高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题53正切函数的性质与图象(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题53正切函数的性质与图象(原卷版+解析)，共24页。

题型一 有关正切函数的定义域、值域问题
类型一 定义域
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的定义域为________．
2．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．
3．函数f(x)＝eq \f(1,tanx－1)的定义域是____________．
4．函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z B．{x|x≠kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
5．函数y＝lg(eq \r(3)－tan x)的定义域为________．
6．函数y＝lgeq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
7．函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域为________．
8．函数y＝eq \r(－tan x)＋eq \r(cs x)的定义域为________．
9．已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
(1)求f(x)的定义域；
(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，求β的值．
类型二 值域
1．函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．
2．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))的值域是________．
4．函数y＝eq \f(1,tan x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是( )
A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
5．求函数y＝tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．
6．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．
8．函数y＝tan(cs x)的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan 1，tan 1]D．以上都不对
9．方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
题型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
类型一 奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x.
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(tan2 x－tan x,tan x－1)；(2)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
3．函数y＝|x|tan 2x是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
4．函数y＝eq \f(tanx,1＋csx)( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数
5．当x∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．无法确定
6．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
7．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
类型二 周期性
1．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq \f(π,4)，则ω的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为________．
5．若f(n)＝taneq \f(nπ,3)，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.eq \f(π,4)
类型三 图象的对称性
1．已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq \f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)
3．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
4．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))且|φ|5．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ，0))对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
6．下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增 B．最小正周期是2π
C．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))成中心对称 D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称
7．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
题型三 正切函数单调性的应用
类型一 求单调区间
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调增区间是________．
2．求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间．
3．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；
4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．
5．函数 f(x)＝eq \f(1,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
类型二 比较大小
1．tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
2．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800°B．tan 1＞－tan 2
C．taneq \f(5π,7)＜taneq \f(4π,7) D．taneq \f(9π,8)＜taneq \f(π,7)
3．比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))的大小；
4．比较大小：taneq \f(6,5)π________taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))；
5．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4))).
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))的大小．
类型三 单调性的应用(求参等)
1．解不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤eq \r(3).
2．若tan x≥1，则( )
A．2kπ－eq \f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－eq \f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)≤x＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
3．不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为______________．
4．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是( )
5．已知函数y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
6．已知函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜eq \f(3,2)，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．
7．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数的θ的取值范围．
8．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称．
(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．
9．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－ax))在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数
专题53 正切函数的性质与图象
知识点 正切函数的图象与性质
题型一 有关正切函数的定义域、值域问题
类型一 定义域
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的定义域为________．
[解析]因为2x－eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z
所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,3)，k∈Z)))).
2．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．
[解析]要使函数有意义应满足eq \f(π,6)－eq \f(x,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠－4kπ－eq \f(4π,3)，k∈Z，
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z)))).
3．函数f(x)＝eq \f(1,tanx－1)的定义域是____________．
[解析]若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，
∴x≠kπ＋eq \f(π,2)且x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，∴f(x)＝eq \f(1,tanx－1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
4．函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z B．{x|x≠kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
[解析]若使函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))有意义，需使tanx－1>0，即tanx>1.
结合正切曲线，可得kπ＋eq \f(π,4)5．函数y＝lg(eq \r(3)－tan x)的定义域为________．
[解析]因为eq \r(3)－tan x＞0，所以tan x＜eq \r(3).又因为tan x＝eq \r(3)时，x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－eq \f(π,2)＜x＜kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
6．函数y＝lgeq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
[解析]由题意taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＞0，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＜0，∴kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,4)＜kπ，∴kπ－eq \f(π,4)＜x＜kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，故选B.
7．函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域为________．
[解析]要使函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1.
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).
8．函数y＝eq \r(－tan x)＋eq \r(cs x)的定义域为________．
[解析]由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－tan x≥0，,cs x≥0，))所以2kπ－eq \f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z，
所以函数y＝eq \r(－tan x)＋eq \r(cs x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))).
9．已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
(1)求f(x)的定义域；
(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，求β的值．
[解析] (1)由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
所以函数f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
(2)依题意；得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))，
整理得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))－1))＝0，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝0或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2).
因为β∈(0，π)，所以β＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝0得β＋eq \f(π,4)＝π，β＝eq \f(3π,4)，
由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)得β＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,12)，所以β＝eq \f(π,12)或β＝eq \f(3π,4).
类型二 值域
1．函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．
[解析]因为y＝tanx在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上都是增函数，所以y≥taneq \f(π,4)＝1或y≤taneq \f(3π,4)＝－1.
2．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．
[解析]y＝tan(π－x)＝－tan x，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，所以值域为(－eq \r(3)，1)．
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))的值域是________．
[解析]因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，所以eq \f(x,2)＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))∈(1，eq \r(3))．
4．函数y＝eq \f(1,tan x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是( )
A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
[解析]当－eq \f(π,4)＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴eq \f(1,tan x)≤－1；
当0＜x＜eq \f(π,4)时，0＜tan x＜1，∴eq \f(1,tan x)≥1.
即当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，函数y＝eq \f(1,tan x)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
5．求函数y＝tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．
[解析]由3x＋eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,3)＋eq \f(π,18)(k∈Z)，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,3)＋\f(π,18)k∈Z)))).
设t＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，所以原函数的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).
6．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
[解析]∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．
7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．
[解析]令tanx＝t，由|x|≤eq \f(π,3)，则t∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]．即有y＝t2－2t＝(t－1)2－1，
则y在[－eq \r(3)，1]上单调递减，在[1，eq \r(3)]上单调递增．
∴y的最大值为3＋2eq \r(3)，最小值为－1.∴f(x)的值域为[－1,3＋2eq \r(3)]．
8．函数y＝tan(cs x)的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan 1，tan 1]D．以上都不对
[解析]cs x∈[－1,1]，y＝tan x在[－1,1]上是增函数，所以y＝tan(cs x)的值域是[－tan 1，tan 1]．
9．方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析]由题意知，2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)．
所以x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，共4个．故选B.
题型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
类型一 奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x.
[解析]①定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称，
y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(tan2 x－tan x,tan x－1)；(2)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))得f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，
不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，
又f(－x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
3．函数y＝|x|tan 2x是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
[解析]易知2x≠kπ＋eq \f(π,2)，即x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，定义域关于原点对称．
又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan 2x，∴y＝|x|tan 2x是奇函数．
4．函数y＝eq \f(tanx,1＋csx)( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数
[解析]函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠π＋2kπ，k∈Z))，关于原点对称．
设y＝f(x)＝eq \f(tanx,1＋csx)，则f(－x)＝eq \f(tan－x,1＋cs－x)＝eq \f(－tanx,1＋csx)＝－f(x)．所以y＝f(x)是奇函数．故选A.
5．当x∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．无法确定
[解析]函数y＝tan |x|，x∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B.
6．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
[解析]∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，∴asin 5＋btan 5＝6，
∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin 5＋btan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
7．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
[解析] 设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.
类型二 周期性
1．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
[解析]函数y＝tan 3x的最小正周期是eq \f(π,3).
2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．
[解析]法一：(定义法)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，即taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2).
法二：(公式法)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝eq \f(π,2).
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq \f(π,4)，则ω的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
[解析]由题意可得f(x)的周期为eq \f(π,4)，则eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4.
4．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为________．
[解析]y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z，,－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))，k∈Z，))
其图象如图所示：
由图象知y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为π.
5．若f(n)＝taneq \f(nπ,3)，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
[解析] 因为f(n)＝taneq \f(π,3)n的周期T＝eq \f(π,\f(π,3))＝3，且f(1)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，f(2)＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，f(3)＝tan π＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝eq \f(2019,3)×0＝0.
6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.eq \f(π,4)
[解析] 由题意，T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x, feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tanπ＝0，故选A.
类型三 图象的对称性
1．已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．
[解析]由x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq \f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)
[解析] ∵y＝tanx的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，∴x＋eq \f(π,5)＝eq \f(kπ,2)，(k∈Z)∴x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,5)(k∈Z)
当k＝2时，x＝eq \f(4,5)π，∴对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)π，0)).
3．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
[解析]①由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))).
②T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq \f(π,3)＜x＜2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))， k∈Z.
④由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，∴函数图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z.
4．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))且|φ|[解析] 由题意得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)(k∈Z)，又|φ|5．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ，0))对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
[解析] ①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；
观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称，
令x＋φ＝eq \f(kπ,2)得x＝eq \f(kπ,2)－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．
6．下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增 B．最小正周期是2π
C．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))成中心对称 D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称
[解析]令kπ－eq \f(π,2)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象也没有对称轴，故D错误．故选C.
7．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解析] (1)∵ω＝eq \f(1,2)，∴周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，则x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．
(2)令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3)；令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3)；令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3).
∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左，
右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，
从而得到函数y＝f(x)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图)．
题型三 正切函数单调性的应用
类型一 求单调区间
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调增区间是________．
[解析]令kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,5)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(3π,10)＜x＜kπ＋eq \f(7π,10)，k∈Z
即函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z.
2．求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间．
[解析]y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，由－eq \f(π,2)＋kπ＜2x－eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得，
－eq \f(π,8)＋eq \f(k,2)π＜x＜eq \f(3π,8)＋eq \f(k,2)π，k∈Z，所以y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的减区间为(－eq \f(π,8)＋eq \f(k,2)π，eq \f(3π,8)＋eq \f(k,2)π)，k∈Z.
3．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；
[解析]由kπ－eq \f(π,2)所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．
4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．
[解析] 由题意知，kπ－eq \f(π,2)所以2kπ－eq \f(3π,2)5．函数 f(x)＝eq \f(1,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
[解析]由 kπ－eq \f(π,2)故 f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))(k∈Z)．
类型二 比较大小
1．tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
[解析]y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又eq \f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq \f(3π,2)，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.
2．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800°B．tan 1＞－tan 2
C．taneq \f(5π,7)＜taneq \f(4π,7) D．taneq \f(9π,8)＜taneq \f(π,7)
[解析]对于A，tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，所以tan 735°＜tan 800°；
对于B，－tan 2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜eq \f(π,2)，所以tan 1＜－tan 2；
对于C，eq \f(π,2)＜eq \f(4π,7)＜eq \f(5π,7)＜π，taneq \f(4π,7)＜taneq \f(5π,7)；
对于D，taneq \f(9π,8)＝taneq \f(π,8)＜taneq \f(π,7).
3．比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))的大小；
[解析]由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(3π,4)))＝taneq \f(3π,4)＝－taneq \f(π,4)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq \f(2π,5)，
又0－taneq \f(2π,5)，
即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5))).
4．比较大小：taneq \f(6,5)π________taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))；
[解析]taneq \f(6,5)π＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,5)))＝taneq \f(π,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))＝－taneq \f(13,7)π＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,7)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7)))＝taneq \f(π,7)，
因为－eq \f(π,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π)).
5．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4))).
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))的大小．
[解析] (1)因为f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))，所以T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,4))＝4π.
由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,4)－eq \f(π,6)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq \f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq \f(8π,3)(k∈Z)．
因为y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递增，
所以f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递减．
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)
(2)f(π)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝－3taneq \f(π,12)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,24)))＝－3taneq \f(5π,24)，
因为eq \f(π,12)＜eq \f(5π,24)，且y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以taneq \f(π,12)＜taneq \f(5π,24)，所以f(π)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2))).
类型三 单调性的应用(求参等)
1．解不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤eq \r(3).
[解析]将x＋eq \f(π,3)看成一个整体，由函数y＝tanx的图象可知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足tanx≤eq \r(3)的解应满足－eq \f(π,2)所以不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤eq \r(3)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|kπ－\f(5,6)π2．若tan x≥1，则( )
A．2kπ－eq \f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－eq \f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)≤x＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
[解析]因为tan x≥1＝taneq \f(π,4).所以eq \f(π,4)＋kπ≤x＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
3．不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为______________．
[解析]由已知可得kπ＋eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)∴不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))\f(kπ,2)≤x<\f(kπ,2)－\f(3,8)π，k∈Z)).
4．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是( )
[解析]当eq \f(π,2)＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜eq \f(3π,2)时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.
5．已知函数y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
[解析]∵y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，∴ω<0且T＝eq \f(π,|ω|)≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.
6．已知函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜eq \f(3,2)，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．
[解析]因为1＜T＜eq \f(3,2)，所以1＜eq \f(π,k)＜eq \f(3,2)，即eq \f(2π,3)＜k＜π.因为k∈N*，所以k＝3，则f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))，
由3x－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))是非奇非偶函数．由－eq \f(π,2)＋kπ＜3x－eq \f(π,3)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得－eq \f(π,18)＋eq \f(kπ,3)＜x＜eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z.所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)＋\f(kπ,3)，\f(5π,18)＋\f(kπ,3)))，k∈Z.
7．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数的θ的取值范围．
[解析] (1)当θ＝－eq \f(π,6)时，f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))2－eq \f(4,3).因为x∈[－1，eq \r(3)]，
所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
因为y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，所以－tanθ≤－1或－tanθ≥eq \r(3)，
即tanθ≥1或tanθ≤－eq \r(3).又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
8．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称．
(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．
[解析] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)，即eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2).
因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x)的图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，
所以2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z.又0＜φ＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4).故f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
(2)令－eq \f(π,2)＋kπ＜2x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得－eq \f(3π,4)＋kπ＜2x＜kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，即－eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)＜x＜eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，无单调递减区间．
9．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－ax))在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
[解析]∵y＝tan θ在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.
又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5,8)π))，∴－ax∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,8)π，－\f(5a,8)π))，∴eq \f(π,4)－ax∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(a,8)π，\f(π,4)－\f(5a,8)π))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)≤\f(π,4)－\f(a,8)πk∈Z，,kπ＋\f(π,2)≥\f(π,4)－\f(5,8)aπk∈Z.))
解得－eq \f(2,5)－eq \f(8k,5)≤a≤6－8k(k∈Z)．令－eq \f(2,5)－eq \f(8k,5)＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数