2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高一（下）第二次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )
A. 空间任意三点B. 空间两条直线C. 空间两条平行直线D. 一条直线和一个点
2.下列命题中正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 共线向量一定是相等向量
C. 若向量a,b同向，且|a|>|b|，则a>b
D. 单位向量的模都相等
3.电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映.某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为( )
A. 100B. 160C. 200D. 240
4.在△ABC中，A=120°,C=15°,AC= 6，则BC=( )
A. 4B. 2 3C. 3D. 2 2
5.平面α/​/平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b的位置关系一定是( )
A. 平行B. 异面C. 垂直D. 不相交
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB1与BD的夹角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
7.下列命题正确的是( )
A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D. 平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
8.如图，在四面体D−ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )
A. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
B. 平面ABD⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面ABD
D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A. 质检员从50个零件中逐个抽取5个做质量检验
B. “隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C. 老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D. 某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
10.以下结论正确的有( )
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
11.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为2πR2B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
12.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P是棱CC1的中点，则( )
A. 直线BP与B1D1所成的角为60°
B. 直线BP与A1D所成的角为90°
C. 平面A1B1P⊥平面ABP
D. 直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值为 55
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.平面向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a+2b= ______．
14.若复数z=10−5i2+i+|3−4i|，则|z|= ______．
15.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为______．
16.如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
一支田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取多少人？
18.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1//平面AEC．
19.(本小题12分)
20名学生某次物理考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[80,90)中的学生人数．
20.(本小题12分)
已知向量a=(2,−1)，b=(1,4)．
(1)求|2a−b|的值；
(2)求向量a+2b与a−b夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=π3，AB=6．
(1)若△ABC的面积为9 32，求AC；
(2)在(1)的条件下，若AD= 26，求cs2D．
22.(本小题12分)
在三棱柱ABC−A1B1C中，底面ABC是正三角形，AB=2，侧棱A1A⊥平面ABC，D，E分别是AB，AA1的中点，且A1D⊥B1E.
(Ⅰ)求证：B1E⊥平面A1CD；
(Ⅱ)求A1到平面B1CD的距离．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.D
6.B
7.D
8.A
9.AD
10.AB
11.CD
12.AC
13.(7,10)
14.4 5
15. 32
16.8：27
17.解：因为田径队共有运动员98人，
其中女运动员有42人，
所以男运动员有56人，
又每名运动员被抽到的概率都是27，
所以男运动员应抽取56×27=16人．
18.解：连结BD交AC于O，则O为BD的中点，
连EO，因为E是DD1的中点，所以EO/​/BD1，
又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，
所以BD1//平面AEC．
19.解：(1)由图易知(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，
解得a=1200=0.005；
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2(人)，
成绩落在[80,90)中的学生人数为6×0.005×10×20=6(人)．
20.解：(1)∵a=(2,−1)，b=(1,4)，
∴2a=(4,−2)，2a−b=(3,−6)，
∴|2a−b|= 9+36=3 5；
(2)设a+2b与a−b的夹角为θ，则csθ=(a+2b)(a−b)|a+2b|⋅|a−b|，
又a+2b=(4,7)，|a+2b|= 65，a−b=(1,−5)，|a−b|= 26，
∴csθ=(4,7)⋅(1,−5) 65× 26=−3113 10=−31 10130，
∴向量a+2b与a−b夹角的余弦值为−31 10130．
21.解：(1)在△ABC中，因为BA=6，∠ABC=π3，
△ABC的面积为9 32=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，
所以12×6×BC× 32=9 32，解得BC=3，
在△ABC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=27，
所以AC=3 3．
(2)在△ACD中，由正弦定理，得ADsin∠ACD=ACsinD，所以sinD=3 3× 32 26=92 26
∴cs2D=2sin2D−1=2×81104−1=−2952．
22.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以AA1⊥CD．
在△ABC中，AC=BC，AD=BD，
所以CD⊥AB．
又AA1∩AB=A，所以CD⊥平面AA1B1B.
因为B1E⊂平面AA1B1B，所以CD⊥B1E.
又B1E⊥A1D，A1D∩CD=D，
所以B1E⊥平面A1CD．
(Ⅱ)解法1：在矩形AA1B1B中，因B1E⊥A1D，
所以∠A1EB1=∠A1DA，
则tan∠A1EB1=tan∠A1DA，
即A1B1A1E=AA1AD，即212AA1=AA11，得AA1=2．
在Rt△BDC中，CD= BC2−BD2= 3，
由(Ⅰ)知CD⊥平面AA1B1B，
所以CD= 3为C到平面AA1B1B的距离，
在Rt△B1BD中，B1D= BB12+BD2= 5，
设A到平面B1CD的距离为ℎ，
则V三棱锥A1−B1CD=V三棱锥C−A1B1D，
即13S△B1CD⋅ℎ=13S△A1B1D⋅CD13⋅12CD⋅B1D⋅ℎ=13⋅12A1B1⋅AA1⋅CD，
13×12× 3× 5ℎ=13×12×2×2× 3，解得ℎ=4 55．
所以A1到平面B1CD的距离为4 55
解法2：在三棱柱ABC−A1B1C1中，因A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以，A1A⊥AB，又因B1E⊥A1D，所以∠A1EB1=∠A1DA，
则tan∠A1EB1=tan∠A1DA
即A1B1A1E=AA1AD，即212AA1=A11得AA1=2．
在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面均为正方形，D为AB的中点，
所以A1到平面B1CD的距离等于B1到平面A1CD的距离，
由(I)知B1E⊥平面ACD，设B1E∩A1D=F，则B1F为B1到平面A1CD的距离．
因为∠B1A1D=∠A1EB1，
则sin∠B1A1D=sin∠A1EB1=2 55，所以B1F=A1B1sin∠B1A1D=4 55
即A到平面B1CD的距离为4 55．