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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题56两角和与差的正切公式(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题56两角和与差的正切公式(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了两角和与差的正切公式，两角和与差的正切公式的灵活运用，求值等内容，欢迎下载使用。
2．两角和与差的正切公式的灵活运用
(1)正切公式的逆用
eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
(2)正切公式的变形应用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
1－tanαtanβ＝eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)； 1＋tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β).
tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
题型一 两角和与差的正切公式的正用
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于
2．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
3．求值：taneq \f(11π,12)＝________.
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝
5．若2cs α－sin α＝0，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于
6．已知tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
7．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝
8．已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
9．已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝________.
10．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为
11．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于
12．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为________．
13．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，则tan(α＋β)的值为 ．
14．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是
15．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
16．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于
17．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.
18．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
19．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
20．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________．
21．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α22．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
23．已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
25．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0<α(1)tan(α－β)；(2)α＋β的值．
26．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；(2)tan(α＋β)的值．
27．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．
28．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，
(1)求tan α的值；(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
30．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
31．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α).
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
33．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
题型二 两角和与差的正切公式的逆用
1．(1)eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.(2) eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
2．eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.
3．eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
4．eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于
A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°
5．求值：(1)eq \f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
6．求值：(1)eq \f(cs75°－sin75°,cs75°＋sin75°)；(2)eq \f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).
7．eq \f(tan 18°＋tan 42°＋tan 120°,tan 18°tan 42°tan 60°)＝________．
8．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于
2．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
3．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
4．化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°=
5．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.
6．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝__________.
7．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanAtanB，则C等于
8．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)
C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)
9．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
10．若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，则α＋β的值为 ．
11．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为
13．已知△ABC中，eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，则C的大小为________．
14．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为________．
15．已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
16．eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于
17．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为________．
18．计算： tan eq \f(π,9)＋tan eq \f(2π,9)＋eq \r(3)tan eq \f(π,9)tan eq \f(2π,9)=
19．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于
名称
简记
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
专题56 两角和与差的正切公式
1．两角和与差的正切公式
2．两角和与差的正切公式的灵活运用
(1)正切公式的逆用
eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
(2)正切公式的变形应用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
1－tanαtanβ＝eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)； 1＋tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β).
tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
题型一 两角和与差的正切公式的正用
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于
[解析] tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(1,3).
2．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
3．求值：taneq \f(11π,12)＝________.
[解析]taneq \f(11π,12)＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq \r(3).
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝
[解析] sinα＝eq \f(3,5)⇒csα＝－eq \f(4,5)⇒tanα＝－eq \f(3,4).∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－－\f(3,4)×1)＝eq \f(1,7).
5．若2cs α－sin α＝0，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
6．已知tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
[解析]因为tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，所以tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))＝eq \f(tanα－\f(5π,4)＋tan \f(5π,4),1－tanα－\f(5π,4)tan \f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).
7．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝
[解析] tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).
8．已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
[解析]因为cs α＝eq \f(3,5)，α为锐角，所以sin α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan αtanα－β)＝eq \f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝3.
9．已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝________.
[解析]∵csα＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，
∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4).∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tanα－tanα－β,1＋tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
10．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为
[解析] ∵sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，∴tanα＝－eq \f(3,4).∵tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2).
∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq \f(2,11).
11．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于
[解析] ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－eq \f(4,3)，∴tan α＝eq \f(4,3)，
∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.
12．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为________．
[解析]tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝eq \f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)＝eq \f(\r(3)－33\r(3)－1,3\r(3)2－1)
＝eq \f(12－10\r(3),26)＝eq \f(6－5\r(3),13).
13．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，则tan(α＋β)的值为 ．
[解析]因为α，β都是锐角，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(4,3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2.
14．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是
[解析]∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(1,3)，∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tan α＝eq \f(a,1)＝a，∴a＝－2.
15．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
[解析]由条件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，则tan α＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq \f(tanβ－α－tan α,1＋tanβ－αtan α)＝eq \f(－2－2,1＋－2×2)＝eq \f(4,3).
16．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).
17．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.
[解析] eq \f(sinα＋β,csα－β)＝eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ＋sinαsinβ)＝eq \f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(3,1＋－3)＝－eq \f(3,2).
18．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
[解析]taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
19．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
[解析]由题意得tan A＋tan B＝eq \f(5,6)，tan Atan B＝eq \f(1,6)，∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1.
又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝eq \f(3π,4).
20．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________．
[解析]由tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝6，则两根同号，
且都为负数，故α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，故α＋β＝－eq \f(3π,4).
21．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α[解析]由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3eq \r(3)，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0.
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3).又∵－eq \f(π,2)<α∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).
22．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
[解析] 因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3＋2,1－3×2)＝－1.
又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝eq \f(3,4)π，α＝eq \f(3,8)π.
23．已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
[解析]∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.
∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,4).
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[解析]∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2)，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
25．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0<α(1)tan(α－β)；(2)α＋β的值．
[解析] (1)因为tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，所以tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，又因为0<α所以eq \f(π,2)<α＋β26．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；(2)tan(α＋β)的值．
[解析] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))＝eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)×2\r(2))＝－eq \r(2).
(2)tan(α＋β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(－\r(2)＋1,1＋\r(2)×1)＝2eq \r(2)－3.
27．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．
[解析] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，得tan α＝eq \f(1,3).
(2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tan α＋tan（α－β）,1－tan αtan（α－β）)＝1，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，得2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，所以2α－β＝eq \f(π,4).
28．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，
(1)求tan α的值；(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．
[解析] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α)＝2，∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).
(2)原式＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)
＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解析]由条件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).∵α，β为锐角，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).
因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).
(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(4,3)，∴tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan α·tan 2β)＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，∴α＋2β＝eq \f(3π,4).
30．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解析]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(1,3)，又α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，
而tanβ＝－eq \f(1,7)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－eq \f(3π,4).
31．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α).
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
[解析] (1)因为tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，所以tan α＝－eq \f(1,3)，
因为tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α)＝eq \f(sin 2α＋4cs2α,10cs2α－sin 2α)＝eq \f(2sin αcs α＋4cs2α,10cs2α－2sin αcs α)
＝eq \f(2cs α（sin α＋2cs α）,2cs α（5cs α－sin α）)＝eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(tan α＋2,5－tan α)，所以tan(α＋β)＝eq \f(－\f(1,3)＋2,5＋\f(1,3))＝eq \f(5,16).
(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tan α,1＋tan（α＋β）tan α)，所以tan β＝eq \f(\f(5,16)＋\f(1,3),1－\f(5,16)×\f(1,3))＝eq \f(31,43).
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
[解析]由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝eq \r(a2＋2a－BP2)，解得BP＝eq \f(2,3)a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝eq \f(AB,BP)＝eq \f(3,2)，tan β＝eq \f(CD,PC)＝eq \f(3,4)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－18，又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
33．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
[解析]假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．
由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).
又taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，所以taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，
因此taneq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
若taneq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2)，这与α为锐角矛盾，所以taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，
所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).
题型二 两角和与差的正切公式的逆用
1．(1)eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.(2) eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
[解析] (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
2．eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.
[解析] eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq \f(1,tan72°－12°)＝－eq \f(\r(3),3).
3．eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
[解析]原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
4．eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于
A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°
[解析]∵tan 60°＝eq \r(3)，∴原式＝eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°)＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
5．求值：(1)eq \f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
[解析] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
6．求值：(1)eq \f(cs75°－sin75°,cs75°＋sin75°)；(2)eq \f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).
[解析] (1)原式＝eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(1,tan27°＋33°)＝eq \f(1,tan60°)＝eq \f(\r(3),3).
7．eq \f(tan 18°＋tan 42°＋tan 120°,tan 18°tan 42°tan 60°)＝________．
[解析]因为tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，所以原式＝－1.
8．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
[解析]∵sin 2α＝2sin 2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cs(α－β)－2cs(α＋β)sin(α－β)，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＝3cs(α＋β)sin(α－β)，
两边同除以cs(α－β)cs(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于
[解析]∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，解得tan αtan β＝eq \f(1,2).
2．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
[解析]tan45°＝tan(19°＋26°)＝eq \f(tan19°＋tan26°,1－tan19°tan26°)＝1.所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，
则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.
3．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
[解析] ∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.
4．化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°=
[解析](1)解法一：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°
＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
解法二：∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)－eq \r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
5．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.
[解析]∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°，
∴原式＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°－eq \r(3)tan50°·tan70°＝－eq \r(3).
6．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝__________.
[解析]原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋eq \r(3)(tan10°＋tan20°)
＝tan10°tan20°＋eq \r(3)tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.
7．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanAtanB，则C等于
[解析]因为tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＋eq \r(3)＝eq \f(tanA＋tanB＋\r(3)－\r(3)tanAtanB,1－tanAtanB)；
根据题意可知，tanA＋tanB＋eq \r(3)－eq \r(3)tanAtanB＝0，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝eq \r(3)，
因为在三角形中08．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)
C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)
[解析]由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得，
tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)＝eq \r(3)(1－m)．
9．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
[解析]原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
10．若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，则α＋β的值为 ．
[解析]∵(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝1＋eq \r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝eq \r(3)(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \r(3).
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°.
11．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为
[解析] ∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝taneq \f(3π,4)(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，
∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为
[解析] ∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°
＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2
又1＋tan45°＝2∴原式＝223.
13．已知△ABC中，eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，则C的大小为________．
[解析]依题意有eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \r(3)，即tan(A＋B)＝－eq \r(3).又因为0所以A＋B＝eq \f(2π,3)，所以C＝π－A－B＝eq \f(π,3).
14．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为________．
[解析]tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\f(2,3)\r(3),1－tan Atan B)＝－eq \r(3).
所以tan Atan B＝eq \f(1,3).
15．已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[解析]∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).
∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)，∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)，
∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)，∴△ABC为等腰钝角三角形．
16．eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于
[解析]因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.
所以原式＝eq \f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)＝－eq \r(3).
17．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为________．
[解析]∵α＋β＝eq \f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lgeq \f(1,a)＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，1＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，∴lg (10a)lgeq \f(1,a)＝0，∴lg (10a)＝0或lgeq \f(1,a)＝0，
解得a＝eq \f(1,10)或a＝1.
18．计算： tan eq \f(π,9)＋tan eq \f(2π,9)＋eq \r(3)tan eq \f(π,9)tan eq \f(2π,9)=
[解析]taneq \f(π,9)＋taneq \f(2π,9)＋eq \r(3)taneq \f(π,9)·taneq \f(2π,9)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)＋\f(2π,9)))(1－taneq \f(π,9)·taneq \f(2π,9))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9)
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan\f(π,9)tan\f(2π,9)))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9)＝eq \r(3).
19．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于
[解析]由公式变形得：tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3eq \r(3).
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3eq \r(3)，∴tan B＝eq \r(3)，B＝60°.
名称
简记
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
2．两角和与差的正切公式的灵活运用
(1)正切公式的逆用
eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
(2)正切公式的变形应用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
1－tanαtanβ＝eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)； 1＋tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β).
tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
题型一 两角和与差的正切公式的正用
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于
2．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
3．求值：taneq \f(11π,12)＝________.
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝
5．若2cs α－sin α＝0，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于
6．已知tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
7．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝
8．已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
9．已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝________.
10．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为
11．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于
12．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为________．
13．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，则tan(α＋β)的值为 ．
14．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是
15．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
16．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于
17．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.
18．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
19．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
20．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________．
21．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α
23．已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
25．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0<α
26．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；(2)tan(α＋β)的值．
27．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．
28．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，
(1)求tan α的值；(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
30．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
31．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α).
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
33．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
题型二 两角和与差的正切公式的逆用
1．(1)eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.(2) eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
2．eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.
3．eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
4．eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于
A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°
5．求值：(1)eq \f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
6．求值：(1)eq \f(cs75°－sin75°,cs75°＋sin75°)；(2)eq \f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).
7．eq \f(tan 18°＋tan 42°＋tan 120°,tan 18°tan 42°tan 60°)＝________．
8．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于
2．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
3．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
4．化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°=
5．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.
6．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝__________.
7．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanAtanB，则C等于
8．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)
C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)
9．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
10．若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，则α＋β的值为 ．
11．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为
13．已知△ABC中，eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，则C的大小为________．
14．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为________．
15．已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
16．eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于
17．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为________．
18．计算： tan eq \f(π,9)＋tan eq \f(2π,9)＋eq \r(3)tan eq \f(π,9)tan eq \f(2π,9)=
19．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于
名称
简记
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
专题56 两角和与差的正切公式
1．两角和与差的正切公式
2．两角和与差的正切公式的灵活运用
(1)正切公式的逆用
eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
(2)正切公式的变形应用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
1－tanαtanβ＝eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)； 1＋tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β).
tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
题型一 两角和与差的正切公式的正用
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于
[解析] tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(1,3).
2．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
3．求值：taneq \f(11π,12)＝________.
[解析]taneq \f(11π,12)＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq \r(3).
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝
[解析] sinα＝eq \f(3,5)⇒csα＝－eq \f(4,5)⇒tanα＝－eq \f(3,4).∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－－\f(3,4)×1)＝eq \f(1,7).
5．若2cs α－sin α＝0，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
6．已知tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
[解析]因为tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，所以tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))＝eq \f(tanα－\f(5π,4)＋tan \f(5π,4),1－tanα－\f(5π,4)tan \f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).
7．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝
[解析] tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).
8．已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
[解析]因为cs α＝eq \f(3,5)，α为锐角，所以sin α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan αtanα－β)＝eq \f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝3.
9．已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝________.
[解析]∵csα＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，
∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4).∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tanα－tanα－β,1＋tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
10．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为
[解析] ∵sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，∴tanα＝－eq \f(3,4).∵tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2).
∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq \f(2,11).
11．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于
[解析] ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－eq \f(4,3)，∴tan α＝eq \f(4,3)，
∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.
12．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为________．
[解析]tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝eq \f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)＝eq \f(\r(3)－33\r(3)－1,3\r(3)2－1)
＝eq \f(12－10\r(3),26)＝eq \f(6－5\r(3),13).
13．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，则tan(α＋β)的值为 ．
[解析]因为α，β都是锐角，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(4,3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2.
14．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是
[解析]∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(1,3)，∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tan α＝eq \f(a,1)＝a，∴a＝－2.
15．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
[解析]由条件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，则tan α＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq \f(tanβ－α－tan α,1＋tanβ－αtan α)＝eq \f(－2－2,1＋－2×2)＝eq \f(4,3).
16．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于
[解析]taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).
17．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.
[解析] eq \f(sinα＋β,csα－β)＝eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ＋sinαsinβ)＝eq \f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(3,1＋－3)＝－eq \f(3,2).
18．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
[解析]taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
19．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
[解析]由题意得tan A＋tan B＝eq \f(5,6)，tan Atan B＝eq \f(1,6)，∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1.
又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝eq \f(3π,4).
20．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________．
[解析]由tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝6，则两根同号，
且都为负数，故α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，故α＋β＝－eq \f(3π,4).
21．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3).又∵－eq \f(π,2)<α
22．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
[解析] 因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3＋2,1－3×2)＝－1.
又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝eq \f(3,4)π，α＝eq \f(3,8)π.
23．已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
[解析]∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.
∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,4).
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[解析]∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2)，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
25．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0<α
[解析] (1)因为tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，所以tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，又因为0<α
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；(2)tan(α＋β)的值．
[解析] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))＝eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)×2\r(2))＝－eq \r(2).
(2)tan(α＋β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(－\r(2)＋1,1＋\r(2)×1)＝2eq \r(2)－3.
27．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．
[解析] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，得tan α＝eq \f(1,3).
(2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tan α＋tan（α－β）,1－tan αtan（α－β）)＝1，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，得2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，所以2α－β＝eq \f(π,4).
28．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，
(1)求tan α的值；(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．
[解析] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α)＝2，∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).
(2)原式＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)
＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解析]由条件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).∵α，β为锐角，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).
因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).
(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(4,3)，∴tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan α·tan 2β)＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，∴α＋2β＝eq \f(3π,4).
30．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解析]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(1,3)，又α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，
而tanβ＝－eq \f(1,7)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－eq \f(3π,4).
31．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α).
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
[解析] (1)因为tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，所以tan α＝－eq \f(1,3)，
因为tan(α＋β)＝eq \f(sin（π－2α）＋4cs2α,10cs2α－sin 2α)＝eq \f(sin 2α＋4cs2α,10cs2α－sin 2α)＝eq \f(2sin αcs α＋4cs2α,10cs2α－2sin αcs α)
＝eq \f(2cs α（sin α＋2cs α）,2cs α（5cs α－sin α）)＝eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(tan α＋2,5－tan α)，所以tan(α＋β)＝eq \f(－\f(1,3)＋2,5＋\f(1,3))＝eq \f(5,16).
(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tan α,1＋tan（α＋β）tan α)，所以tan β＝eq \f(\f(5,16)＋\f(1,3),1－\f(5,16)×\f(1,3))＝eq \f(31,43).
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
[解析]由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝eq \r(a2＋2a－BP2)，解得BP＝eq \f(2,3)a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝eq \f(AB,BP)＝eq \f(3,2)，tan β＝eq \f(CD,PC)＝eq \f(3,4)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－18，又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
33．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
[解析]假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．
由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).
又taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，所以taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，
因此taneq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
若taneq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2)，这与α为锐角矛盾，所以taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，
所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).
题型二 两角和与差的正切公式的逆用
1．(1)eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.(2) eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
[解析] (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
2．eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.
[解析] eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq \f(1,tan72°－12°)＝－eq \f(\r(3),3).
3．eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
[解析]原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
4．eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于
A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°
[解析]∵tan 60°＝eq \r(3)，∴原式＝eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°)＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
5．求值：(1)eq \f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
[解析] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
6．求值：(1)eq \f(cs75°－sin75°,cs75°＋sin75°)；(2)eq \f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).
[解析] (1)原式＝eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(1,tan27°＋33°)＝eq \f(1,tan60°)＝eq \f(\r(3),3).
7．eq \f(tan 18°＋tan 42°＋tan 120°,tan 18°tan 42°tan 60°)＝________．
[解析]因为tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，所以原式＝－1.
8．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
[解析]∵sin 2α＝2sin 2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cs(α－β)－2cs(α＋β)sin(α－β)，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＝3cs(α＋β)sin(α－β)，
两边同除以cs(α－β)cs(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于
[解析]∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，解得tan αtan β＝eq \f(1,2).
2．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
[解析]tan45°＝tan(19°＋26°)＝eq \f(tan19°＋tan26°,1－tan19°tan26°)＝1.所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，
则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.
3．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
[解析] ∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.
4．化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°=
[解析](1)解法一：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°
＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
解法二：∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)－eq \r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
5．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.
[解析]∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°，
∴原式＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°－eq \r(3)tan50°·tan70°＝－eq \r(3).
6．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝__________.
[解析]原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋eq \r(3)(tan10°＋tan20°)
＝tan10°tan20°＋eq \r(3)tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.
7．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanAtanB，则C等于
[解析]因为tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＋eq \r(3)＝eq \f(tanA＋tanB＋\r(3)－\r(3)tanAtanB,1－tanAtanB)；
根据题意可知，tanA＋tanB＋eq \r(3)－eq \r(3)tanAtanB＝0，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝eq \r(3)，
因为在三角形中0
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)
C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)
[解析]由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得，
tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)＝eq \r(3)(1－m)．
9．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
[解析]原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
10．若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，则α＋β的值为 ．
[解析]∵(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝1＋eq \r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝eq \r(3)(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \r(3).
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°.
11．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为
[解析] ∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝taneq \f(3π,4)(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，
∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为
[解析] ∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°
＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2
又1＋tan45°＝2∴原式＝223.
13．已知△ABC中，eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，则C的大小为________．
[解析]依题意有eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \r(3)，即tan(A＋B)＝－eq \r(3).又因为0
14．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为________．
[解析]tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\f(2,3)\r(3),1－tan Atan B)＝－eq \r(3).
所以tan Atan B＝eq \f(1,3).
15．已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[解析]∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).
∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)，∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)，
∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)，∴△ABC为等腰钝角三角形．
16．eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于
[解析]因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.
所以原式＝eq \f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)＝－eq \r(3).
17．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为________．
[解析]∵α＋β＝eq \f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lgeq \f(1,a)＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，1＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，∴lg (10a)lgeq \f(1,a)＝0，∴lg (10a)＝0或lgeq \f(1,a)＝0，
解得a＝eq \f(1,10)或a＝1.
18．计算： tan eq \f(π,9)＋tan eq \f(2π,9)＋eq \r(3)tan eq \f(π,9)tan eq \f(2π,9)=
[解析]taneq \f(π,9)＋taneq \f(2π,9)＋eq \r(3)taneq \f(π,9)·taneq \f(2π,9)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)＋\f(2π,9)))(1－taneq \f(π,9)·taneq \f(2π,9))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9)
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan\f(π,9)tan\f(2π,9)))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9)＝eq \r(3).
19．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于
[解析]由公式变形得：tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3eq \r(3).
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3eq \r(3)，∴tan B＝eq \r(3)，B＝60°.
名称
简记
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
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