高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题30根式(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题30根式(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了根式及相关概念，根式的性质，27的立方根是________，以下说法正确的是，已知m10＝2，则m等于，已知x5＝6，则x等于等内容，欢迎下载使用。

(1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝a.
(2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
(3)eq \r(n,0)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
题型一 n次方根的概念与意义问题
1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．
2．81的4次方根是________．
3．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
4．(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2 019，则x＝________.
(3)若eq \r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________．
5．若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是________．
6．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是eq \r(n,a)
7．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,m2) B.eq \r(5,m)
C.eq \r(6,m) D.eq \r(5,－m)
8．若eq \r(a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
9．已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2)B．－eq \r(10,2)
C.eq \r(210)D．±eq \r(10,2)
10．已知x5＝6，则x等于( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5,6)
C．－eq \r(5,6)D．±eq \r(5,6)
11．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①eq \r(6,－32n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,－52n＋1)；④eq \r(9,－a2)，其中无意义的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
12．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②eq \r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．
A．1 B．2 C．3D．4
13．下列等式中成立的个数是( )
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)；②eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；③eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于零的偶数)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
题型二 利用根式的性质化简求值
1.eq \r(4,81)的运算结果是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．±eq \r(3)
2．下列各式正确的是( )
A.eq \r(6,－32)＝eq \r(3,－3) B.eq \r(4,a4)＝a C.eq \r(6,22)＝eq \r(3,2) D．a0＝1
3．下列各式正确的是( )
A.eq \r(－32)＝－3 B.eq \r(a2)＝a
C.eq \r(22)＝2 D.eq \r(3,－23)＝2
4．eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)的值是( )
A．0B．2(a－b)
C．0或2(a－b)D．a－b
5．下列式子中成立的是( )
A．aeq \r(－a)＝eq \r(－a3)B．aeq \r(－a)＝－eq \r(a3)
C．aeq \r(－a)＝－eq \r(－a3)D．aeq \r(－a)＝eq \r(a3)
6．化简(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)的结果是( )
A．1－aB．2(1－a)
C．a－1D．2(a－1)
7．若eq \r(x－1)＋eq \r(4,x＋y)＝0，则x2 018＋y2 019＝________.
8．化简下列各式：
(1) eq \r(5,－25)；(2) eq \r(4,－104)；(3) eq \r(4,－92)；(4) eq \r(4,a－b4).
9．计算下列各式的值：
(1) eq \r(3,－43)；(2) eq \r(6,3－π6)；(3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋eq \r(4,1－\r(2)4)；(4) eq \r(4,2x＋y4).
10．化简：
(1) eq \r(e＋e－12－4)＋eq \r(e－e－12＋4)(e≈2.7)；(2) eq \r(x－22)＋eq \r(6,x＋26).
11．eq \r(7＋4\r(3))＋eq \r(7－4\r(3))等于( )
A．－4B．2eq \r(3)
C．－2eq \r(3)D．4
12．化简： eq \r(3＋2\r(2))＋ eq \r(3－2\r(2)).
13．化简： eq \r(5＋2\r(6))－ eq \r(6－4\r(2))＋ eq \r(7－4\r(3)).
题型三 有限制条件的根式的运算
1．若2A．5－2aB．2a－5
C．1D．－1
2．已知 eq \r(4a＋12)＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
3．已知xy≠0且eq \r(4x2y2)＝－2xy，则有( )
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y>0
4．若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．
5．化简eq \r(x＋32)－eq \r(3,x－33)等于( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或－2x或2x
6．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果为( )
A．2x－5B．－2x－1
C．－1D．5－2x
7．若x≠0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________.
8．化简： eq \r(b－2\r(b)－1)(19．若 eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．
10．若a>2b，则eq \r(3,a－b3)＋eq \r(a－2b2)＝________.
11．已知eq \r(4,a－14)＋1＝a，化简(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝________.
12．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若013．若－314．已知－115．设x∈[1,2]，化简(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43).
16．若nA．2mB．2n
C．－2mD．－2n
17．已知eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b，求eq \r(4,a＋b4)＋eq \r(3,a＋b3)的值．
18．设－219．已知a1，n∈N*，化简eq \r(n,a－bn)＋eq \r(n,a＋bn).
20．求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
21．等式eq \r(x－5x2－25)＝(5－x)eq \r(x＋5)成立的x取值范围是________．
22．若x>0，y>0，且x－eq \r(xy)－2y＝0，求eq \f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值．
23．化简y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＋eq \r(4x2－12x＋9)，并画出简图，写出最小值．
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)
专题30 根式
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝a.
(2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
(3)eq \r(n,0)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
题型一 n次方根的概念与意义问题
1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．
[解析] ∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq \r(5,－27).
2．81的4次方根是________．
[解析]∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.
3．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
[解析]因为81的平方根为±9，所以a＝±9.又因为－8的立方根为b，所以b＝－2，
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.
4．(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2 019，则x＝________.
(3)若eq \r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________．
[解析] (1)27的立方根是3.
(2)因为x6＝2 019，所以x＝±eq \r(6,2 019).
(3)要使eq \r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
5．若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是________．
[解析]要使eq \r(4,x－2)有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
6．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是eq \r(n,a)
[解析]当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，
故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，eq \r(n,a)无意义，故D错误．
7．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,m2) B.eq \r(5,m)
C.eq \r(6,m) D.eq \r(5,－m)
[解析]当m<0时，eq \r(6,m)没有意义，其余各式均有意义．
8．若eq \r(a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
[解析]由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))∴a≥2且a≠4.
9．已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2)B．－eq \r(10,2)
C.eq \r(210)D．±eq \r(10,2)
[解析]∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±eq \r(10,2).
10．已知x5＝6，则x等于( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5,6)
C．－eq \r(5,6)D．±eq \r(5,6)
[解析] 由x5＝6可知x＝eq \r(5,6).[答案] B
11．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①eq \r(6,－32n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,－52n＋1)；④eq \r(9,－a2)，其中无意义的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
[解析]①中(－3)2n>0，所以eq \r(6,－32n)有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.
12．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②eq \r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．
A．1B．2
C．3D．4
[解析]①16的4次方根应是±2；②eq \r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.
13．下列等式中成立的个数是( )
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)；②eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；③eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于零的偶数)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析]由n次方根的定义可知①②③均正确．
题型二 利用根式的性质化简求值
1.eq \r(4,81)的运算结果是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．±eq \r(3)
[解析]eq \r(4,81)＝eq \r(4,34)＝3.
2．下列各式正确的是( )
A.eq \r(6,－32)＝eq \r(3,－3) B.eq \r(4,a4)＝a C.eq \r(6,22)＝eq \r(3,2) D．a0＝1
[解析] eq \r(6,－32)＝eq \r(6,32)＝eq \r(3,3)，eq \r(4,a4)＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．
3．下列各式正确的是( )
A.eq \r(－32)＝－3 B.eq \r(a2)＝a
C.eq \r(22)＝2 D.eq \r(3,－23)＝2
[解析]由于eq \r(－32)＝3，eq \r(a2)＝|a|, eq \r(3,－23)＝－2，故A、B、D错误．
4．eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)的值是( )
A．0B．2(a－b)
C．0或2(a－b)D．a－b
[解析] 若a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若a5．下列式子中成立的是( )
A．aeq \r(－a)＝eq \r(－a3)B．aeq \r(－a)＝－eq \r(a3)
C．aeq \r(－a)＝－eq \r(－a3)D．aeq \r(－a)＝eq \r(a3)
[解析] 要使aeq \r(－a)有意义，则a≤0，故aeq \r(－a)＝－(－a)eq \r(－a)＝－eq \r(－a2－a)＝－eq \r(－a3)，故选C.
6．化简(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)的结果是( )
A．1－aB．2(1－a)
C．a－1D．2(a－1)
[解析] ∵eq \r(a－1)有意义，∴a－1≥0，即a≥1.
∴(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C.
7．若eq \r(x－1)＋eq \r(4,x＋y)＝0，则x2 018＋y2 019＝________.
[解析]∵eq \r(x－1)≥0，eq \r(4,x＋y)≥0，且eq \r(x－1)＋eq \r(4,x＋y)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,x＋y＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))∴x2 018＋y2 019＝1－1＝0.
8．化简下列各式：
(1) eq \r(5,－25)；(2) eq \r(4,－104)；(3) eq \r(4,－92)；(4) eq \r(4,a－b4).
[解析] (1) eq \r(5,－25)＝－2. (2) eq \r(4,－104)＝|－10|＝10.
(3) eq \r(4,－92)＝eq \r(4,34)＝3. (4) eq \r(4,a－b4)＝|a－b|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－ba≥b，,b－aa9．计算下列各式的值：
(1) eq \r(3,－43)；(2) eq \r(6,3－π6)；(3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋eq \r(4,1－\r(2)4)；(4) eq \r(4,2x＋y4).
[解析](1) eq \r(3,－43)＝－4. (2) eq \r(6,3－π6)＝|3－π|＝π－3.
(3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋eq \r(4,1－\r(2)4)＝(1＋eq \r(2))＋(eq \r(2)－1)＝2eq \r(2).
(4) eq \r(4,2x＋y4)＝|2x＋y|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y，y≥－2x，,－2x－y，y<－2x.))
10．化简：
(1) eq \r(e＋e－12－4)＋eq \r(e－e－12＋4)(e≈2.7)；(2) eq \r(x－22)＋eq \r(6,x＋26).
[解析] (1)原式＝eq \r(e2＋2＋e－2－4)＋eq \r(e2－2＋e－2＋4)＝eq \r(e－e－12)＋eq \r(e＋e－12)＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
(2)原式＝|x－2|＋|x＋2|.
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.
综上，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x≤－2，,4，－211．eq \r(7＋4\r(3))＋eq \r(7－4\r(3))等于( )
A．－4B．2eq \r(3)
C．－2eq \r(3)D．4
[解析] eq \r(7＋4\r(3))＋eq \r(7－4\r(3))＝eq \r(2＋\r(3)2)＋eq \r(2－\r(3)2)＝(2＋eq \r(3))＋(2－eq \r(3))＝4.
12．化简： eq \r(3＋2\r(2))＋ eq \r(3－2\r(2)).
[解析]解法一：
原式＝ eq \r(\r(2)2＋2\r(2)＋1)＋ eq \r(\r(2)2－2\r(2)＋1)＝ eq \r(\r(2)＋12)＋ eq \r(\r(2)－12)＝ eq \r(2)＋1＋eq \r(2)－1＝2eq \r(2).
解法二：令x＝eq \r(3＋2\r(2))＋eq \r(3－2\r(2))，两边平方得x2＝6＋2eq \r(9－8)＝8.因为x>0，所以x＝2eq \r(2).
13．化简： eq \r(5＋2\r(6))－ eq \r(6－4\r(2))＋ eq \r(7－4\r(3)).
[解析]原式＝ eq \r(\r(3)＋\r(2)2)－ eq \r(2－\r(2)2)＋ eq \r(2－\r(3)2)＝eq \r(3)＋eq \r(2)－(2－eq \r(2))＋2－eq \r(3)＝2eq \r(2).
题型三 有限制条件的根式的运算
1．若2A．5－2aB．2a－5
C．1D．－1
[解析] 由于20，所以原式＝a－2＋3－a＝1.故选C.
2．已知 eq \r(4a＋12)＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵eq \r(4a＋12)＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－eq \f(1,4).
3．已知xy≠0且eq \r(4x2y2)＝－2xy，则有( )
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y>0
[解析]eq \r(4x2y2)＝－2xy≥0，又xy≠0，∴xy<0.
4．若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．
[解析] ∵eq \r(9a2－6a＋1)＝eq \r(3a－12)＝|3a－1|，
由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq \f(1,3).故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
5．化简eq \r(x＋32)－eq \r(3,x－33)等于( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或－2x或2x
[解析]原式＝|x＋3|－(x－3)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，x≥－3，,－2x，x<－3，))故选C.
6．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果为( )
A．2x－5B．－2x－1
C．－1D．5－2x
[解析] 由eq \r(2－x)有意义得x≤2.所以eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
7．若x≠0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________.
[解析] ∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋eq \f(|x|,|x|)＝1.
8．化简： eq \r(b－2\r(b)－1)(1[解析] 原式＝eq \r(\r(b)－12)＝eq \r(b)－1(19．若 eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．
[解析]eq \r(2a－12)＝|2a－1|，eq \r(3,1－2a3)＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq \f(1,2).
10．若a>2b，则eq \r(3,a－b3)＋eq \r(a－2b2)＝________.
[解析]因为a>2b，所以eq \r(3,a－b3)＋eq \r(a－2b2)＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b.
11．已知eq \r(4,a－14)＋1＝a，化简(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝________.
[解析]由已知eq \r(4,a－14)＋1＝a，即|a－1|＝a－1，即a≥1，所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.
12．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若0[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq \r(a2＋\f(1,a2)－2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a))).
由于013．若－3[解析]eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－314．已知－1[解析]原式＝eq \r(x－22)－eq \r(x＋12)＝|x－2|－|x＋1|.
因为－10，x－2<0，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
15．设x∈[1,2]，化简(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43).
[解析] (eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43)＝(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x－26)
∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
16．若nA．2mB．2n
C．－2mD．－2n
[解析] 原式＝eq \r(m＋n2)－eq \r(m－n2)＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，
∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案] C
17．已知eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b，求eq \r(4,a＋b4)＋eq \r(3,a＋b3)的值．
[解析]因为eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b.所以eq \r(4,a4)＝－a，eq \r(4,b4)＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
18．设－2[解析]原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋22)＝|x－1|－|x＋2|，
∵－2当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－1，－219．已知a1，n∈N*，化简eq \r(n,a－bn)＋eq \r(n,a＋bn).
[解析]∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴eq \r(n,a－bn)＋eq \r(n,a＋bn)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数.))
20．求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
[解析]∵eq \r(a－3a2－9)＝eq \r(a－3a－3a＋3)＝eq \r(a－32a＋3)＝|a－3|eq \r(a＋3).
∴要使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)·eq \r(a＋3)成立，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－3|＝3－a，,a＋3≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a≥0，,a＋3≥0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤3，,a≥－3，))⇒－3≤a≤3.故a的取值范围是[－3,3]．
21．等式eq \r(x－5x2－25)＝(5－x)eq \r(x＋5)成立的x取值范围是________．
[解析]要使eq \r(x－5x2－25)＝eq \r(x－52x＋5)＝|x－5|eq \r(x＋5)＝(5－x)eq \r(x＋5)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5≥0，,x－5≤0，))所以－5≤x≤5.
22．若x>0，y>0，且x－eq \r(xy)－2y＝0，求eq \f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值．
[解析]∵x－eq \r(xy)－2y＝0，x>0，y>0，∴(eq \r(x))2－eq \r(xy)－2(eq \r(y))2＝0.
∴(eq \r(x)＋eq \r(y))(eq \r(x)－2eq \r(y))＝0.由x>0，y>0，得eq \r(x)＋eq \r(y)>0.
∴eq \r(x)－2eq \r(y)＝0，∴x＝4y.∴eq \f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))＝eq \f(8y－2y,y＋4y)＝eq \f(6,5).
23．化简y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＋eq \r(4x2－12x＋9)，并画出简图，写出最小值．
[解析] y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＋eq \r(4x2－12x＋9)＝|2x＋1|＋|2x－3|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4x，x≤－\f(1,2)，,4，－\f(1,2)其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4.
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)