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形的面积，解题的关键是理解函数与方程的关系，据此求出交点坐标．
4．（2023下·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点 ，，．

(1)求 （求四边形 的面积）．
(2)若 轴上存在一点 ，使 （三角形 的面积），求出点 坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）过 作 轴于 ，根据已知得，，，，从而可得 ，进行计算，即可解答；
（2）根据已知可设 ，再根据已知易得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过 作 轴于 ．

，，，
，，，，
，
，
，
．
（2）设 ．
，，
，
，
，
，
或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2023上·内蒙古包头·九年级包钢第三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在一点使得三角形面积等于的面积的一半？若存在，请求出点坐标．
【答案】(1)
(2)100
(3)存在，或
【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出线段的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积；
（3）设出点的坐标，根据题意得出，即，解方程求得的值，可求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点、代入得，
，解得：，
直线的解析式为．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得：，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为，
，
；
（3）存在，三角形面积等于的面积的一半，
，
设点坐标为，
则，即，
解得，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，用过解方程组求出交点的坐标；（3）中用的坐标表示出的面积．
6．（2023下·四川巴中·八年级统考期中）如图，直线：交y轴，x轴于A，B两点，直线：交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点．
(1)方程组的解是 ；
(2)求直线，与x轴围成的三角形面积；
(3)过P点的直线把面积两等分，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得；
（2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得；
（3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可；
【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点．
∴方程组的解是.
（2）解：把代入，得：和，
∴，
∵，
∴直线，与轴围成的三角形面积为：.
（3）解：把分别代入，得：
和，
∴，
∴的中点为，
设过P点且把面积两等分的直线的解析式为
把点代入得:，
解得：，
∴这条直线的解析式为.
【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键.
【类型二 一次函数与三角形全等问题】
例题：例题：（2022上·广东深圳·八年级校考期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为 .
【答案】14或16/16或14
【分析】构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案．
【详解】因为直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，
所以，
所以，
所以，
因为以C、D、A为顶点的三角形与全等，如图，
所以当时，
所以，
所以；
当时，
所以，
所以；
故答案为：14或16．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【答案】D
【分析】先求解的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】解： 直线与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令，则

而

当时， 而


如图，当关于轴对称时，
此时
此时

故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉全等三角形的基本图形是解本题的关键.
2．（2023下·河南安阳·八年级统考阶段练习）如图，直线的解析式为，分别与x轴，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．

【答案】或
【分析】求出，，分当平行x轴、不平行x轴两种情况，求解即可．
【详解】解：∵直线与y轴交于B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当平行x轴时，，
∴，
∴点；
②当不平行x轴时，如下图所示，，

∵，
∴，
∴轴，且，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质等，并注意分类求解，题目难度较大．
3．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】将点的坐标代入直线的解析式为，可求得直线的解析式，从而可得到的长度，再分和两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】解：点在直线上，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．
4．（2022下·山东威海·七年级统考期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与全等，
∴分两种情况：
当时，，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数和全等三角形的性质与判定；
（1）先根据点在直线上求出的值，再根据点和点求出直线的解析式；
（2）先分别计算出、的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：在直线上，
，
点的坐标为，
设直线的的解析式为
点和点在直线上，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）解：直线上，当时，；当时，
，，
当点在轴下方时，设点的坐标为如下图所示，
当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点满足条件，
当时，
得，
，
点不满足题意，舍去；
当点在轴上方时，设点的坐标为如下图所示，
当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点不满足题意，舍去；
当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点满足条件，
满足条件的点的坐标为，．
6．（2022下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
(1)求直线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，符合条件的点P的坐标为，，，．
【分析】（1）通过求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式；
（2）先画图，确定面积可以为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论；
（3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察，得到即为斜边．所以也是直角三角形且为对应斜边，因此只能，两直角边对应关系不确定，分两类与．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图像分析再分类讨论．
【详解】（1）解：∵直线l：与y轴交于点B，
∴，，
∵，
∴，即，
∵点A在直线l上，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：过P作轴于C，如图1，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为4或，
∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标不为4，纵坐标为：，
∴点P坐标为时，的面积是6；
（3）解：存在满足条件的P、Q，
∵，，
∴，，
∴以O，P，Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，
①，
∴，即P点横坐标为或，如图2和图3，
，，
∴点P或；
②，
∴，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5，
，
解得：，
，
解得：，
∴点或，
综上所述，符合条件的点P的坐标为，，，．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了三角形及全等三角形判定，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分析，解题时应注意在坐标系里线段长度对应坐标的绝对值，所以坐标可正可负要分类讨论．全等三角形存在性问题要通过画图分析，找到确定对应的边角，再根据不确定对应的边角分类讨论．
【类型三 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，直线：与直线：交于点，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使最小?若有，求出点P坐标，若无，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，
（1）先求A点坐标，再利用待定系数法求的解析式；
（2）先确定点，作点C关于x的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，再利用待定系数法确定直线的解析式，即可求解；
解题的关键是能够用待定系数法求出直线的解析式．
【详解】（1）解：将代入，得，
，
将，代入，得：
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
，令，则，
则点，
作点C关于x的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，
此时距离最短，
设直线的解析式为，将点，代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
∴ ．
【变式训练】
1．（2023上·海南海口·九年级海南中学校考阶段练习）如图，已知直线：与直线：的图象相交于点，点的横坐标为2，直线与轴相交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点N的坐标为或
【分析】（1）先求A点坐标，再利用待定系数法求的解析式；
（2）设，由可得，由此可解．
【详解】（1）解：将代入，得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：存在
点N在直线：上，
设，
，
，
，
，
当时，
解得，即；
当时，
解得，即；
综上可知，存在，点N的坐标为或．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式等，解题的关键是能够用待定系数法求出直线的解析式，第二问注意分情况讨论．
2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图直线与轴、轴分别交于点两点，点的坐标是，点的坐标为．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点的坐标为，点是直线在第二象限内一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为3，求出此时点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，点的坐标为，，或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，设点的坐标为，由结合的面积为，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出点的坐标，再利用待定系数法即可求出此时直线的解析式；
（3）利用勾股定理求出的长度，分，，三种情况考虑：①当时，由可得出点的坐标；②当时，由结合点的坐标可得出点，的坐标；③当时，设，则，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程，解之即可得出点的坐标．综上，此题得解．
【详解】（1）解：直线：过点，
，．
直线的函数表达式是
（2）依照题意画出图形，如图1所示，设点的坐标为，

，
，
，
，
点的坐标为．
（3）在中，，，
．
分三种情况考虑

①当时，，
点的坐标为；
②当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为；
③当时，设，则，
，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：在轴上存在一点，使得为等腰三角形，点的坐标为，，或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2023上·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为
(2)存在，P点的坐标或
(3)点Q的坐标为
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由得：，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴可有，
解得，
∴A点的坐标；
∵一次函数的图象过点和点
则有，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
设点，对于一次函数，令，
则有，
解得，
∴点，
根据题意可知：，
解得，
当时，，
当时，，
∴P点的坐标或；
（3）解：设点，
则，
即，
解得：，
即点Q的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
4．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点，，．
(1)求直线的解析式；
(2)点Q为直线上一动点，若有，请求出Q点坐标；
(3)点M为直线上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M， N， C为顶点且以为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)点的坐标为或或或，求解过程见解析
【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再求出点C，D的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）作交于点E，设，，，表示出的长，根据列式求解即可；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】（1）当时，，
∴．
当时，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴；
（2）作交于点E，设，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）当时，如图，作于点E，作于点F．
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或，
∴或．
当时，如图过点N作，作于点E，作于点F．

同理可证，
∴．
设，，则，
∴，，
解得或或（此时，舍去），
∴或．
综上可知，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的定义，数形结合是解答本题的关键．
5．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图像分别交轴、轴于点、，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．
(1)求直线的表达式与点的坐标；
(2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，说明理由．
(3)试探究轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在；若不存在，说明理由．
【答案】(1)直线的表达式为，点的坐标为
(2)存在，或，理由见解析
(3)存在，或或或
【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可；
（2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标；
（3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、，
当时，则，得：，
当时，得：，
∴，，
∵一次函数的图像经过点，
∴，
∴直线的表达式为：，
当时，则，得：，
∴点的坐标为；
（2）存在，理由如下：
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或；
（3）存在，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
①当以为等腰三角形的顶点时，
∴，
∴点的坐标为或；
②当以为等腰三角形的顶点时，
∴，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为；
③当以为等腰三角形的顶点时，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图像上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图像及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【类型四 一次函数中折叠问题】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．

(1)求的长；
(2)求点和点的坐标；
(3)轴上是否存在点，使得？请说明理由．
【答案】(1)5
(2)为，为
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）通过得，，再根据即可求解．
（2）由，得，设，则．由勾股定理，进而即可求解；
（3）由，得，由，即可得；
本题主要考查一次函数的应用、勾股定理的应用，掌握相关知识并通过表达式求出相关点坐标是解题的关键．
【详解】（1）令得：，
∴．
∴
令得：，解得：，
∴．
∴OA=3．
在中，．
故的长为5．
（2）∵，
∴，
∴．
设，则．
在中，，即，解得：，
∴．
故为，为．
（3）存在，理由如下：
∵，
∴．
∵点在轴上，，
∴，即，解得：，
∴点的坐标为或．
【变式训练】
1．（2023上·江苏连云港·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是 .
【答案】
【分析】先求出线段的长，再利用，得 ，求出的长，设为x，利用，求出x的长，即可得答案．
【详解】解：一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，当时，，
，
，
将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，
，
，
，
设为x，那么，
，即
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．

【答案】或或
【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可．
【详解】解：当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，
以和为腰，为底，则，
∴，
∴P的坐标为；
以和为腰，为底，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
∴，
∴P的坐标为，
以和为腰，为底，点O是的中点，
∴，
∴P的坐标为，

综上所述，P的坐标为或或．
【点睛】利用全等与勾股定理求点的坐标和线段长度，然后分类讨论即可．
3．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知，直线经过点和点，点C在线段上，将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查了求一次函数表达式，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方．
（1）设直线的表达式为，把、代入求出k和b的值，即可得出函数表达式；
（2）根据勾股定理得出 ，由折叠的性质可知，，则，设，根据勾股定理列出方程求出x的值，进而得出，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
把、代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵、
∴，
∴，
∵由沿着折叠所得，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
4．（2023下·天津和平·八年级校考期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．

(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（）利用勾股定理求的长可得的坐标；
（）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得的坐标，利用待定系数法求直线的解析式；
（）根据轴对称的最短路径，作关于点的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，利用待定系数法求直线的解析式，令代入可得的坐标．
【详解】（1）由折叠得：，
∵，，
由勾股定理得：
∴；
（2），
设，则，，
中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在，作关于点的对称点，
连接交轴于，此时的周长最小，

设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴．
【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握折叠的性质是关键．
5．（2021上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
(1)根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
(2)将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式 ．
【答案】(1)（4，0），（0，2）
(2)y＝﹣x+2
【分析】（1）由OA＝4，OA＝2OC，得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得AE的长，从而求出点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）解：由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了翻折的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
6．（2020上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A的坐标是 _________，点B的坐标是 __________，的长为 _________；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
(4)点P的坐标为或或
【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理即可求解；
（3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．
【详解】（1）令得：，
∴，
∴
令得：，解得：，
∴，
∴，
在Rt△OAB中，．
故答案为：；
（2）由折叠的性质可知，
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，
，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
（4）存在，理由如下：
①若，如图，过点P作交A于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴此时点P的坐标为；
②若，如图，过点P作交点H，
同理可得，此时点P的坐标为；
③若，如图，过点P作交OA于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∴，解得：，
∴此时点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．