苏科版八年级上册6.2 一次函数教案

6.2　一次函数

教学目标

1．能用适当的函数表达式表示实际问题中的函数关系．

2．能正确理解一次函数和正比例函数的概念及意义．

3．通过探索和讨论，体验函数能够处理和解决实际问题．

教学重点

一次函数、正比例函数的概念及关系．

教学难点

会根据所给条件写出一次函数的表达式．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

问题的引入

同学们，上节课，我们学习了函数，你能说说什么是函数吗？函数通常有哪几种表示方法吗？

学生回答

利用传统的引入方式回顾旧知识做好前后有效的衔接．

探索概念

情境一：

 假设汽车的行驶的平均速度是60km/h。

（1）则汽车的行驶路程y（km）是时间x（h）的函数吗？说说你的理由。

（2）设汽车的行驶路程为y（km），行驶时间为x（h），你能写出y与x之间的关系吗？    

情境二：

给汽车加油的加油枪流量为25L/min. 如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用Q(L)表示油箱中的油量，t (min)表示加油时间.

（1）Q是t 的函数吗？说说你的理由.

（2）Q与t之间有怎样的函数表达式？

（3）如果加油前油箱里有6L油，Q与t之间有怎样的函数表达式？

情境三：

校内池塘准备换水，水池中有水450m³，每小时放水15m³。

（1）放水th后，水池中还有水ym³，则y（m³）与t（h）之间有怎样的函数关系？

（2）放完后重新加水，每小时进水10m³，进水th后，水池中有水ym³，则y（m³）与t（h）之间有怎样的函数关系？   

由上面的情境，我们得到了两个函数关系，前面我们也得到一些函数关系式，如：y＝60x、Q＝25t、Q＝25t＋6、y=450-15t、y＝10t

（1）这些函数关系式有什么共同特点？

（2）你能否将它们分类？

（3）你能再写两个类似的式子吗？

（4）能不能归纳一下一般形式？

一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为y＝kx＋b （k、b为常数，且k≠0）的形式．那么称y是x的一次函数（linear function）．

特别地，当b＝0时，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．

在上面我们所讨论的一次函数y＝60x、Q＝25t、Q＝25t＋6、y=450-15t、y＝10t

哪些是正比例函数，哪些不是正比例函数；

学生回答，并说明理由

学生先做，再回答

学生先思考，可以小组交流，学生再回答

合作完成．

用问题情景的分析得出一次函数的概念，并由特殊情况使得一次函数与正比例函数得到沟通，让学生感受正比例函数是一次函数的特例，为后续内容的学习研究带来方便．让学生自己写一次函数的表达式，并指出其中的k、b，通过这种形式加深学生对于概念的理解．

内化新知

例1：  判断下列函数是否为一次函数或正比例函数。

（1）y=6x-8      (2)h=2t²

（3）y=-9x       (4)s=50-3t

 (5) m=     (6)y=Πx

例2：用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系，并指出其中的一次函数、正比例函数．

（1）正方形面积S随边长x变化而变化；

（2）正方形周长l随边长x变化而变化；

（3）长方形的长为常量a时，面积S随宽x变化而变化；

（4）高速列车以 300 km/h的速度驶离A站，列车行驶路程y （km）随行驶时间t （h）变化而变化；

总结

通过上面的例子，我们发现，判断一个函数是否为一次函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；

判断一个函数是否为正比例函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx（k为常数，且k≠0）的形式．

学生口答

学生回答，并说明理由

[来源:学科网ZXXK]

把概念性的学习置于具体的函数表达式中来体会通过例题由浅入深地推进，让学生对两个函数得到更进一步的认识，并给学生渗透方程思想．

巩固应用

1．水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水 t h后，水池中还有水 y m3．试写出 y 与 t 之间的函数表达式，并判断 y 是否为 t 的一次函数，是否为 t 的正比例函数．

2．一个长方形的长为15cm，宽为10cm．如果将长方形的长减少xcm，宽不变，那么长方形的面积y（cm2）与x（cm）之间有怎样的函数表达式？判断 y 是否为x的一次函数，是否为x 的正比例函数．

学生思考，再回答，并说明理由

把课后的两个练习的题目都稍做了些改动，目的是能更好的突出本节课的重点和难点，考查学生的掌握请况．

【当堂训练】

1.下列说法正确的是                            （    ）

A．一次函数是正比例函数      B．正比例函数是一次函数

C．正比例函数不是一次函数    D．一次函数不可能是正比例函数

2．下列函数关系式中，其中             是一次函数，            是正比例函数。

（1）y= - x - 4      （2）y=     （3）y=         （4）y= （5）y=-0.5x       （6）

3．小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为                          。y 是否为x的一次函数?                 ; y是否为x 的正比例函数?                  。

4、设函数

（1）当m为何值时，它是一次函数？

（2）当m为何值时，它是正比例函数？

总结[来源:学#科#网]

（1）通过本节课的学习：

①对自己说，你有哪些收获？

②对同学说，你有哪些温馨提示？

③对老师说，你有哪些困惑？

（2）让我们一起回顾一下今天我们这节课的内容．

我们发现在实际生活中，存在着大量的函数关系，其中，有一类特殊的函数，它们具有y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；今天我们就研究了这类函数——一次函数，特别的当b＝0时，y＝kx，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．

独立完成，同桌互相批改，讨论，纠正错题

尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识， 内化数学的方法和经验．[来源:Z,xx,k.Com]

     小结不仅可以帮助学生梳理知识、理清脉络，而且还能够起到提升认识、内化认知结构的作用．老师、同学、自己三方融为一体进行知识梳理、答疑、解惑，很好的发挥了学生的主观能动性，有利于培养学生的反思能力、问题意识，但作为一个初学者，由于学生对新概念缺乏较全面、系统、深刻的认识和把握，所以小结不宜完全脱离教师的引导和归纳．