湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，时长120分钟，满分150分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知随机变量X服从正态分布,则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．已知向量满足．若,则实数（ ）
A． B． C．3 D．
4．已知函数,则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2，3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的的上四分位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．14 D．14.5
6．在平面直角坐标系中，已知向量与关于x轴对称，向量若满足的点A的轨迹为E,则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆
C．E是两条平行直线 D．E是椭圆
7．由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为,即,若,则（ ）
A．34 B．33 C．32 D．30
8．已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线E的右支交于A,B两点，若,且双曲线E的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知A,B为随机事件，,则下列结论正确的有（ ）
A．若A,B为互斥事件，则 B．若,则
C．若A,B为互斥事件，则 D．若A,B相互独立，则
10．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为;用代替重复上面的过程得到;一直下去，得到数列,叫作牛顿数列．若函数且,数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
11．把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴,短轴为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为线段上的动点，E为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则下列选项正确的是（ ）
A．当平面时，P为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为,则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为__________．
13．已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为__________．
14．2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P,使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有两条进攻线路可供选择，若选择线路,则甲带球__________码时，到达最佳射门位置；若选择线路,则甲带球__________码时，到达最佳射门位置．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，角A,B,C所对的边为,角A的平分线交边于点D,且．
（1）求A的值；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面;
（2）若平面,求二面角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．
（1）从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期望；
（2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为,求的前n项和．
18．（本小题满分17分）
已知为平面上的一个动点．设直线的斜率分别为，且满足．记P的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线分别交动直线于点C、D,过点C作的垂线交x轴于点是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且,那么在区间内至少存在一点m,使得．
（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在,使得；
（2）已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数b的取值范围；
（3）证明：当时，有．
咸宁市2023—2024学年度下学期高中期末考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
8．D 【解析】因为双曲线E的离心率为，所以,因为,
所以,由双曲线的定义可得,所以,
在中，由余弦定理得，
在中，,设,则，
由得,解得,所以，
所以．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
10．AC 【解析】，所以在点处的切线方程，
令,得，故A正确．
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以,故D错误．故选AC．
11．ACD 【解析】方法1：
对于A:由题设，长轴长,短轴长，
则,
得分别是中点，而柱体中为矩形，连接,
由,
∴四边形为平行四边形，,
当平面时，平面,平面平面,
则,有,
中，是中点，则P为的中点，A选项正确；
对于B:,
则中，，
外接圆半径为,
,则平面,
三棱锥外接球的半径为,
所以外接球的表面积为，B选项错误；
对于C:点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为,令,则,又,
则，
，由椭圆性质知，
则当或时，的最大值为，C选项正确；
对于D:由,要使三棱锥体积最大，
只需的面积和M,N到平面距离之和都最大，
,令,且，则,，
当时，有最大值,
在下底面内以O为原点，构建如上图的直角坐标系，且,
则椭圆方程为，
设,联立椭圆得，
，
令，
由对勾函教性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为,D选项正确．故选ACD．
方法2：
对于A:连接,因为平面
平面,平面平面,所以,
因为,所以,因为为中点，所以P为中点，故A正确；
对于B:设球心为Q,则,所以,所以,故B错误；
对于C:，
所以，故C正确；
对于D,设，则，
所以，
设,
所以（时），
所以，
当时取等号，故D正确，故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．10
13． 【解析】方法1：法一：换元法
令．
方法2：目标函数+伸缩变换
令．
14．
【解析】方法1：米勒圆
选择线路,以为弦的圆与相切于,连最大．所以甲带球至时，到达最佳射门位置．由切割线定理，得,
即,所以甲带球码时，到达最佳射门位置．
选择线路,以为弦的圆与相切于,连最大．
所以甲带球至时，到达最佳射门位置，由切割线定理，得,即，所以甲带球码时，到达最佳射门位置．
方法2：代数方法
若选择线路，设，其中,则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时,所以，若选择线路,则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路,以线段的中点N为坐标原点，的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则,直线的方程为，
设点，其中，
所以，
，令，则，
所以，
，当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
当且仅当时，等号成立，此时，,
所以，若选择线路,则甲带球码时，到达最佳射门位置．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）因为,由正弦定理可得, 3分
，所以,故， 5分
又． 6分
（2）由题意可知, 7分
即,化简得, 9分
在中，由余弦定理推论得， 10分
从而， 11分
解得或（舍）． 12分
所以． 13分
16．【解析】方法一：（1）如图，取中点中点N,连接．
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形，
所以． 1分
又,所以,所以四边形是平行四边形． 2分
因为,所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面,所以平面． 3分
同理可得平面． 5分
又平面平面,
所以平面平面． 6分
又平面,所以平面． 7分
（2）如图，以A为原点，以的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则,
所以． 8分
设是平面的法向量，则
，所以，所以． 9分
取,则,所以是平面的一个法向量． 10分
设是平面的法向量，则
，所以，所以． 11分
取，则,所以是平面的一个法向量． 12分
设二面角的大小为,
则， 13分
． 14分
所以，即二面角的正弦值为． 15分
方法二：（1）证明：如图，取中，点M,连接．
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形，所以． 2分
又,所以,所以四边形是平行四边形． 3分
因为,所以, 4分
所以四边形是平行四边形，所以． 5分
又平面平面, 6分
所以平面,即平面．
（2）如图，以A为原点，以的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则, 7分
所以 8分
所以， 9分
所以是平面的一个法向量． 10分
设是平面的法向量，则
,所以， 11分
取,则,所以是平面的一个法向量． 12分
设二面角的大小为，则
13分
， 14分
所以,即二面角的正弦值为． 15分
17．【解析】（1）据题意，每位游客只游览大幕东源花谷的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会的概率为，获得2份文旅纪念品，
则X的可能取值为3,4,5,6， 2分
其中， 3分
， 4分
， 5分
， 6分
所以X的分布列为
． 7分
（2）因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，
于是, 10分
则． 12分
于是， 13分
两式相减，得
， 14分
所以． 15分
18．【解析】（1）设点,则，因为，所以， 3分
整理得， 5分
所以的方程为． 6分
（2）方法一：设，则，
故直线的斜率存在且不为0，
则直线，即，
则点． 8分
又直线，即，则点． 10分
又直线的斜率为，故直线，
令,得． 12分
又在椭圆上，则，整理得，
所以，则． 14分
所以
． 16分
综上，存在,使得有最大值12． 17分
方法二：设直线的斜率分别为,且满足．
直线，则点． 8分
同理，直线，则点． 10分
又直线,
令,得，则． 14分
所以
． 16分
综上,存在，使得有最大值12． 17分
19．【解析】（1）证明：令,则． 2分
构造,则． 3分
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在,使得,即,．证毕． 5分
（2）由题． 6分
不妨设,则恒成立， 7分
由（1）中证明可得
,
，
， 9分
令,则在上单调递增，,
又易知的值域为, 11分
． 12分
（3）构造在上可导，
由（1）中定理，存在,使得， 14分
又,
,
， 16分
，
． 17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
D
B
B
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ACD
X
3
4
5
6
P