高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题57二倍角的正弦、余弦、正切公式(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题57二倍角的正弦、余弦、正切公式(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式，要牢记二倍角公式的几种变形，求下列各式的值，eq \f的值是，eq \f＝等内容，欢迎下载使用。

2.余弦的二倍角公式的变形
3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
(2)降幂公式：sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
4．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(3)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).
(4)1±sin 2α＝(sinα±csα)2.
5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：
(1)sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq \f(2tanα,1＋tan2α).
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cs2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
题型一 给角求值
1．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．cs215°－sin215° C．2sin215° D．sin215°＋cs215°
2．求下列各式的值：
(1)cs415°－sin415°；(2)1－2sin275°；(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)；(4)cs 72°cs 36°；(5)eq \f(2tan150°,1－tan2150°)；
3．求下列各式的值．
(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝________；(2)eq \f(1,2)－cs215°＝________；(3)eq \f(1－tan215°,tan15°)＝________.
4．cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°的值等于
5．sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于
6．eq \f(sin 20°cs 20°,cs2155°－sin2155°)的值是
7．求下列各式的值：
(1)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)；(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
8．eq \f(sin65°cs25°＋cs65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝
9．cs20°cs40°cs80°值为 .
10．cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为
11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.
题型二 给值求值
1．设α是第四象限角，已知sinα＝－eq \f(3,5)，则sin2α，cs2α和tan2α的值分别为( )
A．－eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，－eq \f(24,7) B.eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，eq \f(24,7) C．－eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，eq \f(24,7) D.eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，－eq \f(24,7)
2．已知α是第三象限角，csα＝－eq \f(5,13)，则sin2α等于
3．若tan θ＝2则tan 2θ＝________.
4．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝
5．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α＝
6．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是________．
7．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cs2α＋1，则sinα＝
8．已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是
9．已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5).
(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cs 2α的值．
10．已知eq \f(π,2)<α<π，sin α＝eq \f(4,5).
(1)求tan 2α的值；(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值．
11．已知角α在第一象限且csα＝eq \f(3,5)，求eq \f(1＋\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))的值．
12．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则sin2x＝__________.
13．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin2α等于
14．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
15．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________.
16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq \f(4,3)，则tan α＝________.
17．已知eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是________．
18．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且3cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，则sin 2α的值为
19．若tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α＝________.
20．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则sin(－3π＋2α)＝
21．若eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2019，则eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝________.
22．已知θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(2θ－15°)＝________.
23．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，eq \f(1,sin θ)＋eq \f(1,cs θ)＝2eq \r(2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝________．
24．已知cs x＝eq \f(\r(10),10)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．
25．已知sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．
26．已知027．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cs2x＋2eq \r(3)sinxcsx.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，求sin2α.
28．已知sin 2θ＝eq \f(3,4)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
29．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
30．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于
31．设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝
32．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
33．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且α∈(0，π)．
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).
34．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
题型三 给值求角
1．已知sin22α＋sin 2αcs α－cs 2α＝1，则锐角α＝________.
2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cs α＋2cs β＝3，则α＋2β的值为
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，则α= .
4．已知角α，β为锐角，且1－cs2α＝sinαcsα，tan(β－α)＝eq \f(1,3)，则β＝________.
5．已知tanα＝eq \f(1,7)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
6．已知tanα＝eq \f(1,3)，tanβ＝－eq \f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
题型四 化简问题
1．eq \f(2sin2α,1＋cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)等于
2．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin10°cs10°)＝________.
3．化简eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))= .
4．化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝________.
5．化简：tan 70°cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)＝________.
6．化简eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,\r(1－cs80°))＝________；
7．在△ABC中，若sinBsinC＝cs2eq \f(A,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)＝( )
A．－2cs5° B．2cs5°
C．－2sin5° D．2sin5°
9．若α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________．
10．设－3π<α<－eq \f(5π,2)，化简 eq \r(\f(1－cs（α－π）,2))的结果是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)
11．化简eq \f(tan 14°,1－tan214°)·cs 28°的结果为( )
A.eq \f(sin 28°,2) B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cs 28°
12．eq \f(\r(1－2sin 20°cs 20°),2cs210°－\r(1－cs2160°)－1)＝________．
13．化简：(1)eq \r(1＋sin20°)＋eq \r(1－sin20°)；(2)eq \f(1＋sin4α＋cs4α,1＋sin4α－cs4α).
14．求值：eq \f(sin 50°1＋\r(3)tan 10°－cs 20°,cs 80°\r(1－cs 20°)).
题型五 证明问题
1．证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).
2．求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
3．求证：eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝taneq \f(θ,2).
4．求证：eq \f(sin2x＋cs2x－1sin2x－cs2x＋1,sin4x)＝tanx.
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sinαcsα
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
专题57 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.余弦的二倍角公式的变形
3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
(2)降幂公式：sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
4．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(3)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).
(4)1±sin 2α＝(sinα±csα)2.
5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：
(1)sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq \f(2tanα,1＋tan2α).
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cs2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
题型一 给角求值
1．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．cs215°－sin215° C．2sin215° D．sin215°＋cs215°
[解析]2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)；cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)；2sin215°＝1－cs 30°＝1－eq \f(\r(3),2)；
sin215°＋cs215°＝1，故选B.
2．求下列各式的值：
(1)cs415°－sin415°；(2)1－2sin275°；(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)；(4)cs 72°cs 36°；(5)eq \f(2tan150°,1－tan2150°)；
[解析] (1)cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(2)1－2sin275°＝1－(1－cs 150°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).
(4)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(5) 原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq \r(3).
3．求下列各式的值．
(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝________；(2)eq \f(1,2)－cs215°＝________；(3)eq \f(1－tan215°,tan15°)＝________.
[解析] (1)∵sineq \f(3π,8)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝cseq \f(π,8)，∴sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)＝eq \f(1,2)·2sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),4).
(2)原式＝eq \f(1,2)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,2)cs30°＝－eq \f(\r(3),4).
(3)原式＝eq \f(2,tan30°)＝2eq \r(3).
4．cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°的值等于
[解析]原式＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°＝1＋eq \f(1,2)sin30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
5．sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于
[解析] 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)
6．eq \f(sin 20°cs 20°,cs2155°－sin2155°)的值是
[解析]原式＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 310°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).
7．求下列各式的值：
(1)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)；(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
[解析] (1)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
8．eq \f(sin65°cs25°＋cs65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝
[解析] 原式＝eq \f(sin90°－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq \f(1－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq \f(1,tan45°)＝1.
9．cs20°cs40°cs80°值为 .
[解析]原式＝eq \f(2sin20°·cs20°·cs40°·cs80°,2sin20°)＝eq \f(2sin40°·cs40°·cs80°,4sin20°)＝eq \f(2sin80°·cs80°,8sin20°)＝eq \f(sin160°,8sin20°)＝eq \f(1,8).
10．cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为
[解析] ∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，
∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).
11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.
[解析] 原式＝sin6°cs12°cs24°cs48°＝eq \f(sin6°cs6°cs12°cs24°cs48°,cs6°)
＝eq \f(\f(1,2)sin12°cs12°cs24°cs48°,cs6°)＝eq \f(\f(1,4)sin24°cs24°cs48°,cs6°)＝eq \f(\f(1,8)sin48°cs48°,cs6°)＝eq \f(\f(1,16)sin96°,cs6°)＝eq \f(\f(1,16)cs6°,cs6°)＝eq \f(1,16)
题型二 给值求值
1．设α是第四象限角，已知sinα＝－eq \f(3,5)，则sin2α，cs2α和tan2α的值分别为( )
A．－eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，－eq \f(24,7) B.eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，eq \f(24,7) C．－eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，eq \f(24,7) D.eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，－eq \f(24,7)
[解析]因为α是第四象限角，且sinα＝－eq \f(3,5)，所以csα＝eq \f(4,5)，
所以sin2α＝2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，cs2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(24,7).
2．已知α是第三象限角，csα＝－eq \f(5,13)，则sin2α等于
[解析] ∵csα＝－eq \f(5,13)，α是第三象限角，∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(12,13)(舍正)
因此，sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(120,169).
3．若tan θ＝2则tan 2θ＝________.
[解析]tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).
4．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝
[解析]∵sin α－cs α＝eq \f(4,3)，∴1－2sin αcs α＝eq \f(16,9)，即1－sin 2α＝eq \f(16,9)，∴sin 2α＝－eq \f(7,9).
5．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α＝
[解析]因为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×－3,1－－32)＝eq \f(3,4).
6．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是________．
[解析]∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcs α＝－sin α.由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，
∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，∴tan 2α＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).
7．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cs2α＋1，则sinα＝
[解析]∵2sin2α＝cs2α＋1，∴4sinα·csα＝2cs2α.∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα>0，sinα>0，∴2sinα＝csα，
又sin2α＋cs2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝eq \f(1,5)，又sinα>0，∴sinα＝eq \f(\r(5),5)
8．已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是
[解析]设底角为θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝eq \f(\r(5),3)，∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(2,3)，
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).
9．已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5).
(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cs 2α的值．
[解析] (1)因为cs α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)＜α＜π，所以sin α＝eq \f(3,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
(2)因为sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，
所以sin 2α＋cs 2α＝－eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)＝－eq \f(17,25).
10．已知eq \f(π,2)<α<π，sin α＝eq \f(4,5).
(1)求tan 2α的值；(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值．
[解析](1)由题意得cs α＝－eq \f(3,5)，所以tan α＝－eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(－\f(8,3),1－\f(16,9))＝eq \f(24,7).
(2)因为sin α＝eq \f(4,5)，所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(7,25)，
sin 2α＝2sin α·cs α＝2×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(24,25).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝cs 2α·cs eq \f(π,4)＋sin 2α·sin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,25)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(31\r(2),50).
11．已知角α在第一象限且csα＝eq \f(3,5)，求eq \f(1＋\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))的值．
[解析]∵csα＝eq \f(3,5)且α在第一象限，∴sinα＝eq \f(4,5).∴cs2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(7,25)，
sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(24,25)，∴原式＝eq \f(1＋\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2αcs\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4))),csα)＝eq \f(1＋cs2α＋sin2α,csα)＝eq \f(14,5).
12．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则sin2x＝__________.
[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(98,100)
而sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(2,100)－eq \f(98,100)＝－eq \f(96,100)＝－eq \f(24,25).
13．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin2α等于
[解析]因为sin2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1，又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，所以sin2α＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25)
14．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
[解析]cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6).
15．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________.
[解析]eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6).
16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq \f(4,3)，则tan α＝________.
[解析]∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，∴tan α＝－eq \f(1,2)或tan α＝2.
∵α在第二象限，∴tan α＝－eq \f(1,2).
17．已知eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是________．
[解析]由eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(tanα,\f(tanα＋1,1－tanα))＝eq \f(tanα1－tanα,tanα＋1)＝－eq \f(2,3)，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－eq \f(1,3).
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝sin2αcseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)(sin2α＋cs2α)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sinαcsα＋cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)))
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2tanα＋1－tan2α,tan2α＋1)))，
当tanα＝2时，上式＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2×2＋1－22,22＋1)))＝eq \f(\r(2),10)；
当tanα＝－eq \f(1,3)时，上式＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2＋1)))＝eq \f(\r(2),10).
综上，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10).
18．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且3cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，则sin 2α的值为
[解析]cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，代入原式，
得6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，
所以sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝－eq \f(17,18).
19．若tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α＝________.
[解析]由tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，得tanα＝eq \f(1,3)或tanα＝3.
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα＝3.∴sinα＝eq \f(3,\r(10))，csα＝eq \f(1,\r(10)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α＝sin2αcseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)＋2cseq \f(π,4)cs2α
＝eq \f(\r(2),2)×2sinαcsα＋eq \f(\r(2),2)(2cs2α－1)＋eq \r(2)cs2α＝eq \r(2)sinαcsα＋2eq \r(2)cs2α－eq \f(\r(2),2)
＝eq \r(2)×eq \f(3,\r(10))×eq \f(1,\r(10))＋2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(10))))2－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(5\r(2),10)－eq \f(\r(2),2)＝0.
20．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则sin(－3π＋2α)＝
[解析]易得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,9).
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))＝eq \f(7,9).
21．若eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2019，则eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝________.
[解析]eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝eq \f(1,cs 2α)＋eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(1＋sin 2α,cs 2α)＝eq \f(cs α＋sin α2,cs2α－sin2α)＝eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2 019.
22．已知θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(2θ－15°)＝________.
[解析]∵θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，∴sin(θ＋15°)＝eq \f(4,5)，
∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cs(θ＋15°)＝eq \f(24,25)，
cs(2θ＋30°)＝2cs2(θ＋15°)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).
∴cs(2θ－15°)＝cs(2θ＋30°－45°)＝cs(2θ＋30°)cs45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50).
23．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，eq \f(1,sin θ)＋eq \f(1,cs θ)＝2eq \r(2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝________．
[解析]eq \f(1,sin θ)＋eq \f(1,cs θ)＝2eq \r(2)⇒eq \f(sin θ＋cs θ,sin θcs θ)＝2eq \r(2)⇒sin θ＋cs θ＝2eq \r(2)sin θcs θ⇒1＋sin 2θ＝2sin22θ，
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－eq \f(1,2)，所以sin θ＋cs θ<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝sin 2θ·cseq \f(π,3)＋sineq \f(π,3)cs 2θ＝eq \f(1,2).
24．已知cs x＝eq \f(\r(10),10)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．
[解析]∵cs x＝eq \f(\r(10),10)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴sin 2x＝2sin xcs x＝－eq \f(3,5)，
∴eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,4)－sin 2xsin \f(π,4)))＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(4,5).
25．已知sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．
[解析] (1)由sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0，知cseq \f(x,2)≠0，∴taneq \f(x,2)＝2，
∴tanx＝eq \f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).
(2)由(1)，知tanx＝－eq \f(4,3)，
∴eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)＝eq \f(cs2x,－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))－sinx)＝eq \f(cs2x－sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csx－\f(\r(2),2)sinx))sinx)
＝eq \f(csx－sinxcsx＋sinx,\f(\r(2),2)csx－sinxsinx)＝eq \r(2)×eq \f(csx＋sinx,sinx)＝eq \r(2)×eq \f(1＋tanx,tanx)＝eq \f(\r(2),4).
26．已知0[解析]∵sin2eq \f(x,2)＋eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(x,2)))＝eq \f(1－csx,2)－eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))＝eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
∴由已知得eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,10)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).∵0结合sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))),1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))＝eq \f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq \f(24,7).
27．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cs2x＋2eq \r(3)sinxcsx.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，求sin2α.
[解析] (1)f(x)＝eq \f(1,2)cs2x－eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x＋eq \r(3)sin2x＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2)f(α)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－eq \f(π,6)＜2α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),7)，
∴sin2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3),14).
28．已知sin 2θ＝eq \f(3,4)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
[解析]cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))),2)＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2θ,2)，∵sin 2θ＝eq \f(3,4)，
∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1＋\f(3,4),2)＝eq \f(7,8).
29．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
[解析]∵eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4).∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＞0，∴eq \f(3π,2)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，
sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,25)＝－eq \f(31\r(2),50).
30．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于
[解析]因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).
31．设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝
[解析]因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))))＝－eq \f(5,9).
32．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tan α ＝ eq \f(sin α ,cs α )＝eq \f(4,3)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α .因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以 tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7).
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
33．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且α∈(0，π)．
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).
[解析] (1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，因为α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin α－cs α＝eq \r(2－sin α＋cs α2)＝eq \f(7,5)，解得sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，故tan α＝－eq \f(4,3)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).
(2)2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
＝1－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α＝1－cs α＝eq \f(8,5).
34．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
[解析]∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，∴AD＝CD＝10eq \r(3) m.
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10eq \r(3)sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，∴10eq \r(3)sin 4θ＝30sin 2θ，
即20eq \r(3)sin 2θcs 2θ＝30sin 2θ，∴cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)，又2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ＝eq \f(π,6)，∴θ＝eq \f(π,12)，
∴AE＝30sineq \f(π,6)＝15(m)，∴θ＝eq \f(π,12)，建筑物AE的高为15 m.
题型三 给值求角
1．已知sin22α＋sin 2αcs α－cs 2α＝1，则锐角α＝________.
[解析]由原式，得sin22α＋sin 2αcs α－2cs2α＝0，
∴(2sin αcs α)2＋2sin αcs2α－2cs2α＝0，∴2cs2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，
∴2cs2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵α为锐角，∴cs2α≠0，sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，
∴sin α＝eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(π,6).
2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cs α＋2cs β＝3，则α＋2β的值为
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(2,3)sin β， ①,cs α＝1－\f(2,3)cs β， ②))，①2＋②2得cs β＝eq \f(1,3)，cs α＝eq \f(7,9)，
由α，β均为锐角知，sin β＝eq \f(2\r(2),3)，sin α＝eq \f(4\r(2),9)，
∴tan β＝2eq \r(2)，tan α＝eq \f(4\r(2),7)，∴tan 2β＝－eq \f(4\r(2),7)，
∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，∴α＋2β＝π.
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，则α= .
[解析]∵sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
∴原式可化为1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12).
4．已知角α，β为锐角，且1－cs2α＝sinαcsα，tan(β－α)＝eq \f(1,3)，则β＝________.
[解析]由1－cs2α＝sinαcsα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcsα，即2sin2α＝sinαcsα.
∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝csα，即tanα＝eq \f(1,2).
解法一：由tan(β－α)＝eq \f(tanβ－tanα,1＋tanβtanα)＝eq \f(tanβ－\f(1,2),1＋\f(1,2)tanβ)＝eq \f(1,3)，得tanβ＝1.∵β为锐角，∴β＝eq \f(π,4).
解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝eq \f(tanβ－α＋tanα,1－tanβ－αtanα)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.
∵β为锐角，∴β＝eq \f(π,4).
5．已知tanα＝eq \f(1,7)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
[解析]∵tanα＝eq \f(1,7)<1，且α为锐角，∴0<α又∵sinβ＝eq \f(\r(10),10)由sinβ＝eq \f(\r(10),10)，β为锐角，得csβ＝eq \f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq \f(1,3)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(1,2)，∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，故α＋2β＝eq \f(π,4).
6．已知tanα＝eq \f(1,3)，tanβ＝－eq \f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解析]∵tanα＝eq \f(1,3)>0，α∈(0，π)，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2α∈(0，π)，
∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(3,4)>0，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
又∵tanβ＝－eq \f(1,7)<0，β∈(0，π)，∴β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴tan(2α－β)＝eq \f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq \f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))),1＋\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))))＝1
又∵2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－eq \f(3π,4).
题型四 化简问题
1．eq \f(2sin2α,1＋cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)等于
[解析]原式＝eq \f(4sinαcsα,1＋2cs2α－1)·eq \f(cs2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,cs2α)＝eq \f(sin2α,cs2α)＝tan2α.
2．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin10°cs10°)＝________.
[解析]原式＝eq \f(2sin235°－1,2sin10°cs10°)＝－eq \f(cs70°,sin20°)＝eq \f(－cs70°,sin90°－70°)＝－1
3．化简eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))= .
[解析]解法一：原式＝eq \f(2cs2α－1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝eq \f(2cs2α－1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(2cs2α－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
解法二：原式＝eq \f(cs2α,2·\f(1－tanα,1＋tanα)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)csα))2)＝eq \f(cs2α,\f(csα－sinα,csα＋sinα)sinα＋csα2)
＝eq \f(cs2α,csα－sinαcsα＋sinα)＝eq \f(cs2α,cs2α－sin2α)＝1.
4．化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝________.
[解析]原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.
5．化简：tan 70°cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)＝________.
[解析]原式＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°,cs 20°)－1))＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(2sin－10°,cs 20°)＝－eq \f(sin 70°,cs 70°)·eq \f(sin 20°,cs 20°)＝－1.
6．化简eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,\r(1－cs80°))＝________；
[解析]eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,\r(1－cs80°))＝eq \f(2sin30°cs10°＋cs30°sin10°,\r(2sin240°))＝eq \f(2sin40°,\r(2)sin40°)＝eq \r(2).
7．在△ABC中，若sinBsinC＝cs2eq \f(A,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析]由sinBsinC＝cs2eq \f(A,2)得sinBsinC＝eq \f(1＋csA,2)，∴2sinBsinC＝1＋csA，
∴2sinBsinC＝1＋cs[π－(B＋C)]＝1－cs(B＋C)，
∴2sinBsinC＝1－csBcsC＋sinBsinC，
∴csBcsC＋sinBsinC＝1，∴cs(B－C)＝1，
又∵－180°∴△ABC是等腰三角形．
8．eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)＝( )
A．－2cs5° B．2cs5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[解析] 原式＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)＝eq \r(2)(cs50°－sin50°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs50°－\f(\r(2),2)sin50°))
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案] C
9．若α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________．
[解析] 因为α为第三象限角，所以cs α＜0，sin α＜0，
所以eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝eq \f(\r(2cs2α),cs α)－eq \f(\r(2sin2α),sin α)＝eq \f(－\r(2)cs α,cs α)－eq \f(－\r(2)sin α,sin α)＝0.
10．设－3π<α<－eq \f(5π,2)，化简 eq \r(\f(1－cs（α－π）,2))的结果是( )
A．sineq \f(α,2) B．cseq \f(α,2)
C．－cseq \f(α,2) D．－sineq \f(α,2)
[解析] 因为－3π<α<－eq \f(5π,2)，－eq \f(3π,2)11．化简eq \f(tan 14°,1－tan214°)·cs 28°的结果为( )
A.eq \f(sin 28°,2) B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cs 28°
[解析]eq \f(tan 14°,1－tan214°)·cs 28°＝eq \f(1,2)×eq \f(2tan 14°,1－tan214°)·cs 28°＝eq \f(1,2)tan 28°·cs 28°＝eq \f(sin 28°,2)，故选A.
12．eq \f(\r(1－2sin 20°cs 20°),2cs210°－\r(1－cs2160°)－1)＝________．
[解析] eq \f(\r(1－2sin 20°cs 20°),2cs210°－\r(1－cs2160°)－1)＝eq \f(\r(（cs 20°－sin 20°）2),cs 20°－sin 20°)＝eq \f(cs 20°－sin 20°,cs 20°－sin 20°)＝1.
13．化简：(1)eq \r(1＋sin20°)＋eq \r(1－sin20°)；(2)eq \f(1＋sin4α＋cs4α,1＋sin4α－cs4α).
[解析] (1)原式＝eq \r(sin210°＋cs210°＋2sin10°cs10°)＋eq \r(sin210°＋cs210°－2sin10°cs10°)
＝eq \r(sin10°＋cs10°2)＋eq \r(sin10°－cs10°2)＝|sin10°＋cs10°|＋|sin10°－cs10°|
＝sin10°＋cs10°＋cs10°－sin10°＝2cs10°.
(2)原式＝eq \f(1＋2sin2αcs2α＋2cs22α－1,1＋2sin2αcs2α＋2sin22α－1)＝eq \f(2cs22α＋2cs2αsin2α,2sin22α＋2sin2αcs2α)＝eq \f(2cs2αcs2α＋sin2α,2sin2αsin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α).
14．求值：eq \f(sin 50°1＋\r(3)tan 10°－cs 20°,cs 80°\r(1－cs 20°)).
[解析] ∵sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)＝sin 50°·eq \f(2sin 40°,cs 10°)＝1，
cs 80°eq \r(1－cs 20°)＝sin 10°eq \r(2sin210°)＝eq \r(2)sin210°，
∴eq \f(sin 50°1＋\r(3)tan 10°－cs 20°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝eq \f(1－cs 20°,\r(2)sin210°)＝eq \r(2).
题型五 证明问题
1．证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).
[解析] 左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)
＝－4eq \r(3)＝右边，所以原等式成立．
2．求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
[解析] (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)＝cs 2Acs 2B＝右边，∴等式成立．
(2)法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．
法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)＝左边．
3．求证：eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝taneq \f(θ,2).
[解析] eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2))＝eq \f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2))),2cs\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝taneq \f(θ,2).
4．求证：eq \f(sin2x＋cs2x－1sin2x－cs2x＋1,sin4x)＝tanx.
[解析] 证法一：左边＝eq \f(2sinxcsx－2sin2x2sinxcsx＋2sin2x,sin4x)＝eq \f(4sin2xcs2x－sin2x,sin4x)＝eq \f(4sin2xcs2x,2sin2xcs2x)
＝eq \f(4sin2x,2×2sinxcsx)＝tanx＝右边．故原等式成立．
证法二：左边＝eq \f(sin2x＋cs2x－1sin2x－cs2x＋1,sin2x＋cs2x2－1)＝eq \f(sin2x＋cs2x－1sin2x－cs2x＋1,sin2x＋cs2x－1sin2x＋cs2x＋1)
＝eq \f(sin2x＋1－cs2x,sin2x＋1＋cs2x)＝eq \f(2sinxcsx＋2sin2x,2sinxcsx＋2cs2x)＝eq \f(2sinxcsx＋sinx,2csxsinx＋csx)＝tanx＝右边．
故原等式成立．
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sinαcsα
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)