2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为( )
A. 40，32B. 42，30C. 44，28D. 46，26
2.下列统计量中，都能度量样本x1,x2,⋯,xn的集中趋势的是( )
A. 样本x1,x2,⋯,xn的标准差与极差B. 样本x1,x2,⋯,xn的中位数与平均数
C. 样本x1,x2,⋯,xn的极差与众数D. 样本x1,x2,⋯,xn的方差与平均数
3.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，二面角D′−AB−D的大小是( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
4.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列结论正确的是( )
A. 若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β，则α/​/β
B. 若α∩β=m，n//m，则n//α
C. 若m⊂α,n⊂β,m⊥n，则α⊥β
D. 若m⊂α,m⊥β，则α⊥β
5.设D为ΔABC所在平面内一点，若BC⇀=3CD⇀，则下列关系中正确的是
A. AD⇀=−13AB⇀+43AC⇀B. AD⇀=13AB⇀−43AC⇀
C. AD⇀=43AB⇀+13AC⇀D. AD⇀=43AB⇀−13AC
6.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
7.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB为等边三角形，E,F分别为PA,BC的中点，给出以下结论：
①BE//平面PFD； ② EF//平面PCD；
③平面PAB与平面PCD交线为l，则CD//l； ④BE⊥平面PAC．
则以上结论正确的序号为
A. ① ③B. ② ③C. ① ② ③D. ① ② ③ ④
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点，有四个结论：
①AP与CM是异面直线；
②AP,MN,DD1相交于一点；
③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形；
④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形；
其中错误的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=1+3i2+i，则下列命题结论不正确的是( )
A. z的虚部为1B. z= 2
C. z在复平面内对应的点在第四象限D. z是方程x2−2x+2=0的根
10.已知向量a=−2,0,b=1,1，则下列结论正确的是( )
A. a=bB. a+b//b
C. a与b的夹角为34πD. a在b上的投影向量为−1,−1
11.已知正四面体P−ABC的棱长为 2，则( )
A. 正四面体P−ABC的外接球表面积为4π
B. 正四面体P−ABC内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体P−ABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13
D. 正四面体S−EFG在正四面体P−ABC的内部，且可以任意转动，则正四面体S−EFG的体积最大值为181
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，△O′A′B′是水平放置的▵OAB的斜二测直观图，若O′A′=3,OB′=2 2,∠A′O′B′=45∘，则▵OAB的面积为 ．
13.已知向量a=−1,2，则与a垂直的单位向量的坐标为 ．
14.如图，正三棱锥P−ABC的侧面和底面ABC所成角为α，正三棱锥Q−ABC的侧面和底面ABC所成角为β,AB=2 3,P和Q位于平面ABC的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则∠PBQ= ，tanα+β的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗､去皮､去核､冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．
(1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1,7,4,7,4,6,6,3,7,5，求这10个数据的第70百分位数与方差s2；
(2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照5,15,15,25,25,35,35,45,45,55分组，得到频率分布直方图.估计这600名中国果切消费者年龄的中位数a及平均数ω(结果保留整数)．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−bc=a2．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2,sinC=17．
(i)求sinB的值；
(ii)求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点．
(1)证明：EF//平面ABCD．
(2)求异面直线EF与BC1所成角的大小．
(3)求直线BD与平面D1EF所成角的正切值．
18.(本小题17分)
(1)已知A2,3，B4,−3，点P在线段AB的延长线上，且AP=32PB，求点P的坐标；
(2)若a,b是夹角为60∘的两个单位向量，求：(i)a−12b的值；(ii)函数fx=a−xbx∈R的最小值；
(3)请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为7 312，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，▵ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=2AA1=2A1B1=2BB1，

(1)证明：BC⊥平面ABB1A1；
(2)求点B到面ACC1A1的距离；
(3)在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F−AB−C的大小为π6，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.D
5.A
6.D
7.C
8.C
9.BCD
10.CD
11.BD
12.6 2
13.±2 55, 55
14.90∘；−43
15.(1)
按从小到大顺序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，
由于10×70%=7，故第70百分位数为6+72=6.5；
平均数x=1+3+4×2+5+6×2+7×310=5，
s2=(1−5)2+(3−5)2+2×(4−5)2+(5−5)2+2×(6−5)2+3×(7−5)210=3.6
(2)
由0.020×10=0.20.5,可得15