江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算法则化简计算复数，从而得的虚部.
【详解】由题意，化简得，所以复数的虚部为.
故选：B
2. 已知向量，若与垂直，则x的值为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
【详解】；
与垂直；
；
．
故选：D．
3. 在中，，.则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】在中，由及正弦定理得，而，
则，显然，，解得，所以.
故选：C
4. 如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（ ）
A. 最短的是B. 最短的是
C. 最短的是D. 无法确定谁最短
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解.
【详解】依题意，轴，轴，是的中点，
由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线，
因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短.
故选：C
5. 在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（ ）
A. 平面且为矩形B. 平面且为梯形
C. 平面且为菱形D. 平面且为平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可.
【详解】在平面内，，
．
又平面平面，
平面．
又在平面内，
分别是的中点，
．
又，
．
在四边形中，且，
四边形为梯形．
故选：B．
6. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察形式，由二倍角公式与诱导公式求解
【详解】由二倍角公式得：，
又．
故选：D
7. 已知向量，满足，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量夹角公式计算即可.
【详解】由
又，，
所以
故选：A
8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcsA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcsB＝sinA，可求csB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cs∠ADB＝﹣cs∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．
【详解】在△ABC中，bcsA＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcsA＝sinC﹣sinA，
可得sinBcsA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcsB+csAsinB﹣sinA，
即sinAcsB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cs∠ADB＝，cs∠CDB＝，cs∠ABC＝，
由于cs∠ADB＝﹣cs∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cs∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
【点睛】
本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.
二、多选题（共3小题，共18分）
9. 下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数两角和差公式和二倍角公式分别计算各选项即可判断.
【详解】A选项中，，与不相等，A错；
B选项中，，与相等，B对；
C选项中，，与相等，C对；
D选项中，，与不相等，D错；
故选：BC
10. 已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A. 复数的虚部为B.
C. D. 复数的共轭复数为
【答案】BC
【解析】
【分析】由待定系数法，根据模长公式可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】解：设，
由，得，解得或（舍去）．
，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
11. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则为等腰或直角三角形
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则为正三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦函数的性质与三角形内角的范围即可判断；对于B，举反例即可排除；对于C，利用三角函数的倍角公式与和差公式将不等式转化为，从而得以判断；对于D，利用三角函数的值域与三角形内角的范围推得，由此判断即可.
【详解】对于A，因为在中，，
又，所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；
对于B，取，则，但为钝角三角形，故B错误；
对于C，因为，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
则，
所以，故中必有一个是钝角，
所以为钝角三角形，故C正确；
对于D，因为，
所以
所以，
因为，
可知只有均为时，等式才能成立，
所以，则，
所以为正三角形，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 在中，，，，则其外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，由余弦定理解出BC，再通过正弦定理即可求出答案.
【详解】解：在中，，，，故，
由余弦定理可得，，
则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为，∴，
故的外接圆的面积为.
故答案为：.
13. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 __．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，则等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，由等腰梯形计算其面积即可．
【详解】解：如图，连接，
因为E、F分别为BC、CC1的中点，
所以，
因为且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，
由正方体的棱长为1，得，
，则E到AD1的距离为，
∴四边形的面积为，
即平面AEF截正方体所得的截面面积为.
故答案为：．

14. 如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】设，表示出即可求解.
详解】设，由题意，
所以
，
所以当且仅当时，取得最大值，且.
故答案：1.
【点睛】关键点点睛：关键得到，由此即可顺利得解.
四、解答题（共5小题，共77分）
15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
【答案】（1）-3 （2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可；
（2）由第二象限点的特征建立不等式组，求解即可.
【小问1详解】
解：因为z是纯虚数，所以，解得
所以m的值为-3；
【小问2详解】
解：因为z在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
所以m的取值范围为．
16. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.
（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面.
【小问1详解】
设是的中点，由于是的中点，
所以，
由于是的中点，四边形是矩形，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为是的中点，
所以，
因为，、平面，
所以平面.
17. 已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解；（2）由的值求出，再利用两角和的正切公式求出，根据的范围即可求得.
【详解】（1）因为，所以，
，
，即.
（2）由得，
又因为，
所以，则，，
因为，所以，
因为，所以，所以.
【点睛】本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示，属于中档题.
18. 在平行四边形中，分别是线段的中点
（1）令，，试用向量表示；
（2）若，，，求的值；
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量线性运算可直接得到结果；
（2）由（1）可得，由平面向量数量积的定义和运算律即可求得结果.
【小问1详解】
；
.
【小问2详解】
由（1）知：，则，
又，
.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量的相伴函数为，求当且时的值；
（3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在点，使得.
【解析】
【分析】（1）利用特征向量的定义即得；
（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；
（3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【小问1详解】
∵，
又为的相伴特征向量，
∴；
【小问2详解】
∵向量的相伴函数为，
又，
.
，，
，
∴；
【小问3详解】
由题可知，
∴，
设，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，
在图像上存在点，使得.