还剩7页未读，
继续阅读
2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）（含答案）
展开
这是一份2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若k1,k2,⋯,k8的方差为3，则2k1−3,2k2−3,⋯,2k8−3的方差为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
2.若2+iz=1−i，则复数z=( )
A. −12−3i2B. −12+3i2C. 12−3i2D. 12+3i2
3.在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为( )
A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不确定
4.已知向量a=(1,0),b=(x,2)，若a⊥(b−3a)，则x=( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
5.异面直线a,b所成的角为70∘，过空间一点P作直线l，使l与a,b所成的角均为35∘，这样的直线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知cs(α−β)=−35,cs(α+β)=15，则sinαsinβ=( )
A. −35B. −25C. 25D. 35
7.三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA=3,PB=4,PC=5,H为P在面ABC内的射影，则PH2PA2+PH2PB2+PH2PC2的值为( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.如图，直线a、b为异面直线，直线AB⊥a于A,AB⊥b于B，且AB=10,M在直线a上，AM=5，若直线a、b所成的角为60∘，则点M到直线b的距离是( )
A. 32 19B. 52 19C. 72 19D. 92 19
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 在▵ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC
B. 在▵ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
C. 在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC
D. 在▵ABC中，asinA=b+csinB+sinC
10.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为α,SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S−AB−C的平面角为γ，则下列结论正确的有( )
A. α≥βB. β≤γC. α≥γD. α≤γ
11.如图，斜三棱柱A1B1C1−ABC的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A1AC=∠A1AB=60∘,E是BC的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥A1E
B. AA1与底面ABC所成角的正弦值为 33
C. 斜三棱柱A1B1C1−ABC的侧面积2 3+2
D. 侧棱AA1到平面BB1CC1的距离为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若M是▵ABC内一点，且满足BA+BC=4BM，则▵ABM与△ACM的面积之比为 ．
13.将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 ．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BB1CC1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 ；A1D1与平面A1C1D所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q．
(1)求p和q的值；
(2)问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率．
16.(本小题12分)
如图，棱长为ad的 正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是AB、A1C上的点，BM=13AB,CN=12A1N．
(1)求B点到平面A1CD的距离；
(2)求MN与平面A1CD所成角的余弦值．(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
17.(本小题12分)
▵ABC中，内角A,B,C所对的 边为a,b,c，a2+b2−c2=ab．
(1)若2csAsinB=sinC，试确定▵ABC的形状；
(2)若a=2,b=1，CM是∠ACB的平分线，求CM长．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA= 3,AD=1．
(1)若AD//BC,BC=2,M为PC中点，证明：DM//平面PAB；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的大小为45∘，求AC．
(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
19.(本小题12分)
设z是虚数，w=z+1z∈R，且−1(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)求证：μ是纯虚数；
(3)求w−u2的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.C
8.B
9.ACD
10.ABC
11.ACD
12.12或0.5
13.2 63+1R
14.3 24, 52； 22或12 2
15.解：(1)
∵14+14+13+p=1,∴p=16；
又∵4q=1,∴q=14．
(2)
根据方形迷宫，以及甲、乙两人所处位置可知，
最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图C、D、E三处相遇)；
设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，
则pC=16×16×14×14=136×16
pD=216×14×214×14=16×16
pE=14×14×14×14=116×16
∴pC+pD+pE=132118+13+18=372304
即所求的概率为372304．
16.解：(1)
连结BC1，B1C，交于点E，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥A1B1，
BC1⊥B1C，B1C∩A1B1=B1，且B1C,A1B1⊂平面A1B1CD
所以BC1⊥平面A1B1CD，
所以点B到平面A1CD的距离为BE= 22a；
(2)
在B1C上取点F，连结NF,BF，使CF=12FB1，且CN=12A1N，
所以NF//A1B1，且NF=13A1B1，又A1B1//AB，且BM=13AB，
所以NF//BM且NF=BM，
所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN//BF，
所以MN与平面A1CD所成角为BF与平面A1CD所成角，
由(1)知，BE⊥平面A1CD，所以∠BFE为所求角，
FE= 2a2− 2a3= 2a6，BE= 2a2，
所以tan∠BFE=BEEF=3，cs∠BFE= 1010，
所以MN与平面A1CD所成角的余弦值为 1010．
17.解：(1)
a2+b2−c2=ab⇒csC=a2+b2−c22ab=12，
因为C∈0,π，所以C=π3，
又2csAsinB=sinC⇒2bcsA=c⇒csA=c2b，
又csA=c2+b2−a22bc，故c2+b2−a22bc=c2b，
化简得a=b，
又C=π3，故▵ABC为等边三角形；
(2)
由(1)知，C=π3，
又a=2,b=1，
在▵ABC中，由余弦定理得AB2=a2+b2−2abcsC=4+1−2×2csπ3=3，
故AB= 3，
由于 32+12=22，故▵ABC为直角三角形，其中∠A=90∘，
又CM是∠ACB的平分线，故∠ACM=∠BCM=π6，
故cs∠ACM=ACCM=1CM，即CM=1cs30∘=2 33，
故CM的长为2 33
18.解：(1)
取PB中点为E，连接AE、EM，
∵E、M分别为PB、PC的中点，
∴ME//BC，且ME=12BC=1，又∵AD//BC,AD=1，
∴由平行传递性可得ME//AD，且ME=AD，
∴四边形ADME为平行四边形，
∴AE//DM，
又∵AE⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，
∴DM//平面PAB．
(2)
过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DG，∴DG⊥面PAC，∴DG⊥PC，
过点D作DH⊥PC，垂足为H，连接GH，
∴PC⊥面DGH，∴PC⊥HG，
∴二面角A−CP−D的平面角为∠DHG=45∘．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD,AD⊂面PAD，CD⊄面PAD，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，
设CD=x，则AC= x2+1,PC= x2+4，由已知得PD=2，
在Rt▵ACD和Rt▵PCD中，由等面积法得：
DG•AC=AD•CD，得DG=x x2+1，
DH•PC=PD•CD，得DH=2x x2+4，
∵DG⊥AC，DG⊥PC，∴DG⊥面PAC，又∵GH⊂面PAC，∴DG⊥GH，
在Rt▵DGH中，sin45∘=DGDH=x x2+1• x2+42x，
22= x2+42 x2+1，解得x2=2，∴AC= 3．
19.解：(1)
因为z是 虚数，设z=a+bia,b∈R,b≠0，则w=z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=a+aa2+b2+b−ba2+b2i，
∵ω∈R，∴b−ba2+b2=0，∵b≠0，∴a2+b2=1，∴z=1，此时ω=2a，
∵−1<ω<2，∴−12(2)
u=1−z1+z=1−a+bi1+a+bi=1−a−bi1+a−bi1+a2+b2=，∵a2+b2=1，
∴μ=1−a2−b2−2bi1+2a+a2+b2=−b1+ai，∵b≠0，−12(3)
w−u2=2a+b21+a2=2a+1−a21+a2=2a+1−a1+a=2a+1+1a+1−3
∵−12当且仅当a+1=1a+1，即a=0时w−u2取得最小值为1．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若k1,k2,⋯,k8的方差为3，则2k1−3,2k2−3,⋯,2k8−3的方差为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
2.若2+iz=1−i，则复数z=( )
A. −12−3i2B. −12+3i2C. 12−3i2D. 12+3i2
3.在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为( )
A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不确定
4.已知向量a=(1,0),b=(x,2)，若a⊥(b−3a)，则x=( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
5.异面直线a,b所成的角为70∘，过空间一点P作直线l，使l与a,b所成的角均为35∘，这样的直线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知cs(α−β)=−35,cs(α+β)=15，则sinαsinβ=( )
A. −35B. −25C. 25D. 35
7.三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA=3,PB=4,PC=5,H为P在面ABC内的射影，则PH2PA2+PH2PB2+PH2PC2的值为( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.如图，直线a、b为异面直线，直线AB⊥a于A,AB⊥b于B，且AB=10,M在直线a上，AM=5，若直线a、b所成的角为60∘，则点M到直线b的距离是( )
A. 32 19B. 52 19C. 72 19D. 92 19
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 在▵ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC
B. 在▵ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
C. 在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC
D. 在▵ABC中，asinA=b+csinB+sinC
10.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为α,SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S−AB−C的平面角为γ，则下列结论正确的有( )
A. α≥βB. β≤γC. α≥γD. α≤γ
11.如图，斜三棱柱A1B1C1−ABC的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A1AC=∠A1AB=60∘,E是BC的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥A1E
B. AA1与底面ABC所成角的正弦值为 33
C. 斜三棱柱A1B1C1−ABC的侧面积2 3+2
D. 侧棱AA1到平面BB1CC1的距离为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若M是▵ABC内一点，且满足BA+BC=4BM，则▵ABM与△ACM的面积之比为 ．
13.将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 ．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BB1CC1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 ；A1D1与平面A1C1D所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q．
(1)求p和q的值；
(2)问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率．
16.(本小题12分)
如图，棱长为ad的 正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是AB、A1C上的点，BM=13AB,CN=12A1N．
(1)求B点到平面A1CD的距离；
(2)求MN与平面A1CD所成角的余弦值．(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
17.(本小题12分)
▵ABC中，内角A,B,C所对的 边为a,b,c，a2+b2−c2=ab．
(1)若2csAsinB=sinC，试确定▵ABC的形状；
(2)若a=2,b=1，CM是∠ACB的平分线，求CM长．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA= 3,AD=1．
(1)若AD//BC,BC=2,M为PC中点，证明：DM//平面PAB；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的大小为45∘，求AC．
(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
19.(本小题12分)
设z是虚数，w=z+1z∈R，且−1
(2)求证：μ是纯虚数；
(3)求w−u2的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.C
8.B
9.ACD
10.ABC
11.ACD
12.12或0.5
13.2 63+1R
14.3 24, 52； 22或12 2
15.解：(1)
∵14+14+13+p=1,∴p=16；
又∵4q=1,∴q=14．
(2)
根据方形迷宫，以及甲、乙两人所处位置可知，
最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图C、D、E三处相遇)；
设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，
则pC=16×16×14×14=136×16
pD=216×14×214×14=16×16
pE=14×14×14×14=116×16
∴pC+pD+pE=132118+13+18=372304
即所求的概率为372304．
16.解：(1)
连结BC1，B1C，交于点E，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥A1B1，
BC1⊥B1C，B1C∩A1B1=B1，且B1C,A1B1⊂平面A1B1CD
所以BC1⊥平面A1B1CD，
所以点B到平面A1CD的距离为BE= 22a；
(2)
在B1C上取点F，连结NF,BF，使CF=12FB1，且CN=12A1N，
所以NF//A1B1，且NF=13A1B1，又A1B1//AB，且BM=13AB，
所以NF//BM且NF=BM，
所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN//BF，
所以MN与平面A1CD所成角为BF与平面A1CD所成角，
由(1)知，BE⊥平面A1CD，所以∠BFE为所求角，
FE= 2a2− 2a3= 2a6，BE= 2a2，
所以tan∠BFE=BEEF=3，cs∠BFE= 1010，
所以MN与平面A1CD所成角的余弦值为 1010．
17.解：(1)
a2+b2−c2=ab⇒csC=a2+b2−c22ab=12，
因为C∈0,π，所以C=π3，
又2csAsinB=sinC⇒2bcsA=c⇒csA=c2b，
又csA=c2+b2−a22bc，故c2+b2−a22bc=c2b，
化简得a=b，
又C=π3，故▵ABC为等边三角形；
(2)
由(1)知，C=π3，
又a=2,b=1，
在▵ABC中，由余弦定理得AB2=a2+b2−2abcsC=4+1−2×2csπ3=3，
故AB= 3，
由于 32+12=22，故▵ABC为直角三角形，其中∠A=90∘，
又CM是∠ACB的平分线，故∠ACM=∠BCM=π6，
故cs∠ACM=ACCM=1CM，即CM=1cs30∘=2 33，
故CM的长为2 33
18.解：(1)
取PB中点为E，连接AE、EM，
∵E、M分别为PB、PC的中点，
∴ME//BC，且ME=12BC=1，又∵AD//BC,AD=1，
∴由平行传递性可得ME//AD，且ME=AD，
∴四边形ADME为平行四边形，
∴AE//DM，
又∵AE⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，
∴DM//平面PAB．
(2)
过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DG，∴DG⊥面PAC，∴DG⊥PC，
过点D作DH⊥PC，垂足为H，连接GH，
∴PC⊥面DGH，∴PC⊥HG，
∴二面角A−CP−D的平面角为∠DHG=45∘．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD,AD⊂面PAD，CD⊄面PAD，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，
设CD=x，则AC= x2+1,PC= x2+4，由已知得PD=2，
在Rt▵ACD和Rt▵PCD中，由等面积法得：
DG•AC=AD•CD，得DG=x x2+1，
DH•PC=PD•CD，得DH=2x x2+4，
∵DG⊥AC，DG⊥PC，∴DG⊥面PAC，又∵GH⊂面PAC，∴DG⊥GH，
在Rt▵DGH中，sin45∘=DGDH=x x2+1• x2+42x，
22= x2+42 x2+1，解得x2=2，∴AC= 3．
19.解：(1)
因为z是 虚数，设z=a+bia,b∈R,b≠0，则w=z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=a+aa2+b2+b−ba2+b2i，
∵ω∈R，∴b−ba2+b2=0，∵b≠0，∴a2+b2=1，∴z=1，此时ω=2a，
∵−1<ω<2，∴−12
u=1−z1+z=1−a+bi1+a+bi=1−a−bi1+a−bi1+a2+b2=，∵a2+b2=1，
∴μ=1−a2−b2−2bi1+2a+a2+b2=−b1+ai，∵b≠0，−12
w−u2=2a+b21+a2=2a+1−a21+a2=2a+1−a1+a=2a+1+1a+1−3
∵−12
相关试卷
江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）： 这是一份江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷），共4页。
江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题： 这是一份江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共4页。试卷主要包含了已知复数为虚数单位），则，若，则=（，若，则实数的值为，已知向量，，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题原卷版docx、江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
