2023-2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg2(2−x)}，B={y|y=2x−4}，则A∩B=( )
A. (0,2)B. [0,2]C. (0,+∞)D. (−∞,2]
2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数z⋅i2025对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，则n/​/α
B. 若m/​/n，m⊥α，则n⊥α
C. 若m/​/α，m/​/β，则α/​/β
D. “直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件
4.设f(x)=x2−2ax+4(x∈R)，则关于x的不等式f(x)<0有解的一个必要不充分条件是( )
A. −22C. |a|>4D. |a|≥2
5.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别满足AF=34AD，BG=34BC，设AB=a，AD=b，若EF⊥EG，则( )
A. |b|=34|a|B. |b|=|a|C. |b|=23|a|D. |b|=2|a|
6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘且BB1=4，已知该三棱柱的体积为2 3，且该三棱柱的外接球表面积为20π，若将此三棱柱掏空(保留表面，不计厚度)后放入一个球，则该球最大半径为( )
A. 1B. 3−12C. 32D. 5−12
7.矩形ABCD(AB>AD)的周长为16cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△ADP的最大面积为( )
A. 48−16 2B. 48−32 2C. 108−72 2D. 192−128 2
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且f(x)在(2,+∞)上单调递增，若x∈[1,3]，不等式f(ax)A. (13,1)B. (1,5)C. (0,13)D. (−1,0)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间[60,70)内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70,80)应抽取30人
10.已知向量a=(1,2)，b=(−2,2)，c=(4,k)，则下列说法正确的是( )
A. 若(a+b)/​/c，则k=−16B. a在b上的投影向量为(−12,12)
C. 若a与c的夹角为锐角，则k>−2D. 若要使|a+tb|最小，则t=−14
11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD.设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中存在某个位置，使AB⊥CD
B. 当AE⊥EF时，AD与平面ABC所成角的正弦值为 55
C. 在翻折过程中，三棱锥A−BCD体积的最大值为2
D. 当AB=AD时，CM+FM的最小值为 4+2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α满足2sin(α−π3)−cs(α+π6)=1，则tan(α−π3)= ．
13.已知函数f(x)=x+1,x≤0ln(x+1),x>0，则关于x的方程f(f(x))=1的不等实根的个数为 ．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则5b+ca的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．
(1)若a=1，求不等式的解集;
(2)解关于x的不等式．
16.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E为线段BC中点，记AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示向量AE;
(2)求AE2的值;
(3)求AE与BD夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥BD，BC⊥面PAB，且△PAB的面积为2 2．
(1)求证：CD⊥面PAD;
(2)当四棱锥P−ABCD的外接球体积最小时，求平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+2θ)+ 3csωx−2cs(ωx+θ)⋅sinθ(ω∈N∗)，若函数f(x)在(0,π)上恰好有两个零点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[0,π2]时，关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根，求实数m的取值范围;
(3)在△ABC中，设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中f(A2)= 3，a= 6，c=2，∠BAC的角平分线交BC于D，求线段AD的长度．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，⋯，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，⋯，n，n∈N∗)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”．
(1)判断g(x)=|ex−4|(x∈R)是否为f(x)=x−4(x∈(4,8))的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由;
(2)若g(x)=ax2+(2a−2)x−2,−1≤x≤0|x−1|,x>0为f(x)=lg2ex+2ex+1的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围;
(3)若g(x)=sin(ωx−π6)(x∈[0,2π])为f(x)=2xx2+4(x∈[0,+∞))的“2024重覆盖函数”，求正实数ω的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.C
6.B
7.B
8.A
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.± 24
13.2
14.(5,5 2]
15.解：2x2+x>2ax+a，∴x(2x+1)>a(2x+1)，∴(x−a)(2x+1)>0，
(1)当a=1时，可得解集为{x|x>1或x<−12}.
(2)对应方程的两个根为a，−12，
当a=−12时，原不等式的解集为{x|x≠−12}，
当a>−12时，原不等式的解集为{x|x>a或x<−12}，
当a<−12时，原不等式的解集为{x|x−12}.
16.解：(1)AE=12(AB+AC)=12(a+b+12a)=34a+12b；
(2)AE2=(34a+12b)2=916a2+34a⋅b+14b2=134；
(3)AE⋅BD=(34a+12b)⋅(b−a)=−34a2+12b2=−1．
∴cs=AE⋅BD|AE|⋅|BD|=−1 132⋅2 2=− 2626．
17.(1)证明：∵BC⊥面PAB，PA⊂面PAB，∴BC⊥PA，
又PA⊥BD，BC∩BD=B，BC、BD⊂面ABCD，∴PA⊥面ABCD，
CD在面ABCD内，∴PA⊥CD，
∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
又AD∩PA=A，AD、PA⊂面PAD，∴CD⊥面PAD．
(2)设PA=x，，
设四棱锥P−ABCD的外接球的半径为R，
则(2R)2=x2+y2+y2=x2+2y2≥2 2xy=16
(当且仅当x= 2y，即x=2 2，y=2取等号)．
过B作BH⊥PC交PC于H，连接DH，
则∠BHD为平面PCD与平面PBC所成的二面角．
BH=DH=2 3×24= 3，BD=2 2，
∴cs∠BHD=3+3−82 3⋅ 3=−13，
∴平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值为−13．
18.解：(1)f(x)=sin(ωx+θ+θ)−2cs(ωx+θ)⋅sinθ+ 3csωx
=sin(ωx+θ)⋅csθ−cs(ωx+θ)⋅sinθ+ 3csωx
=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，
由x∈(0,π)得π3<ωx+π3<ωπ+π3，
由函数f(x)在(0,π)上恰好有两个零点得2π<ωπ+π3≤3π，53<ω≤83ω∈N∗，
∴ω=2．
由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
(2)x∈[0,π2]，令t=2x+π3，则π3≤t≤4π3，
由题意得2sint=m在t∈[π3,4π3]上有两个不同的实根，
∴m2∈[ 32,1)，∴m∈[ 3,2)．
(3)由f(A2)=2sin(A+π3)= 3得sin(A+π3)= 32，π3∴A+π3=2π3，∴A=π3，
由a2=b2+c2−2bccsA得b= 3+1，
由S△BAC=S△BAD+S△DAC，
得12×2( 3+1)=12×2AD×sinπ6+12×( 3+1)×AD×sinπ6，
∴AD=2．
19.解：(1)因为g(x)=|ex−4|，x∈R，f(x)=x−4，x∈(4,8)，
则f(x)∈(0,4)，由定义可得，对任意x0∈(4,8)，
恰好存在不同的实数x1，x2，⋯xn∈R，使得g(xi)=f(x0)，
(其中i=1，2，⋯n，n∈N∗)，
即|exi−4|=t，t∈(0,4)，可得ex−4=±t，
即ex=4+t∈(4,8)或ex=4−t∈(0,4)，
所以对于任意x0∈(4,8)，能找到两个xi，使得|exi−4|=x0−4，
所以g (x)是f(x)的“n重覆盖函数”，且n=2;
(2)可得f(x)=lg2ex+2ex+1=lg2(1+1ex+1)的定义域为R，
即对任意x0∈R，存在3个不同的实数x1，x2，x3∈[−1,+∞)，
使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，3)，
∵ex>0，则ex+1>1⇒0<1ex+1<1⇒1<1+1ex+1<2，
∴0即g(xi)=lg2(1+1ex0+1)∈(0,1)，
即对任意0当x>0时，g(x)=|x−1|=k已有两个根，
故只需−1≤x≤0时，g(x)=k仅有1个根，
当a=0时，g(x)=−2x−2∈[−2,0]，不符合题意，
当a>0时，g(0)=−2<0，则需满足g(−1)=a−2a+2−2≥1，解得a≤−1，此时a无解，
当a<0时，抛物线开口向下，g(0)=−2<0，g(−1)=a−2a+2−2≥1，a≤−1，
若仅有1个根，由a<0知2−2a2a≤−1，解得a<0，
∴a≤−1，综上，实数a的取值范围是{a|a≤−1};
(3)因为f(x)=2xx2+4，x∈[0,+∞)，
当x=0时f(0)=0，当x>0时f(x)>0且f(x)=2xx2+4=2x+4x≤22 x⋅4x=12，
当且仅当x=1时取等号，所以0综上可得0≤f(x)≤12，即f(x0)=2x0x02+4∈[0,12]，
则对于任意m∈[0,12]，g(x)=sin(ωx−π6)=m，x∈[0,2π]要有2024个根，
−π6≤ωx−π6<2πω−π6
由函数g(x)=sint，−π6≤t<2πω−π6的图象，
要使g(x)=sin(ωx−π6)=m，x∈[0,2π]要有2024个根，
则2023π≤2πω−π6<2024π，
又ω>0，则2023+162≤ω<2024+162，
故正实数ω的取值范围[1011712,1012112).