2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

【详解】，故对应的点为

故选:D．

2．在平行四边形中，对角线与交于点，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算直接计算.

【详解】

由已知对角线与交于点，，

则，

所以，

故选：A.

3．复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的三角形公式可求解.

【详解】解：

故选：C.

4．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和差的正弦公式和二倍角进行化简，结合角的范围即可求解

【详解】，

因为，，所以，

所以，故．

故选：D

5．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年一公元前369年）通过下图来构造无理数，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用锐角三角函数求出，再利用两角和的余弦公式和二倍角公式计算可得.

【详解】由图可知，，，，

，，

.

故选：A.

6．已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.

【详解】由于 ，， ，

且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，

由于 ，所以 ，，

故 .

故选：A

7．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化简，再利用的性质即可得到结果.

【详解】因为，，

，由的性质可知，，

故选：A.

8．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（    ）

A．3 B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】易知，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出，从而知和的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．

【详解】，且，

，

，

，即，

，

，

，，，

，

由正弦定理知，，

，即，

，

．

故选：D

二、多选题

9．若，为复数，则下列四个结论中正确的是（    ）

A． B．是纯虚数或零

C．恒成立 D．存在复数，，使得

【答案】BC

【分析】对于选项A，可通过举反例说明选项A错误；对于选项B，设，通过复数与其共轭复数间的关系及复数的运算，可判断出选项B正确；对于选项C，利用复数的几何意义即可判断出结果的正误；对于选项D，利用复数模的运算即可判断出结果的正误.

【详解】选项A，，显然不一定等于，如，，选项A错误；

选项B，设，则，选项B正确；

C选项，设，在复平面内对应点为，，则，，，

则，选项C正确；

D选项，由复数模的运算性质，选项D错误.

故选：BC.

10．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （    ）

A．若，则

B．若，则此三角形为等腰三角形

C．若，，，则解此三角形必有两解

D．若是锐角三角形，则

【答案】AD

【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.

【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；

因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；

因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，

所以，D正确.

故选：AD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期是

B．若为奇函数，则的一个可取值是

C．的一条对称轴可以是直线

D．在上的最大值是1

【答案】AC

【分析】化简的解析式，根据周期公式求出最小周期可知A正确；由得到，，不存在整数使得，可知B不正确；根据可知C正确；根据正弦函数的图象求出最大值，可知D不正确.

【详解】，

所以的最小正周期是，故A正确；

若为奇函数，则，，，，由得不是整数，故B不正确；

因为，故C正确；

当时，，，

所以当时，在上的最大值是，故D不正确；

故选：AC

12．已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】ABC

【分析】先利用条件，得，再对选项AB逐一取值判断，即可得出选项AB的正误；对于选项CD，利用两向量相等的坐标表示，得到和，再适当的构角变形化简即可判断选项CD的正误.

【详解】因为，，是单位圆上的三点，

所以，，，

由，可得，即，

选项A，当时，，所以，又，可得，选项A正确；

选项B，当时，，则，由，可得，选项B正确；

选项C，由，

可得，

，

由，可得，则，

则，，则，选项C正确；

选项D，，D显然错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．设复数满足，则的模为____________.

【答案】

【分析】设，则，即，解得答案

【详解】设，则，即，解得，

故，

故答案为：

14．已知是第二象限角，且，则______．

【答案】

【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果.

【详解】是第二象限角，，

，，

.

故答案为：.

15．已知向量，，若与共线且方向相反，则__________．

【答案】/

【分析】根据向量共线且方向相反可构造方程求得，利用向量模长的坐标运算可求得结果.

【详解】共线，，解得：或；

又方向相反，，即，，，

，.

故答案为：.

16．在中，，，，为的外心，若，，，则______.

【答案】

【分析】利用三角形外心的性质及数量积的几何意义计算即可.

【详解】如图所示，取AB中点E，则由三角形的外心的性质及数量积的几何意义，可得：

，

同理可知：，

故，，

而，，，则，

即，，则，，则，所以.

故答案为：

四、解答题

17．计算：

（1）已知，求的值．

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）-1.

【解析】（1）先求得,由,分子分母同除,再将代入求解即可；

（2）先化切为弦,通分后利用差角公式化简,再利用诱导公式和倍角公式化简求值即可.

【详解】解:（1）因为,

所以,

所以

（2）

【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正切,正弦的和（差）角公式的应用,考查利用分式齐次式求值.

18．已知向量，．

(1)若，求的值

(2)若与的夹角为钝角，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示计算作答.

（2）利用向量夹角是钝角，结合向量数量积，列出不等式求解作答.

【详解】（1）依题意，，，因，即，

于是得，解得，

所以的值是.

（2）因为与的夹角为钝角，则，且与不共线，

由得：，解得，当与共线时，，解得，于是得且，

所以的取值范围是.

19．已知是复数，和都是实数，

（1）求复数；

（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简和，若为实数，则虚部为零，即可得到方程组，解得即可；

（2）设，根据复数代数形式的运算法则化简方程，即可得到方程组，解得即可.

【详解】（1）设，则，

因为和都是实数，则，解得，，

所以.

（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，

所以纯虚数.

20．复数，，为虚数单位，；

(1)若是实数，求的值；

(2)若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，然后令虚部为0，解方程即可

（2）通过向量等式建立与的关系，然后结合的范围，转化为求函数值域问题，再得不等式得出的范围

【详解】（1），

因为为实数，所以，，

结合θ范围，解得，所以.

（2）复数，

复数、对应的向量分别是，，，

，

又，

，

所以

，得，

因为，所以，所以．

所以，解得或．

所以实数的取值范围是．

21．如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.

(1)当时，求防护网的总长度；

(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；

(3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

【答案】(1)

(2)

(3)时，面积取最小值为

【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，由勾股定理得，知为正三角形，由此可得结果；

（2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得；

（3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值.

【详解】（1）在中，，，，，

在中，由余弦定理得：，；

，则，，

为正三角形，则的周长为，即防护网的总长度为.

（2）设，

，，即，

在中，由得：，

，即，又，

，解得：，即.

（3）设，由（2）知：，

在中，由得：，

，

当且仅当，即时，面积取最小值为.

22．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．

(1)求b边的长度；

(2)求的面积；

(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可；

（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可；

（3）首先设，，（），根据三点共线公式得到，

再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．

【详解】（1）由已知条件可知：

在中，由正弦定理

得

在中，由余弦定理

得

，又

（2）设

为BC边上中线

则

①

或

由①，得

（3）设，，（）

，

根据三点共线公式，得

（，为∠BAC）

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．