江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共4页。试卷主要包含了已知复数为虚数单位），则，若，则=（，若，则实数的值为，已知向量，，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数为虚数单位），则
A．2B．3C．4D．5
2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则
A．2B．C．D．
3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．，，则B．，，，则
C．，，，，则D．，则
4．若，则=（
A．B．C．D．
5．已知是边长为1的正的边上靠近的四等分点，为的中点，则的值是
A．B．C．D．
6．若，则实数的值为
A．3B．C．2D．4
7．在各棱长均相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．1C．D．
8．在中，，，分别是角，，所对的边，的平分线交BC于点E， ,则最小值是（ ）
A．16B．32C．64D．128
二．多选题（共3小题，每题6分）
9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是
A．
B．是锐角三角形
C．若，则内切圆半径为
D．若，则外接圆半径为
10．已知向量，，则下列结论正确的有
A．若，则
B．存在，使得
C．若在上的投影向量的模长为，则与的夹角为
D．的最大值为
11．棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点．则下列说法正确的有
A．平面
B．与所成的角为
C．平面截正方体的截面形状是五边形
D．点在平面内运动，且平面，则的最小值为
三．填空题（共3小题，每小题5分）
12．已知向量，且，则 ．
13．已知虚数满足是实数，则 ．
14.若，且，则的最小值为 ．
四．解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）以线段，为邻边作平行四边形，求向量的坐标和；
（2）设实数满足，求的值．
16．（15分）已知，，分别是的内角，，的对边，且．
（1）求．
（2）若，的面积为，求的周长．
15．（15分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．已知．若为的中点，为的中点，
（1）平面；
（2）．
18．（17分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知满足，，设，四边形、四边形、四边形都是正方形．
（1）当时，求的长度；
（2）求长度的最大值．
19．（17分）已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数．
（Ⅰ）设，求的特征向量；
（Ⅱ）设向量，的特征函数为，求当且，时，的值；
（Ⅲ）设向量，的特征函数为，记，若在区间，上至少有40个零点，求的最小值．