2022-2023学年湖南省怀化市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集的定义运算即得.

【详解】∵集合，，

∴.

故选：C.

2．命题“，”的否定是　　

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题p：，，则为，．

故选A．

【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．

3．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】由，可得，故充分性成立，

当时，，

则由不能得出，故必要性不成立，

所以“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A.

4．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理判断即可得到所求的区间．

【详解】函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0,＋∞)，并且f(x)在(0,＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．

又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，

根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．

故选B．

【点睛】求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用零点存在性定理，二是解方程，三是用函数的图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．

5．我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周八步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（    ）

A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步

【答案】A

【分析】根据扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，

∴（平方步），

故选：A.

6．将函数的图像（    ），可以得到函数的图像

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论即可．

【详解】解：由于函数，

则将函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像.

故选：D.

7．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义求解.

【详解】对于A，定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A错误；

对于B，根据幂函数的性质可知，在上为增函数，

且，所以函数为奇函数，B正确；

对于C，当时，单调递增，

，函数为偶函数，C错误；

对于D，根据双勾函数的性质，函数为奇函数，但在上为减函数，D错误，

故选:B.

8．已知不是常函数，且是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则（    ）

A． B．1是的一个周期

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.

【详解】的最小正周期为1，则，

所以是以2为周期的周期函数，因此，故B错误；

对于A，，故A错误；

对于C，由周期得，又，

因此，故C正确；

对于D，，故D错误，

故选：C.

二、多选题

9．与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用终边相同的定义求解.

【详解】与角终边相同的角是，

当时，当时，

当时，

所以A,D满足题意，

故选:AD.

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期是 B．是图象的对称轴

C．是图象的对称中心 D．在区间上单调递减

【答案】AC

【分析】根据三角函数的性质一一求解.

【详解】最小正周期为,A正确；

，

所以不是图象的对称轴，B错误；

，

所以是图象的对称中心，C正确；

因为，所以，

所以在区间上有增有减，D错误，

故选:AC.

11．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.

【详解】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；

对于A，的定义域，值域，则，A错误；

对于B，的定义域，值域，则，B正确；

对于C，的定义域为，值域，则，C错误；

对于D，的定义域为，值域，则，D正确.

故选：BD.

12．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；

（2）由（1）可知，故B错误；

（3）由①知，，，，，

即，故C正确；

（4），则，由③可得，，，

即，，即，；

由（3）可知当，，，

当，可得，，

故D正确．

故答案为：ACD

三、填空题

13．化简：______.

【答案】

【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.

【详解】.

故答案为：

14．若，，，则它们的大小关系为______.

【答案】##

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值可以比较出三个数的大小关系

【详解】因为，，，

即，，，所以由大到小的顺序为.

故答案为

15．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是　　　　．

【答案】（10，12）

【详解】

不妨设a<b<c，

作出f(x)的图象，如图所示：

由图象可知0<a<1<b<10<c<12，

由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，

∴lgab=0，则ab=1，

∴abc=c，

∴abc的取值范围是(10,12)，

16．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】##

【分析】首先根据对数的运算性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为，，所以，，

因为.

所以

.

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

四、解答题

17．（1）求值：；

（2）设，试比较与的大小.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数幂的运算以及对数的运算性质即可化简，

（2）根据作差法即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）时，，

所以

，

所以.

18．已知函数.

(1)若，恒成立，求实数的取值范围.

(2)若，解关于的不等式：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分和两种情况讨论，从而可得出答案；

（2）先根据求出，再解关于的一元二次不等式，最后根据指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）当时，满足，恒成立，

当时，则只需，

综上，要使，恒成立，则；

（2）因为，所以，

此时，

所以，即，

令，即为，解得或，即或，

因为，所以无解，

解得，

所以不等式的解集为.

19．已知锐角与钝角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；

(2)根据两角和的正切公式求解.

【详解】（1）因为，，且，，

所以，，

所以.

（2）由（1）得，

所以.

20．已知函数．

(1)求在区间上的最大值；

(2)设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）化简可得，由对数函数单调性计算即可得出结果.

（2）由题意得，，由在上单调递增,只需成立，计算即可得出结果.

【详解】（1）∵，

又在上单调递增，∴当时，有最大值3．

（2）由题意得，.

因为，，所以在上单调递增，

所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值.

所以原题可转化为任意，成立，

即，即，

∴，∴恒成立，

又，则，

∴，即a的取值范围为．

21．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

(1)已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；

(2)当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.

【答案】(1)

(2)转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.

【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；

（2）要求，即，解不等式即可.

【详解】（1）依题意知，，，，

由，解得，所以，

因为，所以，又，所以，

所以，

所以，

即时点距离地面的高度为；

（2）令，即，

解得，

即，

又，

所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.

22．已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；

（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.

【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；

（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.

【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，，

令，得，

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数在上有零点，所以，解得，

因为，所以的取值为2或3.

（3）因为且，所以且，

因为，

所以的最大值可能是或，

因为

所以，

只需，即，

设，在上单调递增，

又，∴，即，所以，

所以m的取值范围是.

【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.