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苏科版数学七年级下册第10章 《二元一次方程组》过题型（原卷+解析卷）
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第10章 二元一次方程组考察题型一 二元一次方程的定义（辨析+求参）典例1-1．下列方程中，属于二元一次方程的是 A． B． C． D．变式1-1．下列各式是二元一次方程的是 A． B． C． D．典例1-2．（1）如果 是二元一次方程，那么、的值分别为 A．2、3 B．2、1 C．、2 D．3、4（2）若方程是关于，的二元一次方程，则满足 A． B． C． D．变式1-2．已知是关于、的二元一次方程，则 A． B． C．或 D．考察题型二 二元一次方程的解（试根+见根代入求参）典例2-1．下列是方程的解是 A． B． C． D．变式2-1．二元一次方程有无数多组解，下列四组值中是该方程的解的是 A． B． C． D．典例2-2．已知，是方程的解，那么的值为 A． B． C．3 D．4变式2-2．已知是方程的解，则的值是 A．1 B． C． D．2考察题型三 由实际问题抽象出二元一次方程典例3-1．根据“的2倍比的大6”，可列代数关系式为 ．变式3-1．根据条件“比的一半大3的数等于的2倍”中的数量关系列出方程为 ．典例3-2．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生人，图书本，则可以列方程为 A． B． C． D．变式3-2．有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④考察题型四 二元一次方程组的定义辨析典例4．下列不是二元一次方程组的是 ①； ②； ③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式4．下列方程组是二元一次方程组的有 ①②③④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考察题型五 由实际问题抽象出二元一次方程组典例5．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，在被追赶的这段时间中，走路慢的人走了步，则可列方程组为 A． B． C． D． 变式5．《九章算术》记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．大意是：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的总重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金与白银，则原装黄金的袋子比装白银的袋子总重量轻了13两，问黄金和白银一枚各重几两？若设黄金，白银一枚各重，两，根据题意可列方程组为 A． B． C． D．考察题型六 解二元一次方程组（含整体法+新定义）典例6-1．已知方程组指出下列解法中比较简洁的是 A．利用①，用含的式子表示，再代入② B．利用①，用含的式子表示，再代入② C．利用②，用含的式子表示，再代入① D．利用②，用含的式子表示，再代入①变式6-1．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是 A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①②典例6-2．解方程组：（1）；（2）．变式6-2．解方程：（1）；（2）．典例6-3．已知关于，的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，，的值相等；③当时，方程组的解也是方程的解；④，间的数量关系是．其中正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式6-3．已知关于，的方程组，以下结论其中不成立是 A．不论 取什么实数，的值始终不变 B．存在实数，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解典例6-4．已知方程组，不解方程组可得 ．变式6-4．已知二元一次方程组，则的值为 ．典例6-5．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．变式6-5．我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是 ．典例6-6．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设，，原方程组可化为，解得：，即，解得：．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得：，则，把代入①得：，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于，的方程组：的解；（2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．（3）已知、、，满足，试求的值．变式6-6-1．教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．变式6-6-2．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即③，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为．【解决问题】：（1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组；（2）已知，满足方程组，求的值．典例6-7．规定，如．（1），求的值；（2）若，，求的值．变式6-7．规定一种新的运算：，例如：．（1）求：的值；（2）已知，求的值；（3）若，同时满足，，求，的值．考察题型七 利用二元一次方程组的解求参（含同解问题）典例7-1．在等式中，当时，；当时，，则与的值分别为 A． B． C． D． 变式7-1．已知，当时，；当时，，求和的值．典例7-2．，则 ．变式7-2．若与互为相反数，则的值是 ．典例7-3．已知方程组的解也是方程的解，则的值是 A． B． C． D．变式7-3．若方程组的解和满足，则的值为 A．4 B．5 C．6 D．7典例7-4．（1）已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值是 ．（2）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则“”的值为 A． B． C．1 D．5变式7-4．已知关于，的方程组和有相同的解，那么值是 A．3 B．4 C．5 D．6典例7-5．甲、乙两人解关于，的方程组，甲符合题意的解得，乙看错了方程②中的系数，解得，则的值为 A．16 B．25 C．36 D．49变式7-5．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么 ．考察题型八 解三元一次方程组典例8-1．解下列方程组：（1）；（2）；（3）．变式8-1-1．解下列方程（组．（1）；（2）；（3）；（4）．变式8-1-2．解方程组：（1）；（2）．典例8-2．已知方程组，则的值是 A．3 B．4 C．5 D．6变式8-2．已知方程组，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4典例8-3．三元一次方程组的解是 ．变式8-3．三元一次方程组的解是 ．考察题型九 二元一次方程的实际应用典例9．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，总换方案有 A．9种 B．8种 C．7种 D．6种变式9．某手机店，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机1800元部，乙型号手机600元部，丙型号手机1200元部，若手机店同时购进三种不同型号的手机共40部，并将6万元恰好用完，并且要求乙型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，试求手机店每种型号手机的购买数量．考察题型十 二元一次方程组的实际应用典例10-1．（1）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为 A．， B．， C．， D．，（2）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里小时．变式10-1．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？则该问题中的井深是 尺．典例10-2．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位：（1）列出方程（组，求出图甲中与的值；（2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生型板材 张，型板材 张（用、的代数式表示）；②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个．变式10-2．用如图1所示的，两种纸板作侧面或底面制作如图2所示的甲、乙两种长方体形状的无盖纸盒．（1）现有纸板70张，型纸板160张，要求恰好用完所有纸板，问可制作甲、乙两种无盖纸盒各多少个？（2）若现仓库型纸板较为充足，型纸板只有30张，根据现有的纸板最多可以制作多少个如图2所示的无盖纸盒（甲、乙两种都有，要求型纸板用完）；（3）经测量发现型纸板的长是宽的2倍（即，若仓库有6个丙型的无盖大纸盒（长宽高分别为，，，现将6个丙型无盖大纸盒经过拆剪制作成甲、乙两种型号的纸盒，可以各做多少个（假设没有边角消耗，没有余料）？典例10-3．小明在某商店购买商品，共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如表：（1）求商品，的标价；（2）若商品，的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？变式10-3．探究奖项设置和奖品采购的方案．素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）．【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．【任务2】求，的值．【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．考察题型十一 三元一次方程组的实际应用典例11．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是 A．325 B．217 C．433 D．541变式11．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．（说明：活动次数为正整数）该年级4班这个月体育小组活动次数最多是 次． 购买商品的数量（个购买商品的数量（个购买商品、的价格（元第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062获奖级别一等奖二等奖三等奖调整前人数（单位：个）51530调整后人数（单位：个）20体育小组活动次数科技小组活动次数文艺小组活动次数课外兴趣小组活动总时间（单位：）1班46511.52班464113班474124班613
第10章 二元一次方程组考察题型一 二元一次方程的定义（辨析+求参）典例1-1．下列方程中，属于二元一次方程的是 A． B． C． D．变式1-1．下列各式是二元一次方程的是 A． B． C． D．典例1-2．（1）如果 是二元一次方程，那么、的值分别为 A．2、3 B．2、1 C．、2 D．3、4（2）若方程是关于，的二元一次方程，则满足 A． B． C． D．变式1-2．已知是关于、的二元一次方程，则 A． B． C．或 D．考察题型二 二元一次方程的解（试根+见根代入求参）典例2-1．下列是方程的解是 A． B． C． D．变式2-1．二元一次方程有无数多组解，下列四组值中是该方程的解的是 A． B． C． D．典例2-2．已知，是方程的解，那么的值为 A． B． C．3 D．4变式2-2．已知是方程的解，则的值是 A．1 B． C． D．2考察题型三 由实际问题抽象出二元一次方程典例3-1．根据“的2倍比的大6”，可列代数关系式为 ．变式3-1．根据条件“比的一半大3的数等于的2倍”中的数量关系列出方程为 ．典例3-2．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生人，图书本，则可以列方程为 A． B． C． D．变式3-2．有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④考察题型四 二元一次方程组的定义辨析典例4．下列不是二元一次方程组的是 ①； ②； ③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式4．下列方程组是二元一次方程组的有 ①②③④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考察题型五 由实际问题抽象出二元一次方程组典例5．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，在被追赶的这段时间中，走路慢的人走了步，则可列方程组为 A． B． C． D． 变式5．《九章算术》记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．大意是：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的总重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金与白银，则原装黄金的袋子比装白银的袋子总重量轻了13两，问黄金和白银一枚各重几两？若设黄金，白银一枚各重，两，根据题意可列方程组为 A． B． C． D．考察题型六 解二元一次方程组（含整体法+新定义）典例6-1．已知方程组指出下列解法中比较简洁的是 A．利用①，用含的式子表示，再代入② B．利用①，用含的式子表示，再代入② C．利用②，用含的式子表示，再代入① D．利用②，用含的式子表示，再代入①变式6-1．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是 A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①②典例6-2．解方程组：（1）；（2）．变式6-2．解方程：（1）；（2）．典例6-3．已知关于，的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，，的值相等；③当时，方程组的解也是方程的解；④，间的数量关系是．其中正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式6-3．已知关于，的方程组，以下结论其中不成立是 A．不论 取什么实数，的值始终不变 B．存在实数，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解典例6-4．已知方程组，不解方程组可得 ．变式6-4．已知二元一次方程组，则的值为 ．典例6-5．已知方程组的解是，则方程组的解是 ．变式6-5．我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是 ．典例6-6．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设，，原方程组可化为，解得：，即，解得：．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得：，则，把代入①得：，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于，的方程组：的解；（2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．（3）已知、、，满足，试求的值．变式6-6-1．教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．变式6-6-2．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即③，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为．【解决问题】：（1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组；（2）已知，满足方程组，求的值．典例6-7．规定，如．（1），求的值；（2）若，，求的值．变式6-7．规定一种新的运算：，例如：．（1）求：的值；（2）已知，求的值；（3）若，同时满足，，求，的值．考察题型七 利用二元一次方程组的解求参（含同解问题）典例7-1．在等式中，当时，；当时，，则与的值分别为 A． B． C． D． 变式7-1．已知，当时，；当时，，求和的值．典例7-2．，则 ．变式7-2．若与互为相反数，则的值是 ．典例7-3．已知方程组的解也是方程的解，则的值是 A． B． C． D．变式7-3．若方程组的解和满足，则的值为 A．4 B．5 C．6 D．7典例7-4．（1）已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值是 ．（2）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则“”的值为 A． B． C．1 D．5变式7-4．已知关于，的方程组和有相同的解，那么值是 A．3 B．4 C．5 D．6典例7-5．甲、乙两人解关于，的方程组，甲符合题意的解得，乙看错了方程②中的系数，解得，则的值为 A．16 B．25 C．36 D．49变式7-5．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么 ．考察题型八 解三元一次方程组典例8-1．解下列方程组：（1）；（2）；（3）．变式8-1-1．解下列方程（组．（1）；（2）；（3）；（4）．变式8-1-2．解方程组：（1）；（2）．典例8-2．已知方程组，则的值是 A．3 B．4 C．5 D．6变式8-2．已知方程组，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4典例8-3．三元一次方程组的解是 ．变式8-3．三元一次方程组的解是 ．考察题型九 二元一次方程的实际应用典例9．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，总换方案有 A．9种 B．8种 C．7种 D．6种变式9．某手机店，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机1800元部，乙型号手机600元部，丙型号手机1200元部，若手机店同时购进三种不同型号的手机共40部，并将6万元恰好用完，并且要求乙型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，试求手机店每种型号手机的购买数量．考察题型十 二元一次方程组的实际应用典例10-1．（1）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为 A．， B．， C．， D．，（2）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里小时．变式10-1．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？则该问题中的井深是 尺．典例10-2．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位：（1）列出方程（组，求出图甲中与的值；（2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生型板材 张，型板材 张（用、的代数式表示）；②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个．变式10-2．用如图1所示的，两种纸板作侧面或底面制作如图2所示的甲、乙两种长方体形状的无盖纸盒．（1）现有纸板70张，型纸板160张，要求恰好用完所有纸板，问可制作甲、乙两种无盖纸盒各多少个？（2）若现仓库型纸板较为充足，型纸板只有30张，根据现有的纸板最多可以制作多少个如图2所示的无盖纸盒（甲、乙两种都有，要求型纸板用完）；（3）经测量发现型纸板的长是宽的2倍（即，若仓库有6个丙型的无盖大纸盒（长宽高分别为，，，现将6个丙型无盖大纸盒经过拆剪制作成甲、乙两种型号的纸盒，可以各做多少个（假设没有边角消耗，没有余料）？典例10-3．小明在某商店购买商品，共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如表：（1）求商品，的标价；（2）若商品，的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？变式10-3．探究奖项设置和奖品采购的方案．素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）．【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．【任务2】求，的值．【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．考察题型十一 三元一次方程组的实际应用典例11．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是 A．325 B．217 C．433 D．541变式11．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．（说明：活动次数为正整数）该年级4班这个月体育小组活动次数最多是 次． 购买商品的数量（个购买商品的数量（个购买商品、的价格（元第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062获奖级别一等奖二等奖三等奖调整前人数（单位：个）51530调整后人数（单位：个）20体育小组活动次数科技小组活动次数文艺小组活动次数课外兴趣小组活动总时间（单位：）1班46511.52班464113班474124班613
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