湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共14页。试卷主要包含了已知，，，则，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
怀化市中小学课程改革教育质量检测试卷
2024年上期期考试题高一数学
考试时长：150分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列判断错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，则
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．“实部等于零”是“复数z为纯虚数”的充要条件
B．“”是“向量，的夹角是钝角”的充要条件
C．“存在唯一的实数k，使”是“”的充要条件
D．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“”是“”的充要条件
6．在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（ ）
A．4B．C．D．1
7．连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（ ）
A．B．是奇函数
C．是周期为4的周期奇函数D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．是图象的一条对称轴D．点是图象的一个对称中心
10．设A，B是两个随机事件，已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点M是侧面内（含边界）的动点，点P是棱的中点，则
A．存在点M，使
B．当M位于顶点D时，直线MP与所成角的余弦值为
C．三棱锥体积的最大值为
D．若，线段PM运动所形成的曲面的面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡的相应横线上。
12．已知复数满足，其中i为虚数单位，则________．
13．已知，，则________．
14．统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差．设一组数据，，…，的平均值为，另一组数据，，…，的平均值为，则协方差．某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表：
已知，则________．
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知向量，．
（1）若，求x；
（2）若，且），求．
16．（本题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求．
17．（本题满分15分）
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱．某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查．

图1 图2
（1）应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图．估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）；
（3）甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为，，，且各自是否下单购物相互独立．求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率．
18．（本题满分17分）
如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置．

图1 图2 图3
（1）如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM；
（2）如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上．
①求证：平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值．
19．（本小题17分）
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D．对于四个有序点A，B，C，D，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点B、C分别是线段AD、BD的中点，求；
（2）证明：；
（3）已知，点B为线段AD的中点，，，求．
高一数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】B
【解答】解得，解得，
所以，选B．
2．【答案】C
【解答】由题意，该圆台的高，
，选C．
3．【答案】D
【解答】于A，由，得，又，所以，A判断正确．
于B，B正确，证明略．
于C，由，得，又，所以，C判断正确．
于D，若，，则或，所以D判断错误．选D．
4．【答案】D
【解答】因为，，，所以，选D．
5．【答案】D
【解答】于A，实部等于零时，复数z不一定是纯虚数（还要虚部等于零），充分性不成立，所以A错误．
于B，时，向量，的夹角可能是钝角或平角，充分性不成立，所以B错误．
于C，时，由不能得出存在唯一的实数k，使，所以C错误．
于D，由正弦定理，，所以D正确．选D．
6．【答案】A
【解答】由，得在上的投影向量的模，又，，
如图1，得，点P与点D重合，
由已知易得，
所以，选A．
7．【答案】B
【解答】易知样本空间样本点总数，记“两次出现的点数之积为奇数”为事件A，则，所以，所以，选B．
8．【答案】D
【解答】由的图象关于直线对称，知的图象关于直线y轴对称，所以是偶函数，所以B错误．
在中，令得，
又，所以，所以，知是周期为6的周期奇函数，所以C错误．
由已知在上单调递减，所以，所以A错误．
于是只能选D．事实上
，，
由在上单调递减，得即．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【答案】BD
【解答】于A，由图象知，得，所以，所以A错误．
于B，由得，由图知，
即，由得，所以B正确．
于CD，由前述推导知，
所以，所以C错误，D正确．
综上，选BD．
10．【答案】ABD
【解答】由，，知，
所以C错误．
所以，所以A正确．
同理可得B正确．
，所以D正确．
综上，选ABD．
11．【答案】AB
【解答】于A，显然，M为的中点时，，A正确．
于B，如图1，延长到使，连和，则或其补角等于直线MP与所成角，易得，，，
所以，所以B正确．
于C，如图2，显然面积为定值，要三棱锥的体积最大，只要高最大，即当M位于顶点D时，此时，所以C错误．
于D，如图3所示，易知M的轨迹是以为直径，位于侧面内的一段半圆弧．线段PM运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，其面积为，所以D错误．
综上，选AB．

图1 图2 图3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡的相应横线上。
12．【答案】
【解答】因为，所以，．
13．【答案】
【解答】由已知，所以，所以．
14．【答案】474
【解答】由已知求得，，所以
．
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
【解答】（1）由得，所以． 5分
（2）由得，， 7分
所以，
， 9分
由得， 11分
即，
所以． 13分
16．（本题满分15分）
【解答】（1）由已知，设，，，， 3分
由余弦定理． 7分
（2）由，，得， 9分
由正弦定理，得． 11分
又由已知a是最小边，所以A是锐角，得， 13分
所以． 15分
注：其他解法，相应记分．
17．（本题满分15分）
【解析】（1）由已知，小吃类商家占35%，，
玩具类商家占10%，，
所以，小吃类、玩具类商家应分别抽取28、8家． 4分
（2）由已知，所以， 5分
设中位数为x，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6，
所以，且，解得， 7分
． 9分
所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元． 10分
（3）记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D，由已知，，，则
． 15分
18．（本题满分17分）
【解析】（1）①如图1，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是的中位线，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形ENCM是平行四边形，所以，
又平面PAM，平面PAM，
所以平面PAM． 4分
图1
注：也可以取AD中点，通过证面面平行而得到平面PAM，相应记分．
（2）①由平面AMCD，平面PFH，得，
又已知，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线，
所以平面PAD． 7分
（2）①中已证平面PAD，又平面PAD，
所以，所以是，
同理可证，是．
如图2，取PC的中点O，则点O到三棱锥各顶点的距离都相等，所以O是三棱锥外接球的球心． 9分
如图3，过点P作于F，连HF和BF，
因为平面AMCD，平面AMCD，
所以，
又PF，PH是平面PHF内两条相交直线，
所以平面PFH，又平面PFH，
所以，
由和翻折关系知，所以B，F，H三点共线，且， 11分
设，则，，
又，所以，
，，
由得， 13分
所以，，
所以，
， 15分
因为在时单调递增，所以时，有最大值，
此时，点M位于点的C位置， 16分
所以，，．
所以点M位于点的C时，三棱锥外接球的体积的最大值为． 17分

图2 图3
注：其他解法相应记分．
19．（本小题17分）
【解析】（1）由已知，，所以． 2分
（2）在，，，中，
，同理，
所以， 4分
又在，，，中，
，同理，
所以， 6分
又，，，，
所以，所以． 8分
（3）方法一：
由可得，即，所以，
又点B为线段AD的中点，即，所以，又，所以，，，又已知，所以． 10分
设，，由，得，
即，解得，…① 12分
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，
得，即，…④ 15分
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以． 17分
方法二：
因为，所以，设，则，
又B为线段AD的中点，所以，又已知，，所以，所以，得，
所以，，
由，得，
所以，设，则， 14分
由，互补得
，即，解得，
所以，，
所以． 17分序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
135
124
118
107
95
87
74
63
53
44
物理成绩
97
78
82
83
77
65
67
52
44
45
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
D
A
B
D
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
AB
题号
12
13
14
答案
474