江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了已知复数z满足，已知向量＝，在△ABC中，c＝2bcsB，，已知，求＝，下列选项中，与的值相等的是等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数z满足（1- i）²z＝2-4 i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A．2B．1C．-2D．i
2．已知向量＝（2，1），＝（1，x），若+2与垂直，则x的值为（ ）
A．7B．﹣7C．D．﹣
3．在△ABC中，c＝2bcsB，．则∠B＝（ ）
A．B．C．D．或
4．如图是水平放置的△ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，∠A′D′C′＝45°，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（ ）
A．最短的是ACB．最短的是AB
C．最短的是ADD．无法确定谁最短
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：3，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFGH且EFGH为矩形
B．EF∥平面BCD且EFGH为梯形
C．HG∥平面ABD且EFGH为菱形
D．HE∥平面ADC且EFGH为平行四边形
6．已知，求＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cs＜，＞＝（ ）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcs A＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
二．多选题（共3小题，共18分）
9．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．2cs215﹣1
B．cs18°cs42°﹣sin18°sin42°
C．2sin15°sin75°
D．
10．已知复数z满足|z|＝|z﹣1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．
C．z2＝z﹣1
D．复数z的共轭复数为
11．在△ABC中，下列命题正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
B．若sinA＝csB，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形
D．若cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，则△ABC为正三角形
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，csA＝，则其外接圆的面积为 ．
13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ．
14．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为 ．
四．解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD．
17．（15分）已知向量＝（csα，sinβ+2sinα），＝（sinα，csβ﹣2csα），且∥．
（1）求cs（α+β）的值；
（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．
18．（17分）在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点．
（1）令＝，＝，试用向量，表示，；
（2）若DM＝1，DN＝2，∠MDN＝，求•的值．
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量的相伴函数为f（x），求当且时sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），h（x）为（1）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
2023-2024学年南京河西外国语学校高一第二学期数学期中考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知复数z满足（1- i）²z＝2-4 i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A．2B．1C．-2D．i
【解答】解：（1- i）²z＝2-4 i，
Z=2+i．
∴复数z的虚部是1．
故选：B．
2．已知向量＝（2，1），＝（1，x），若+2与垂直，则x的值为（ ）
A．7B．﹣7C．D．﹣
【解答】解：；+2=（4,1+2x）
∵+2与垂直；
∴8+1+2x=0；
∴x＝﹣．
故选：D．
3．在△ABC中，c＝2bcsB，．则∠B＝（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：∵c＝2bcsB，则由正弦定理可得sinC＝2sinBcsB＝sin2B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得．
故选：C．
4．如图是水平放置的△ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，∠A′D′C′＝45°，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（ ）
A．最短的是ACB．最短的是AB
C．最短的是ADD．无法确定谁最短
【解答】解：A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，
∴△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB、AC相等且最长，AD最短．
故选：C．
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：3，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFGH且EFGH为矩形
B．EF∥平面BCD且EFGH为梯形
C．HG∥平面ABD且EFGH为菱形
D．HE∥平面ADC且EFGH为平行四边形
【解答】解：在平面ABD内，∵AE：EB＝AF：FD＝1：3，
∴EF∥BD．
又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
又在平面BCD内，
∵H，G分别是BC，CD的中点，
∴HG∥BD．∴HG∥EF．
又＝＝，＝＝，
∴EF≠HG．
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
∴四边形EFGH为梯形．
故选：B．
6．已知，求＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以＝cs[（2α+）﹣π]＝﹣cs（2α+）＝2sin2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．
故选：D．
7．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cs＜，＞＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，
可得＝＝＝7，
＝＝16+4＝20，
cs＜，＞＝＝＝．
故选：A．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcs A＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
【解答】解：在△ABC中，bcs A＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcsA＝sinC﹣sinA，可得sinBcsA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcsB+csAsinB﹣sinA，
即sinAcsB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以csB＝，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cs∠ADB＝，cs∠CDB＝，cs∠ABC＝，
由于cs∠ADB＝﹣cs∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cs∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．2cs215﹣1
B．cs18°cs42°﹣sin18°sin42°
C．2sin15°sin75°
D．
【解答】解：对于A，2cs215﹣1＝cs30°＝；
对于B，cs18°cs42°﹣sin18°sin42°＝cs（18°+42°）＝cs60°＝；
对于C，2sin15°sin75°＝2sin15°cs15°＝sin30°＝；
对于D，＝tan（30°+15°）＝tan45°＝1．
故选：BC．
（多选）10．已知复数z满足|z|＝|z﹣1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．
C．z2＝z﹣1
D．复数z的共轭复数为
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
由|z|＝|z﹣1|＝1，得，解得或（舍去）．
∴z＝，复数z的虚部为，故A错误；
＝，故B正确；
＝＝，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．在△ABC中，下列命题正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
B．若sinA＝csB，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形
D．若cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，则△ABC为正三角形
【解答】解：选项A，由sin2A＝sin2B，知2A＝2B或2A+2B＝π，
所以A＝B或A+B＝，即△ABC为等腰或直角三角形，故A正确；
选项B，sinA＝csB＝sin（﹣B），
因为A，B∈（0，π），所以A＝﹣B或A+（﹣B）＝π，即A+B＝或A﹣B＝，
所以△ABC为直角或钝角三角形，即选项B错误；
选项C，由正弦定理知，＝＝，
所以sinA＝，sinC＝，
因为sin2A+sin2B+sin2C＜2，
所以（）2+sin2B+（）2＝sin2B＜2，
又sin2B≤1，所以＜2，即a2+c2＜b2，
由余弦定理知，csB＝＜0，
所以角B为钝角，即△ABC为钝角三角形，故选项C正确；
选项D，因为cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，
所以由三角函数的有界性可知，三个都是1或者两个﹣1，一个1，
当三个都是1时，有A＝B＝C，此时△ABC为正三角形；
当两个﹣1，一个1时，例如A﹣B＝π，不符合A，B∈（0，π），舍去，
综上，△ABC是正三角形，即选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，csA＝，则其外接圆的面积为 ．
【解答】解：根据题意，由0＜A＜π，csA＝，得sinA＝＝；
又根据余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2|AB||AC|csA＝4+9﹣2×2×3×＝5，
所以BC＝，则2R＝＝×＝3，解得R＝，
所以△ABC外接圆面积为S＝πR2＝．
故答案为：．
13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ．
【解答】解：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，
连接AD1，则EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，
由正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，得AD1＝，EF＝，
AE＝＝，则E到AD1的距离为＝，
∴S四边形AEFD1＝（+）×＝，
故答案为：．
14．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为 1 ．
【解答】解：由题可得，以O为坐标原点，OA为x轴，建立平面直角坐标系，
则A（1，0），B（﹣，），
因为OP⊥OB，
所以P（，），
设M（a，0），N（﹣λ，λ），
所以＝（a﹣，﹣），＝（﹣﹣，λ），
所以＝（a﹣）（﹣﹣）﹣（λ）
＝﹣λa﹣a+λ﹣λ+1
＝﹣λa﹣a+1，
因为0≤a≤1，0≤λ≤1，
所以可知﹣λa﹣a+1≤1，
所以的最大值为1．
故答案为：1．
四．解答题（共5小题）
15．若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵z是纯虚数，∴，解得，m＝﹣3，
∴m的值为﹣3；
（2）∵z在复平面内对应的点在第二象限，∴，
解得，﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是（﹣3，﹣1）．
16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）设G是PC的中点，由于F是PD的中点，
所以，
由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，
所以，
所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四边形AFGE是平行四边形，
所以AF∥EG，
因为AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，
所以AF∥平面PEC．
（2）由于PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF⊂平面PAD，
所以CD⊥AF，
因为PA＝AD，F是PD的中点，
所以AF⊥PD，
因为PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，
所以AF⊥平面PCD．
17．已知向量＝（csα，sinβ+2sinα），＝（sinα，csβ﹣2csα），且∥．
（1）求cs（α+β）的值；
（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．
【解答】解：（1）因为∥，
所以csα（csβ﹣2csα）﹣sinα（sinβ+2sinα）＝0，
所以（csαcsβ﹣sinαsinβ）＝2（sin2α+cs2α）＝2，
所以cs（α+β）＝2，即cs（α+β）＝．
（2）因为α，β∈（0，），
所以0＜α+β＜π，
因为cs（α+β）＝，
所以sin（α+β）＝，
所以tan（α+β）＝，
因为tanα＝，
所以tan（2α+β）＝＝＝1，
因为0＜α+β＜π，且cs（α+β）＝＞0，
所以0，
因为，所以0＜2α+β＜π．
因为tan（2α+β）＝1，所以2α+β＝．
18．在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点．
（1）令＝，＝，试用向量，表示，；
（2）若DM＝1，DN＝2，∠MDN＝，求•的值．
【解答】解：＝﹣＝﹣＝﹣，
＝+＝+＝﹣＝﹣．
（2）由（1）知＝﹣，＝﹣．
所以，
又•＝||||cs∠MDN＝1，
所以•＝（﹣）•（﹣）
＝||2﹣•+||2
＝﹣+＝．
19．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量的相伴函数为f（x），求当且时sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），h（x）为（1）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），
又＝（﹣，1）为的相伴特征向量，
∴m＝﹣2；
（2）∵向量的相伴函数为，
又，
∴，∵，∴，
∴，
∴；
（3）由题可知，
∴，
设，∵A（﹣2，3），B（2，6），
∴，，
又∵，∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当且仅当x＝0时，和同时等于，
∴在y＝h（x）图像上存在点P（0，2），使得．