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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题61函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题61函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(原卷版+解析)，共35页。
(1)简谐运动的振幅就是A.
(2)简谐运动的周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)简谐运动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π).
(4)ωx＋φ称为相位．
(5) x＝0时的相位φ称为初相．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
题型一 已知函数图象求解析式
1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C．－eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．
4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x－\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))等于( )
A.eq \f(1,2) B．0 C．2 D．－2
7．已知函数f(x)＝|Acs(x＋φ)＋1|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2，φ＝eq \f(π,6) B．A＝3，φ＝eq \f(π,6) C．A＝2，φ＝eq \f(π,3) D．A＝3，φ＝eq \f(π,3)
8．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)的图象如图所示，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,3)，则f(0)＝________.
9．已知函数f(x)＝2cs(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝eq \f(π,6) D．B＝4
11．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4 C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x－\f(2π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x＋\f(3π,5))) D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．
14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.
16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<φ <\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq \f(π,4)，且图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3)).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．
(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))
在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．
19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．
23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
27．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)
为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
题型二 三角函数图象与性质的综合应用
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．
2．函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
3．将函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))
4．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq \f(π,6)个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
5．在函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝eq \f(π,6)时，有最大值2，当x＝eq \f(2π,3)时，有最小值－2，则ω＝________.
8．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
B．x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数
9．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称；②图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为________．
11．函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))对称 D．关于直线x＝eq \f(π,12)对称
12．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinxcsx＋eq \f(1,2)cs2x＋1.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．
15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值3；当x＝eq \f(7,12)π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
17．已知函数f(x)＝2cs2ωx－1＋2eq \r(3)sin ωxcs ωx(0＜ω＜1)，直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移eq \f(2π,3)个单位长度得到的，若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求sin α的值．
18．设m为实常数，已知方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；(2)求α＋β的值．
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
y
－1
1
3
1
－1
1
3
专题61 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
(1)简谐运动的振幅就是A.
(2)简谐运动的周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)简谐运动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π).
(4)ωx＋φ称为相位．
(5) x＝0时的相位φ称为初相．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
题型一 已知函数图象求解析式
1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－eq \f(π,6)×2＋φ＝2kπ，得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|解法二：待定系数法由图象知A＝3.∵图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，且由图象的上升及下降趋势，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
解法三：图象变换法
由A＝3，T＝π，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移eq \f(π,6)个单位长度而得，
所以y＝3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C．－eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
[解析]由图象知T＝eq \f(2π,ω)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝π，所以ω＝2，2×eq \f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－eq \f(π,2)<φ所以φ＝－eq \f(π,3).故选A.
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．
[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－eq \f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移eq \f(π,6)个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x－\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析]由图象知A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2，
∵图象过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，2))，∴2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，∴eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析]由图知T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又x＝eq \f(π,12)时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．[答案] D
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))等于( )
A.eq \f(1,2) B．0 C．2 D．－2
[解析]解法一：由图可知，eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))代入上式得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝0，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，0))是图象上升的趋势的点，
∴eq \f(3π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－eq \f(3π,4).∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)＋2kπ－\f(3π,4)))＝0.
解法二：由图可知，eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3).
又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))＝0.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝0.[答案] B
7．已知函数f(x)＝|Acs(x＋φ)＋1|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2，φ＝eq \f(π,6) B．A＝3，φ＝eq \f(π,6) C．A＝2，φ＝eq \f(π,3) D．A＝3，φ＝eq \f(π,3)
[解析]由题图知：A＝eq \f(3－（－1）,2)＝2，又f(0)＝|2cs φ＋1|＝2，
所以cs φ＝eq \f(1,2)或cs φ＝－eq \f(3,2)(舍)，因为|φ|0，所以φ＝eq \f(π,3)，故选C.
8．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)的图象如图所示，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,3)，则f(0)＝________.
[解析]由图象可得最小正周期为eq \f(2π,3).所以f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))，注意到eq \f(2π,3)与eq \f(π,2)关于eq \f(7π,12)对称，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(2,3).
9．已知函数f(x)＝2cs(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．
[解析]由函数图象可知函数f(x)的周期T＝eq \f(3π,2)－eq \f(π,2)＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2cs(π－φ)＝－2cs φ＝eq \r(2)，
则cs φ＝－eq \f(\r(2),2).因为φ∈[0，π]，所以φ＝eq \f(3π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))，则f(0)＝－eq \r(2).
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝eq \f(π,6) D．B＝4
[解析]由图象可知，A＝2，eq \f(1,4)T＝eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，T＝π，ω＝2.因为2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，故选C.
11．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4 C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
[解析]由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq \f(1,2)，又因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上
所以6＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1，
所以eq \f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq \f(π,2)
所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.
12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x－\f(2π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x＋\f(3π,5))) D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))
[解析]eq \f(T,4)＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12)，于是eq \f(2π,ω)＝eq \f(5π,3)，即ω＝eq \f(6,5)，排除A、D.
不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，于是eq \f(6,5)·eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋eq \f(3π,5)(k∈Z)，所以φ可以是eq \f(3π,5)，故选C.
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．
[解析]由题图得A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(π,2)，即T＝π.由ω>0，T＝eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2.
又当x＝eq \f(π,3)时，ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即2×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，又|φ|所以φ＝－eq \f(π,6).因此f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))(x∈R)．
14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[解析] 由图象可知A＝1，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.∵图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq \f(2π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
故将函数y＝sinx先向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.
[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2eq \r(2)，得 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq \r(2).
解得T＝4，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)＋φ)).
又∵函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，∴f(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq \f(1,2).
又∵－eq \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).
16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<φ <\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq \f(π,4)，且图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．
[解析]由题意知A＝5，eq \f(T,2)＝eq \f(π,4)，所以T＝eq \f(π,2)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．
又因为图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，所以eq \f(5,2)＝5sin φ，
即sin φ＝eq \f(1,2)，所以φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或φ＝eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ所以这个函数的解析式为y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3)).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
[解析] (1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，可知函数f(x)的周期为π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2.
又函数f(x)图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3))，|φ|得φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 可得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)，k∈Z，
又x∈[0，π]，则可得单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，π)).
18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．
(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))
在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．
[解析] (1)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)＋\f(π,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，它的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.
由题中图象知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又2×eq \f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
所以它的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．
[解析]由最低点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为eq \f(π,2)，故eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.
由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,6).故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解析] (1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝π，故ω＝eq \f(2π,T)＝2，
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))代入f(x)的解析式得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).故函数f(x)的解析式为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)变换过程如下：y＝sin x图象上的eq \(――――――――――――――――→,\s\up15(所有点的横坐标缩小为原来1/2倍),\s\d15(纵坐标不变))y＝sin 2x的图象，
再把y＝sin 2x的图象,向左平移eq \f(π,12)个单位y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．
[解析] (1)由函数图象得A＝1，eq \f(T,4)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))代入得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq \f(π,2)<φ(2)由于－π≤x≤－eq \f(π,6)，－eq \f(2π,3)≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)，所以－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤eq \f(1,2)，所以f(x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．
[解析] (1)由图象可知A＝1，eq \f(T,4)＝eq \f(2π,4ω)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，所以ω＝2.
又由图象知2·eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，又|φ|(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))时，2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，
所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
[解析] (1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1，0)代入，得0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋φ)).因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).
(2)因为－1≤x≤2，所以0≤eq \f(π,4)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3,4)π，所以0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤1，所以0≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤2.
所以函数f(x)的值域为[0，2]．
24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析] (1)A＝3，eq \f(2π,ω)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,4)))＝5π，ω＝eq \f(2,5).
由f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋φ))过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)＋φ))＝0.
又∵|φ|(2)由f(x＋m)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋m－\f(π,10)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋\f(2m,5)－\f(π,10)))为偶函数(m＞0)，
知eq \f(2m,5)－eq \f(π,10)＝kπ＋eq \f(π,2)，即m＝eq \f(5,2)kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z∵m＞0，∴mmin＝eq \f(3π,2).
故把f(x)的图象向左至少平移eq \f(3π,2)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
[解析] (1)依题意，得A＝eq \r(2)，T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，
∵T＝eq \f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq \f(1,2).∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋φ)).∵曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.∴φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.∵－eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4).∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－eq \f(3π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(3π,2)，4kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋eq \f(π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(5π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(π,2)，4kπ＋\f(5π,2)))(k∈Z)．
26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
[解析] (1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).
将点(－1,0)代入，得0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋φ)).∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－2＋\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))，
∴g(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(π,4))＝8.
27．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)
为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
[解析] (1)∵f(x)为偶函数，∴φ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cs ωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2)，∴T＝eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cs 2x＋1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)))＋1＝eq \r(2)＋1.
(2)将f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))的图象，
所以g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))))＋1＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.
当2kπ≤eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq \f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(8π,3)(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．
28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝eq \f(11π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，由T＝eq \f(2π,ω)，得ω＝1，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B＋A＝3，,B－A＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝1，))令ω·eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，即eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，解得φ＝－eq \f(π,3)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋1.(答案不唯一)
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))＋1的最小正周期为eq \f(2π,3)，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－eq \f(π,3)，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，如图所示，
当sin t＝s在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有两个不同的实数解时，s∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[eq \r(3)＋1,3)，即实数m的取值范围是[eq \r(3)＋1,3)．
题型二 三角函数图象与性质的综合应用
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．
[解析] 函数的对称中心：eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，0))(k∈Z)，
对称轴方程：eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴x＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z.
2．函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
[解析]∵x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，令k＝－1，得x＝－eq \f(π,6).
3．将函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))
[解析]由题意g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，令2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
解得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝1时，x＝eq \f(2π,3)，故函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0)).
4．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq \f(π,6)个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
[解析]将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
可以得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，再向右平移eq \f(π,6)个单位可以得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))的图象，因此，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))，由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝sin 0＝0，选项A正确．
5．在函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋eq \f(2π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6)，0))(k∈Z)．取k＝1得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))满足条件．
6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析] 由①知T＝π＝eq \f(2π,ω)，ω＝2，排除A.由②③知x＝eq \f(π,3)时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝eq \f(π,6)时，有最大值2，当x＝eq \f(2π,3)时，有最小值－2，则ω＝________.
[解析]依题意知eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝π，又T＝eq \f(2π,ω)＝π，得ω＝2.
8．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
B．x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数
[解析]令2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq \f(π,12)，即函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，选项A正确；
令2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq \f(π,6)，即x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋eq \f(π,3)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，选项C错误；若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，
则2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数，选项D正确．故选C.
9．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称；②图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2).feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π－\f(π,3)))＝0，故①错，②正确．
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5,12)π＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2,3)π))的图象，故④错．
10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为________．
[解析]由题意知2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－eq \f(5,6)π.
11．函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))对称 D．关于直线x＝eq \f(π,12)对称
[解析]将函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后，可得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，又|φ|令x＝－eq \f(π,3)，求得f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)，故排除A；
令x＝－eq \f(π,6)，求得f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝0，故排除B；令x＝eq \f(π,12)，求得f(x)＝cs 0＝1，为函数的最大值，排除C，选D.
12．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
[解析]因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以直线x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,4)是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，所以当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最小值．
所以eq \f(π,4)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3)，(k∈Z)
又因为T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－eq \f(10,3)＝eq \f(14,3).
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinxcsx＋eq \f(1,2)cs2x＋1.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(cs2x＋1,4)＋1＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(1,4)cs2x＋eq \f(5,4)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cs2x))＋eq \f(5,4)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4).
所以函数f(x)的振幅为eq \f(1,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)令2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(5,4)))(k∈Z)．
(3)当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝－1，即2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为eq \f(3,4)，此时x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．
[解析]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝eq \f(π,2).
由f(x)的图象关于点M对称，可知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2)＝kπ，解得ω＝eq \f(4k,3)－eq \f(2,3)，k∈Z.
又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，所以T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π.∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝eq \f(2,3)；k＝2时，ω＝2.故φ＝eq \f(π,2)，ω＝2或eq \f(2,3).
15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
[解析] (1)将y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象．
(2)因为x∈[0，3π]，所以eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,3)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，
所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示：
故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))∪{1，－1}．
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值3；当x＝eq \f(7,12)π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由题意，易知A＝3，T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π－\f(π,12)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.由2×eq \f(π,12)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又∵－π<φ<π，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(2)由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))，k∈Z.
(3)由题意知，方程sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(m－1,6)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上有两个实根．
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴eq \f(m－1,6)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴m∈[1＋3eq \r(3)，7)．
17．已知函数f(x)＝2cs2ωx－1＋2eq \r(3)sin ωxcs ωx(0＜ω＜1)，直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移eq \f(2π,3)个单位长度得到的，若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求sin α的值．
[解析] (1)f(x)＝cs 2ωx＋eq \r(3)sin 2ωx＝2sin2ωx＋eq \f(π,6)，
由于直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))的图象的一条对称轴，所以eq \f(2π,3)ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得ω＝eq \f(3,2)k＋eq \f(1,2)(k∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
由2kπ－eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－eq \f(2π,3)，2kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,6)))，即g(x)＝2cseq \f(x,2)，
由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(6,5)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故eq \f(π,6)＜α＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·cseq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·sineq \f(π,6)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(4\r(3)－3,10).
18．设m为实常数，已知方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；(2)求α＋β的值．
[解析]作出函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在区间(0,2π)上的图象如图所示．
(1)若方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象与y＝m有两个相异的交点．观察图象知，当－eq \r(2)＜m＜eq \r(2)且m≠1时有两个相异的交点，即方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－eq \r(2)，1)∪(1，eq \r(2))．
(2)当m∈(－eq \r(2)，1)时，由图象易知两交点关于直线x＝eq \f(5π,4)对称，∴eq \f(α＋β,2)＝eq \f(5π,4)，α＋β＝eq \f(5π,2).
当m∈(1，eq \r(2))时，由图象易知两交点关于直线x＝eq \f(π,4)对称，∴eq \f(α＋β,2)＝eq \f(π,4)，α＋β＝eq \f(π,2)，故α＋β的值为eq \f(5π,2)或eq \f(π,2).
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)简谐运动的振幅就是A.
(2)简谐运动的周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)简谐运动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π).
(4)ωx＋φ称为相位．
(5) x＝0时的相位φ称为初相．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
题型一 已知函数图象求解析式
1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C．－eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．
4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x－\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))等于( )
A.eq \f(1,2) B．0 C．2 D．－2
7．已知函数f(x)＝|Acs(x＋φ)＋1|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2，φ＝eq \f(π,6) B．A＝3，φ＝eq \f(π,6) C．A＝2，φ＝eq \f(π,3) D．A＝3，φ＝eq \f(π,3)
8．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)的图象如图所示，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,3)，则f(0)＝________.
9．已知函数f(x)＝2cs(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|
11．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4 C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x－\f(2π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x＋\f(3π,5))) D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．
14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.
16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<φ <\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq \f(π,4)，且图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3)).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．
(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))
在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．
19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．
23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
27．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)
为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
题型二 三角函数图象与性质的综合应用
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．
2．函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
3．将函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))
4．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq \f(π,6)个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
5．在函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝eq \f(π,6)时，有最大值2，当x＝eq \f(2π,3)时，有最小值－2，则ω＝________.
8．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
B．x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数
9．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称；②图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为________．
11．函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))对称 D．关于直线x＝eq \f(π,12)对称
12．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinxcsx＋eq \f(1,2)cs2x＋1.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．
15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值3；当x＝eq \f(7,12)π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
17．已知函数f(x)＝2cs2ωx－1＋2eq \r(3)sin ωxcs ωx(0＜ω＜1)，直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移eq \f(2π,3)个单位长度得到的，若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求sin α的值．
18．设m为实常数，已知方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；(2)求α＋β的值．
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
y
－1
1
3
1
－1
1
3
专题61 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
(1)简谐运动的振幅就是A.
(2)简谐运动的周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)简谐运动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π).
(4)ωx＋φ称为相位．
(5) x＝0时的相位φ称为初相．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
题型一 已知函数图象求解析式
1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－eq \f(π,6)×2＋φ＝2kπ，得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
解法三：图象变换法
由A＝3，T＝π，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移eq \f(π,6)个单位长度而得，
所以y＝3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C．－eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
[解析]由图象知T＝eq \f(2π,ω)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝π，所以ω＝2，2×eq \f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－eq \f(π,2)<φ
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．
[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－eq \f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移eq \f(π,6)个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)x－\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析]由图象知A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2，
∵图象过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，2))，∴2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，∴eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析]由图知T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又x＝eq \f(π,12)时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．[答案] D
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))等于( )
A.eq \f(1,2) B．0 C．2 D．－2
[解析]解法一：由图可知，eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))代入上式得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝0，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，0))是图象上升的趋势的点，
∴eq \f(3π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－eq \f(3π,4).∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)＋2kπ－\f(3π,4)))＝0.
解法二：由图可知，eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3).
又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))＝0.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝0.[答案] B
7．已知函数f(x)＝|Acs(x＋φ)＋1|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2，φ＝eq \f(π,6) B．A＝3，φ＝eq \f(π,6) C．A＝2，φ＝eq \f(π,3) D．A＝3，φ＝eq \f(π,3)
[解析]由题图知：A＝eq \f(3－（－1）,2)＝2，又f(0)＝|2cs φ＋1|＝2，
所以cs φ＝eq \f(1,2)或cs φ＝－eq \f(3,2)(舍)，因为|φ|
8．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)的图象如图所示，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,3)，则f(0)＝________.
[解析]由图象可得最小正周期为eq \f(2π,3).所以f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))，注意到eq \f(2π,3)与eq \f(π,2)关于eq \f(7π,12)对称，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(2,3).
9．已知函数f(x)＝2cs(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．
[解析]由函数图象可知函数f(x)的周期T＝eq \f(3π,2)－eq \f(π,2)＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2cs(π－φ)＝－2cs φ＝eq \r(2)，
则cs φ＝－eq \f(\r(2),2).因为φ∈[0，π]，所以φ＝eq \f(3π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))，则f(0)＝－eq \r(2).
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|
[解析]由图象可知，A＝2，eq \f(1,4)T＝eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，T＝π，ω＝2.因为2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，故选C.
11．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4 C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
[解析]由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq \f(1,2)，又因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上
所以6＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1，
所以eq \f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq \f(π,2)
所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.
12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x－\f(2π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)x＋\f(3π,5))) D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))
[解析]eq \f(T,4)＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12)，于是eq \f(2π,ω)＝eq \f(5π,3)，即ω＝eq \f(6,5)，排除A、D.
不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，于是eq \f(6,5)·eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋eq \f(3π,5)(k∈Z)，所以φ可以是eq \f(3π,5)，故选C.
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．
[解析]由题图得A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(π,2)，即T＝π.由ω>0，T＝eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2.
又当x＝eq \f(π,3)时，ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即2×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，又|φ|
14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[解析] 由图象可知A＝1，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.∵图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq \f(2π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
故将函数y＝sinx先向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.
[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2eq \r(2)，得 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq \r(2).
解得T＝4，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)＋φ)).
又∵函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，∴f(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq \f(1,2).
又∵－eq \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).
16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0<φ <\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq \f(π,4)，且图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．
[解析]由题意知A＝5，eq \f(T,2)＝eq \f(π,4)，所以T＝eq \f(π,2)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．
又因为图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，所以eq \f(5,2)＝5sin φ，
即sin φ＝eq \f(1,2)，所以φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或φ＝eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3)).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
[解析] (1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq \f(π,4)，可知函数f(x)的周期为π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2.
又函数f(x)图象上有一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－3))，|φ|
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 可得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)，k∈Z，
又x∈[0，π]，则可得单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，π)).
18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．
(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))
在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．
[解析] (1)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)＋\f(π,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，它的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.
由题中图象知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又2×eq \f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
所以它的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．
[解析]由最低点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为eq \f(π,2)，故eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.
由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,6).故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解析] (1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝π，故ω＝eq \f(2π,T)＝2，
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))代入f(x)的解析式得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).故函数f(x)的解析式为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)变换过程如下：y＝sin x图象上的eq \(――――――――――――――――→,\s\up15(所有点的横坐标缩小为原来1/2倍),\s\d15(纵坐标不变))y＝sin 2x的图象，
再把y＝sin 2x的图象,向左平移eq \f(π,12)个单位y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．
[解析] (1)由函数图象得A＝1，eq \f(T,4)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))代入得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq \f(π,2)<φ
22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．
[解析] (1)由图象可知A＝1，eq \f(T,4)＝eq \f(2π,4ω)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，所以ω＝2.
又由图象知2·eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，又|φ|
所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
[解析] (1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1，0)代入，得0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋φ)).因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).
(2)因为－1≤x≤2，所以0≤eq \f(π,4)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3,4)π，所以0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤1，所以0≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤2.
所以函数f(x)的值域为[0，2]．
24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析] (1)A＝3，eq \f(2π,ω)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,4)))＝5π，ω＝eq \f(2,5).
由f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋φ))过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)＋φ))＝0.
又∵|φ|
知eq \f(2m,5)－eq \f(π,10)＝kπ＋eq \f(π,2)，即m＝eq \f(5,2)kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z∵m＞0，∴mmin＝eq \f(3π,2).
故把f(x)的图象向左至少平移eq \f(3π,2)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
[解析] (1)依题意，得A＝eq \r(2)，T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，
∵T＝eq \f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq \f(1,2).∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋φ)).∵曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\r(2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.∴φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.∵－eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4).∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－eq \f(3π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(3π,2)，4kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋eq \f(π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(5π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(π,2)，4kπ＋\f(5π,2)))(k∈Z)．
26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
[解析] (1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).
将点(－1,0)代入，得0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋φ)).∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－2＋\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))，
∴g(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(π,4))＝8.
27．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)
为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
[解析] (1)∵f(x)为偶函数，∴φ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cs ωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2)，∴T＝eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cs 2x＋1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)))＋1＝eq \r(2)＋1.
(2)将f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))的图象，
所以g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))))＋1＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.
当2kπ≤eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq \f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(8π,3)(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．
28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝eq \f(11π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，由T＝eq \f(2π,ω)，得ω＝1，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B＋A＝3，,B－A＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝1，))令ω·eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，即eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，解得φ＝－eq \f(π,3)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋1.(答案不唯一)
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))＋1的最小正周期为eq \f(2π,3)，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－eq \f(π,3)，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，如图所示，
当sin t＝s在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有两个不同的实数解时，s∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[eq \r(3)＋1,3)，即实数m的取值范围是[eq \r(3)＋1,3)．
题型二 三角函数图象与性质的综合应用
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．
[解析] 函数的对称中心：eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，0))(k∈Z)，
对称轴方程：eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴x＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z.
2．函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
[解析]∵x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，令k＝－1，得x＝－eq \f(π,6).
3．将函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))
[解析]由题意g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，令2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
解得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝1时，x＝eq \f(2π,3)，故函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0)).
4．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq \f(π,6)个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
[解析]将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
可以得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，再向右平移eq \f(π,6)个单位可以得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))的图象，因此，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))，由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝sin 0＝0，选项A正确．
5．在函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋eq \f(2π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6)，0))(k∈Z)．取k＝1得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))满足条件．
6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
[解析] 由①知T＝π＝eq \f(2π,ω)，ω＝2，排除A.由②③知x＝eq \f(π,3)时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝eq \f(π,6)时，有最大值2，当x＝eq \f(2π,3)时，有最小值－2，则ω＝________.
[解析]依题意知eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝π，又T＝eq \f(2π,ω)＝π，得ω＝2.
8．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
B．x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数
[解析]令2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq \f(π,12)，即函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，选项A正确；
令2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq \f(π,6)，即x＝－eq \f(π,6)是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋eq \f(π,3)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，选项C错误；若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，
则2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))上是增函数，选项D正确．故选C.
9．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称；②图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.
[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2).feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π－\f(π,3)))＝0，故①错，②正确．
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5,12)π＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2,3)π))的图象，故④错．
10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,6)，则φ的值为________．
[解析]由题意知2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－eq \f(5,6)π.
11．函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))对称 D．关于直线x＝eq \f(π,12)对称
[解析]将函数f(x)＝cs(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后，可得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，又|φ|
令x＝－eq \f(π,6)，求得f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝0，故排除B；令x＝eq \f(π,12)，求得f(x)＝cs 0＝1，为函数的最大值，排除C，选D.
12．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
[解析]因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以直线x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,4)是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，所以当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最小值．
所以eq \f(π,4)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3)，(k∈Z)
又因为T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－eq \f(10,3)＝eq \f(14,3).
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinxcsx＋eq \f(1,2)cs2x＋1.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(cs2x＋1,4)＋1＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(1,4)cs2x＋eq \f(5,4)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cs2x))＋eq \f(5,4)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4).
所以函数f(x)的振幅为eq \f(1,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)令2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(5,4)))(k∈Z)．
(3)当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝－1，即2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为eq \f(3,4)，此时x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．
[解析]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝eq \f(π,2).
由f(x)的图象关于点M对称，可知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2)＝kπ，解得ω＝eq \f(4k,3)－eq \f(2,3)，k∈Z.
又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，所以T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π.∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝eq \f(2,3)；k＝2时，ω＝2.故φ＝eq \f(π,2)，ω＝2或eq \f(2,3).
15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
[解析] (1)将y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象．
(2)因为x∈[0，3π]，所以eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,3)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，
所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示：
故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))∪{1，－1}．
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值3；当x＝eq \f(7,12)π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由题意，易知A＝3，T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π－\f(π,12)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.由2×eq \f(π,12)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又∵－π<φ<π，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(2)由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))，k∈Z.
(3)由题意知，方程sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(m－1,6)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上有两个实根．
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴eq \f(m－1,6)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴m∈[1＋3eq \r(3)，7)．
17．已知函数f(x)＝2cs2ωx－1＋2eq \r(3)sin ωxcs ωx(0＜ω＜1)，直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移eq \f(2π,3)个单位长度得到的，若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求sin α的值．
[解析] (1)f(x)＝cs 2ωx＋eq \r(3)sin 2ωx＝2sin2ωx＋eq \f(π,6)，
由于直线x＝eq \f(π,3)是函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))的图象的一条对称轴，所以eq \f(2π,3)ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得ω＝eq \f(3,2)k＋eq \f(1,2)(k∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
由2kπ－eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－eq \f(2π,3)，2kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,6)))，即g(x)＝2cseq \f(x,2)，
由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(6,5)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故eq \f(π,6)＜α＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·cseq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·sineq \f(π,6)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(4\r(3)－3,10).
18．设m为实常数，已知方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；(2)求α＋β的值．
[解析]作出函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在区间(0,2π)上的图象如图所示．
(1)若方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象与y＝m有两个相异的交点．观察图象知，当－eq \r(2)＜m＜eq \r(2)且m≠1时有两个相异的交点，即方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－eq \r(2)，1)∪(1，eq \r(2))．
(2)当m∈(－eq \r(2)，1)时，由图象易知两交点关于直线x＝eq \f(5π,4)对称，∴eq \f(α＋β,2)＝eq \f(5π,4)，α＋β＝eq \f(5π,2).
当m∈(1，eq \r(2))时，由图象易知两交点关于直线x＝eq \f(π,4)对称，∴eq \f(α＋β,2)＝eq \f(π,4)，α＋β＝eq \f(π,2)，故α＋β的值为eq \f(5π,2)或eq \f(π,2).
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
y
－1
1
3
1
－1
1
3
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