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2023-2024学年湖南省怀化市高一下学期期末考试数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省怀化市高一下学期期末考试数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|3−2x>0}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤32}B. {x|−1≤x<32}
C. {x|322.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的体积为( )
A. 14πB. 21πC. 28πD. 35π
3.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若α//β，m⊥α，m//n，则n⊥β
B. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥β，n⊂β，则n//α
D. 若m//α，m//n，则n//α
4.已知a=lg93，b=(12)e，c=e12，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
5.下列判断正确的是( )
A. “实部等于零”是“复数z为纯虚数”的充要条件
B. “a⋅b<0”是“向量a，b的夹角是钝角”的充要条件
C. “存在唯一的实数k，使a=kb”是“a//b”的充要条件
D. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“a>b”是“sinA>sinB”的充要条件
6.在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=π3，点P在CD边上，AP⋅AB=4，则AP⋅BP=( )
A. 0B. −12C. −1D. 1
7.连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
8.已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3)，若y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且对于∀x1，x2∈[0,3]，当x1≠x2时，(x1−x2)·[f(x1)−f(x2)]<0，则( )
A. f(2)=0B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期奇函数D. f(2023)>f(2024)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. ω=2B. φ=π6
C. x=5π3是f(x)图象的一条对称轴D. 点(5π3,0)是f(x)图象的一个对称中心
10.设A，B是两个随机事件，已知P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，则( )
A. P(A)=12B. P(B)=12C. P(AB)=12D. P(AB)=14
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是侧面ADD1A1内(含边界)的动点，点P是棱CC1的中点，则( )
A. 存在点M，使PM⊥BD1
B. 当M位于顶点D时，直线MP与BD1所成角的余弦值为 1515
C. 三棱锥P−BMD1体积的最大值为 2
D. 若PM= 5，线段PM运动所形成的曲面的面积为 5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足z⋅i2024=21−i，其中i为虚数单位，则|z|= ．
13.已知sinθ+csθ=65，sinθcsθ=−sin2α则sin2α= ．
14.统计学中，协方差Cv(x,y)用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据x1，x2，⋯，xn的平均值为x，另一组数据y1，y2，⋯，yn的平均值为y，则协方差Cv(x,y)=1ni=1n(xi−x)(yi−y).某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表：
已知i=110xiyi=66840，则Cv(x,y)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−2,2)，b=(x,−2)．
(1)若a//b，求x;
(2)若x=−2，且(a+λb)⊥(a+μb)，求λμ．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a:b:c=4:5:6．
(1)求csB;
(2)求sin(B−A)．
17.(本小题15分)
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查．
(1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家?
(2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数(结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替);
(3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为13，14，13，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率．
18.(本小题17分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，M是边BC上的一点，将△ABM沿着AM折起，使点B到达点P的位置．
(1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：CN//平面PAM;
(2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上．
①求证：CD⊥平面PAD;
②求点M的位置，使三棱锥P−HCD的外接球的体积最大，并求出最大值．
19.(本小题17分)
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D.对于四个有序点A，B，C，D，定义比值ρ=CACBDADB叫做这四个有序点的交比，记作(ABCD)．
(1)若点B、C分别是线段AD、BD的中点，求(ABCD);
(2)证明：(EFGH)=(ABCD);
(3)已知(EFGH)=32，点B为线段AD的中点，AC= 3OB=3，sin∠ACOsin∠AOB=32，求csA.
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，涉及一元二次不等式的解法，是基础题．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：【解答】:解x2−2x−3≤0得−1≤x≤3，
解3−2x>0得x<32，
所以A∩B={x|−1≤x<32}，
选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积，属于基础题．
先求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解即可．
【解答】
解：设圆台的上、下底面的半径为r1，r2，母线长为l，
所以r1=1，r2=4，l=5，
圆台的高为 52−4−12=4，
所以圆台的体积为V=13π(12+42+1×4)·4=28π．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了线线、线面、面面的位置关系，考查了空间想象能力与推理能力，属于基础题．
结合点线面的位置关系，对选项逐个分析即可得出答案．
【解答】解：于A，由m⊥α，m//n得n⊥α，又α//β，所以n⊥β，A判断正确．
于B，若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n，B正确，
于C，由m⊥α，m⊥β得α//β，又n⊂β，所以n//α，C判断正确．
于D，若m//α，m//n，则n//α或n⊂α，所以D判断错误．
选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查比较大小，对数的运算与指数函数的单调性，属于基础题．
利用对数的运算得a=12，由指数函数的单调性得b<14，c>1，即可得出．
【解答】
解：a=lg93=lg323=12，
∵y=12x在R上单调递减，
∴b=(12)e<(12)2=14，
∵y=ex在R上单调递增，
∴c=e12>e0=1，
∴c>a>b，
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的概念及分类，向量的夹角，共线向量，正弦定理，属基础题；
根据复数的概念及分类，向量的夹角，共线向量，正弦定理逐个选项判断即可．
【解答】
解：对于A，实部等于零时，复数z不一定是纯虚数(还要虚部不等于零)，充分性不成立，所以A错误；
对于B，a⋅b<0时，向量a，b的夹角可能是钝角或平角，充分性不成立，所以B错误；
对于C，b=0时，由a//b不能得出存在唯一的实数k，使a=kb，所以C错误；
对于D，由正弦定理，因为a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，所以D正确．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题，
由题意，得AP⋅BP=AP2−4，由向量数量积运算可得|AP|cs∠PAB=1，|AP|sin∠PAB=|AD|sinπ3= 3，计算即可得结果．
【解析】
解：由题意，得AP⋅BP=AP⋅(AP−AB)=AP2−AP⋅AB=AP2−4．
又AP⋅AB=|AP||AB|cs∠PAB=4|AP|cs∠PAB=4，
所以|AP|cs∠PAB=1，
又|AP|sin∠PAB=|AD|sinπ3= 3，所以AP2=1+3=4，
所以AP⋅BP=AP2−4=4−4=0，
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了概率公式的应用．
易知样本空间Ω样本点总数n(Ω)=36，两次出现的点数之积为奇数包括9种可能性，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：易知样本空间Ω样本点总数n(Ω)=36，
记“两次出现的点数之积为奇数”为事件A，
则A={(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，
所以n(A)=9，
所以P(A)=n(A)n(Ω)=936=14，
选B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查判断或证明函数的奇偶性，考查利用函数的单调性比较大小，考查函数的对称性，属于中档题．
由 y=f(x+2) 的图象关于直线 x=−2 对称，得到 y=fx 关于 y 轴对称，赋值后得到 f(3)=0 ，进而得到 f(x)=f(x+6) ，根据已知得到 fx 在 0,3 上单调递减，结合函数的周期及奇偶性得到f2023=f1，f−2024=f2024=f2 ，f(1)>f(2)，判断出 f(2023)>f(−2024) ．
然后逐项判断即可．
【解答】
解： y=f(x+2) 的图象关于直线 x=−2 对称，
故 y=fx 关于 y 轴对称， fx 是偶函数，B错误；
f(x)=f(x+6)+f(3) 中，令 x=−3 得： f(−3)=2f(3) ，
因为 f(−3)=f(3) ，所以 f(3)=2f(3) ，解得： f(3)=0 ，
故 f(x)=f(x+6) ， fx 是周期为6的周期函数，C错误；
对 ∀x1 ， x2∈[0,3] ，当 x1≠x2 时，都有 (x2−x1)f(x2)−f(x1)<0 ，
故 fx 在 0,3 上单调递减，又 fx 是周期为6的周期函数，且 fx 是偶函数，f(2)>f(3)=0，故A错误；
因为 f(1)>f(2) ，
因为f2023=f337×6+1=f1，f−2024=f2024=f337×6+2=f2 ，
所以 f(2023)>f(−2024) ，D正确．
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查fx=Asinωx+φ的图象和性质，考查数形结合思想，属中档题．
先求出函数解析式，再根据三角函数图象与性质，逐项计算即可判断得到答案．
【解答】
解：对于A，由图象知T4=2π3−(−π3)=π，得T=4π，所以ω=12，所以A错误；
对于B，由ω=12得f(x)= 3sin(12x+φ)，
由图知f(2π3)= 3sin(π3+φ)= 3，即sin(π3+φ)=1，
由|φ|<π2得φ=π6，所以B正确；
对于CD，由前述推导知f(x)= 3sin(12x+π6)，
所以f(5π3)= 3sin(5π6+π6)= 3sinπ=0，所以C错误，D正确．
综上，选BD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题主要考查事件的并、交运算、对立事件等，属于基础题．
利用P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，得到P(AB)=14，判断C；
分别利用P(A)=P(AB)+P(AB)=14+14=12，P(AB)=1−P(A+B)=14，判断ABD即可．
【解答】解：由P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，知P(AB)=14，所以C错误．
所以P(A)=P(AB)+P(AB)=14+14=12，所以A正确.同理可得B正确．
P(AB)=1−P(A+B)=14，所以D正确.综上，选ABD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查线线垂直，线线角，棱锥体积，属于中档题．
A.M为AA1的中点时，PM⊥BD1;
B.∠C2D1B或其补角等于直线MP与BD1所成角，求解判定；
C.当M位于顶点D时三棱锥P−BMD1体积的最大值；
D.段PM运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，求解即可．
【解答】
解：对于A，显然，M为AA1的中点时，PM//AC,AC⊥BD1,PM⊥BD1，A正确．
对于B，如图3，延长CC1到C2使C1C2=1，连C2D1和C2B，则∠C2D1B或其补角等于直线MP与BD1所成角，易得C2D1= 5，BD1=2 3，C2B= 13，所以cs∠C2D1B=5+12−132⋅ 5⋅2 3= 1515，所以B正确．
对于C，如图4，显然△BPD1面积为定值，要三棱锥P−BMD1的体积最大，只要高最大，即当M位于顶点D时，此时VP−BMD1=VB−PMD1=13⋅12⋅2⋅2⋅2=43，所以C错误．
对于D，如图5所示，易知M的轨迹是以DD1为直径，位于侧面ADD1A1内的一段半圆弧.线段PM运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，其面积为S=12πrl= 52π，所以D错误．
综上，选AB．
12.【答案】 2
【解析】【分析】本题主要考查复数的模等，属于基础题．
先利用i2024=1，得到z=21−i，然后得到|z|=|21−i|即可．
【解答】解：因为i2024=1，所以z=21−i，|z|=|21−i|=2|1−i|=2 2= 2．
13.【答案】−1150
【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
利用(sinθ+csθ)2=(65)2得到sinθcsθ=1150，然后利用sin2α=−sinθcsθ即可．
【解答】解：由已知(sinθ+csθ)2=(65)2⇒1+2sinθcsθ=3625，
所以sinθcsθ=1150，所以sin2α=−sinθcsθ=−1150．
14.【答案】474
【解析】【分析】
本题主要考查协方差Cv(x,y)，属于中档题．
利用协方差Cv(x,y)=1ni=1n(xi−x)(yi−y)计算即可．
【解答】
解：由已知求得x=90，y=69，
所以Cv(x,y)=110i=110(xi−x)(yi−y)
=110[(x1−x)(y1−y)+(x2−x)(y2−y)+⋯+(x10−x)(y10−y)]
=110[x1y1+x2y2+⋯+x10y10−(x1+x2+⋯+x10)y−(y1+y2+⋯+y10)x+10x⋅y]
=110(i=110xiyi−10x⋅y)=110i=110xiyi−x⋅y=6684−90×69=474．
15.【答案】解：(1)由a//b得(−2)⋅(−2)=2x，所以x=2．
(2)由x=−2得a=(−2,2)，b=(−2,−2)，
所以a+λb=(−2,2)+λ(−2,−2)=(−2−2λ,2−2λ)，a+μb=(−2−2μ,2−2μ)，
由(a+λb)⊥(a+μb)得(−2−2λ)(−2−2μ)+(2−2λ)(2−2μ)=0，
即(1+λ)(1+μ)+(1−λ)(1−μ)=0，所以λμ=−1．
【解析】本题主要考查向量平行(共线)关系的坐标表示、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系等，属于中档题．
(1)利用a//b得到(−2)⋅(−2)=2x即可；
(2)利用x=−2得到a+λb=(−2−2λ,2−2λ)，a+μb=(−2−2μ,2−2μ)，
然后由(a+λb)⊥(a+μb)得(−2−2λ)(−2−2μ)+(2−2λ)(2−2μ)=0即可．
16.【答案】解：(1)由已知，设a=4k，b=5k，c=6k，k>0，由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=16k2+36k2−25k22⋅4k⋅6k=916．
(2)由csB=916，0又由已知a是最小边，所以A是锐角，得csA= 1−sin2A=34，
所以sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA=5 716⋅34−916⋅ 74=3 732．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，属于基础题．
(1)设a=4k，b=5k，c=6k，k>0，利用csB=a2+c2−b22ac求解；
(2)利用正弦定理求sinA，再利用sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA求解．
17.【答案】解：(1)由已知，小吃类商家占35%，80×35%=28，玩具类商家占10%，80×10%=8，
所以，小吃类、玩具类商家应分别抽取28、8家．
(2)由已知(0.002×3+2a+0.006)×50=1，所以a=0.004，
设中位数为x，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6，
所以x∈[400,450)，且(x−400)×0.006=0.2，
解得x≈433，x=[0.002×(325+525+575)+0.004×(375+475)+0.006×425]×50=440．
所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元．
(3)记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，
“三人中有且只有1人下单购物”为事件D，
由已知P(A)=13，P(B)=14，P(C)=13，
则P(D)=P(ABC+ABC+ABC)=13×34×23+23×14×23+23×34×13=49．
【解析】本题主要考查频率分布直方图等，属于中档题．
(1)利用已知数据计算即可；
(2)先利用(0.002×3+2a+0.006)×50=1，得到a=0.004，
设中位数为x，利用(x−400)×0.006=0.2，解得x≈433，
然后利用x=[0.002×(325+525+575)+0.004×(375+475)+0.006×425]×50=440即可．
(3)利用相互独立事件的概率乘法公式即可．
18.【答案】解：(1)如图6，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是△PAD的中位线，
所以EN//AD且EN=12AD，又MC//AD且MC=12AD，
所以EN//MC且EN=MC，所以四边形ENCM是平行四边形，
所以CN//MF，又CN⊄平面PAM，EM⊂平面PAM，所以CN//平面PAM．
(2) ①由PH⊥平面AMCD，CD⊂平面PFH，得CD⊥PH，
又已知CD⊥AD，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线，
所以CD⊥平面PAD．
② ①中已证CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
所以CD⊥PD，所以△PDC是Rt△，同理可证PH⊥HC，△PHC是Rt△．
如图7，取PC的中点O，则点O到三棱锥P−HCD各顶点的距离都相等，
所以O是三棱锥P−HCD外接球的球心.如图8，过点P作PF⊥AM于F，
连接HF和BF，因为PH⊥平面AMCD，AM⊂平面AMCD，所以PH⊥AM，
又PF，PH是平面PHF内两条相交直线，所以AM⊥平面PFH，
又HF⊂平面PFH，所以AM⊥HF，由PF⊥AM和翻折关系知AM⊥BF，
所以B，F，H三点共线，且AM⊥BH，
设PM=BM=x(0又BA2=BF⋅BH，所以BH=BA2BF= 1+x2x，AH= BH2−BA2=1x，
HF=BH−BF= 1+x2x−x 1+x2=1x 1+x2，由PF>HF得1所以PH2=PA2−AH2=1−1x2=x2−1x2，PH= x2−1x2，
所以PD2=PH2+HD2=x2−1x2+(2−1x)2=5x2−4xx2=5x−4x，
PC2=PD2+CD2=5x−4x+12=6−4x，
因为f(x)=6−4x在1此时，点M位于点的C位置，所以2R=PC=2，R=1，V=4π3R3=4π3．
所以点M位于点的C时，三棱锥P−HCD外接球的体积的最大值为V=4π3．
【解析】本题主要考查线面平行的判定、线面垂直的判定等，属于中档题．
(1)先证明CN//MF，即可；
(2) ①先证明CD⊥PH，CD⊥AD，即可；
②设PM=BM=x(019.【答案】解：(1)由已知CACB=31，DADB=2，
所以(ABCD)=32；
(2)由题意，在△AOC，△AOD，△BOC，△BOD中，
CACB=S△AOCS△BOC=12⋅OA⋅OC⋅sin∠AOC12⋅OB⋅OC⋅sin∠BOC=OA⋅sin∠AOCOB⋅sin∠BOC，
DADB=S△AODS△BOD=12⋅OA⋅OD⋅sin∠AOD12⋅OB⋅OD⋅sin∠BOD=OA⋅sin∠AODOB⋅sin∠BOD，
则(ABCD)=CACBDADB=OA⋅sin∠AOCOB⋅sin∠BOC⋅OB⋅sin∠BODOA⋅sin∠AOD=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD ①，
又，在△EOG，△EOH，△FOG，△FOH中，
GEGF=S△EOGS△FOG=12⋅OE⋅OG⋅sin∠EOG12⋅OF⋅OG⋅sin∠FOG=OE⋅sin∠EOGOF⋅sin∠FOG，
HEHF=S△EOHS△FOH=12⋅OE⋅OH⋅sin∠EOH12⋅OF⋅OH⋅sin∠FOH=OE⋅sin∠EOHOF⋅sin∠FOH，
则(EFGH)=GEGFHEHF=OE⋅sin∠EOGOF⋅sin∠FOG⋅OF⋅sin∠FOHOE⋅sin∠EOH=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH②，
又∠EOG=∠AOC，∠FOH=∠BOD，∠FOG=∠BOC，∠EOH=∠AOD，
由 ① ②可得，sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH，
即(EFGH)=(ABCD)；
(3)由题意(EFGH)=32，由(1)可知，(ABCD)=32，
则CACBDADB=32，即CACB．DBDA=32，
又点B为线段AD的中点，即DBDA=12，
故CACB=3，
又AC=3，则AB=2，BC=1，
设OA=x，OC=y，且OB= 3，
由∠ABO=π−∠CBO可知，cs∠ABO+cs∠CBO=0，
即22+( 3)2−x22×2× 3+12+( 3)2−y22×1× 3=0，解得x2+2y2=15 ③，
又在△AOB中，利用正弦定理可知，ABsin∠AOB=xsin∠ABO ④，
在△BOC中，利用正弦定理可知，OBsin∠BCO=ysin∠CBO ⑤，
且sin∠ABO=sin∠CBO，
则 ④ ⑤可得，xy=ABsin∠AOB⋅sin∠BCOOB=32⋅2 3= 3，即x= 3y ⑥，
由 ③ ⑥解得，x=3，y= 3，即OA=3，OC= 3，
则csA=OA2+AB2−OB22OA⋅AB=32+22−( 3)22×3×2=56．
【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题．
(1)利用新定义直接求即可；
(2由题意，结合新定义可得(ABCD)=CACBDADB=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD ①，同理(EFGH)=GEGFHEHF=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH ②，再利用角相等，即可证明；
(3)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可．序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩xi
135
124
118
107
95
87
74
63
53
44
物理成绩yi
97
78
82
83
77
65
67
52
44
45
1.若集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|3−2x>0}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤32}B. {x|−1≤x<32}
C. {x|32
A. 14πB. 21πC. 28πD. 35π
3.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若α//β，m⊥α，m//n，则n⊥β
B. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥β，n⊂β，则n//α
D. 若m//α，m//n，则n//α
4.已知a=lg93，b=(12)e，c=e12，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
5.下列判断正确的是( )
A. “实部等于零”是“复数z为纯虚数”的充要条件
B. “a⋅b<0”是“向量a，b的夹角是钝角”的充要条件
C. “存在唯一的实数k，使a=kb”是“a//b”的充要条件
D. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“a>b”是“sinA>sinB”的充要条件
6.在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=π3，点P在CD边上，AP⋅AB=4，则AP⋅BP=( )
A. 0B. −12C. −1D. 1
7.连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
8.已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3)，若y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且对于∀x1，x2∈[0,3]，当x1≠x2时，(x1−x2)·[f(x1)−f(x2)]<0，则( )
A. f(2)=0B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期奇函数D. f(2023)>f(2024)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. ω=2B. φ=π6
C. x=5π3是f(x)图象的一条对称轴D. 点(5π3,0)是f(x)图象的一个对称中心
10.设A，B是两个随机事件，已知P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，则( )
A. P(A)=12B. P(B)=12C. P(AB)=12D. P(AB)=14
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是侧面ADD1A1内(含边界)的动点，点P是棱CC1的中点，则( )
A. 存在点M，使PM⊥BD1
B. 当M位于顶点D时，直线MP与BD1所成角的余弦值为 1515
C. 三棱锥P−BMD1体积的最大值为 2
D. 若PM= 5，线段PM运动所形成的曲面的面积为 5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足z⋅i2024=21−i，其中i为虚数单位，则|z|= ．
13.已知sinθ+csθ=65，sinθcsθ=−sin2α则sin2α= ．
14.统计学中，协方差Cv(x,y)用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据x1，x2，⋯，xn的平均值为x，另一组数据y1，y2，⋯，yn的平均值为y，则协方差Cv(x,y)=1ni=1n(xi−x)(yi−y).某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表：
已知i=110xiyi=66840，则Cv(x,y)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−2,2)，b=(x,−2)．
(1)若a//b，求x;
(2)若x=−2，且(a+λb)⊥(a+μb)，求λμ．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a:b:c=4:5:6．
(1)求csB;
(2)求sin(B−A)．
17.(本小题15分)
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查．
(1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家?
(2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数(结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替);
(3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为13，14，13，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率．
18.(本小题17分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，M是边BC上的一点，将△ABM沿着AM折起，使点B到达点P的位置．
(1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：CN//平面PAM;
(2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上．
①求证：CD⊥平面PAD;
②求点M的位置，使三棱锥P−HCD的外接球的体积最大，并求出最大值．
19.(本小题17分)
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D.对于四个有序点A，B，C，D，定义比值ρ=CACBDADB叫做这四个有序点的交比，记作(ABCD)．
(1)若点B、C分别是线段AD、BD的中点，求(ABCD);
(2)证明：(EFGH)=(ABCD);
(3)已知(EFGH)=32，点B为线段AD的中点，AC= 3OB=3，sin∠ACOsin∠AOB=32，求csA.
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，涉及一元二次不等式的解法，是基础题．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：【解答】:解x2−2x−3≤0得−1≤x≤3，
解3−2x>0得x<32，
所以A∩B={x|−1≤x<32}，
选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积，属于基础题．
先求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解即可．
【解答】
解：设圆台的上、下底面的半径为r1，r2，母线长为l，
所以r1=1，r2=4，l=5，
圆台的高为 52−4−12=4，
所以圆台的体积为V=13π(12+42+1×4)·4=28π．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了线线、线面、面面的位置关系，考查了空间想象能力与推理能力，属于基础题．
结合点线面的位置关系，对选项逐个分析即可得出答案．
【解答】解：于A，由m⊥α，m//n得n⊥α，又α//β，所以n⊥β，A判断正确．
于B，若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n，B正确，
于C，由m⊥α，m⊥β得α//β，又n⊂β，所以n//α，C判断正确．
于D，若m//α，m//n，则n//α或n⊂α，所以D判断错误．
选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查比较大小，对数的运算与指数函数的单调性，属于基础题．
利用对数的运算得a=12，由指数函数的单调性得b<14，c>1，即可得出．
【解答】
解：a=lg93=lg323=12，
∵y=12x在R上单调递减，
∴b=(12)e<(12)2=14，
∵y=ex在R上单调递增，
∴c=e12>e0=1，
∴c>a>b，
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的概念及分类，向量的夹角，共线向量，正弦定理，属基础题；
根据复数的概念及分类，向量的夹角，共线向量，正弦定理逐个选项判断即可．
【解答】
解：对于A，实部等于零时，复数z不一定是纯虚数(还要虚部不等于零)，充分性不成立，所以A错误；
对于B，a⋅b<0时，向量a，b的夹角可能是钝角或平角，充分性不成立，所以B错误；
对于C，b=0时，由a//b不能得出存在唯一的实数k，使a=kb，所以C错误；
对于D，由正弦定理，因为a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，所以D正确．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题，
由题意，得AP⋅BP=AP2−4，由向量数量积运算可得|AP|cs∠PAB=1，|AP|sin∠PAB=|AD|sinπ3= 3，计算即可得结果．
【解析】
解：由题意，得AP⋅BP=AP⋅(AP−AB)=AP2−AP⋅AB=AP2−4．
又AP⋅AB=|AP||AB|cs∠PAB=4|AP|cs∠PAB=4，
所以|AP|cs∠PAB=1，
又|AP|sin∠PAB=|AD|sinπ3= 3，所以AP2=1+3=4，
所以AP⋅BP=AP2−4=4−4=0，
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了概率公式的应用．
易知样本空间Ω样本点总数n(Ω)=36，两次出现的点数之积为奇数包括9种可能性，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：易知样本空间Ω样本点总数n(Ω)=36，
记“两次出现的点数之积为奇数”为事件A，
则A={(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，
所以n(A)=9，
所以P(A)=n(A)n(Ω)=936=14，
选B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查判断或证明函数的奇偶性，考查利用函数的单调性比较大小，考查函数的对称性，属于中档题．
由 y=f(x+2) 的图象关于直线 x=−2 对称，得到 y=fx 关于 y 轴对称，赋值后得到 f(3)=0 ，进而得到 f(x)=f(x+6) ，根据已知得到 fx 在 0,3 上单调递减，结合函数的周期及奇偶性得到f2023=f1，f−2024=f2024=f2 ，f(1)>f(2)，判断出 f(2023)>f(−2024) ．
然后逐项判断即可．
【解答】
解： y=f(x+2) 的图象关于直线 x=−2 对称，
故 y=fx 关于 y 轴对称， fx 是偶函数，B错误；
f(x)=f(x+6)+f(3) 中，令 x=−3 得： f(−3)=2f(3) ，
因为 f(−3)=f(3) ，所以 f(3)=2f(3) ，解得： f(3)=0 ，
故 f(x)=f(x+6) ， fx 是周期为6的周期函数，C错误；
对 ∀x1 ， x2∈[0,3] ，当 x1≠x2 时，都有 (x2−x1)f(x2)−f(x1)<0 ，
故 fx 在 0,3 上单调递减，又 fx 是周期为6的周期函数，且 fx 是偶函数，f(2)>f(3)=0，故A错误；
因为 f(1)>f(2) ，
因为f2023=f337×6+1=f1，f−2024=f2024=f337×6+2=f2 ，
所以 f(2023)>f(−2024) ，D正确．
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查fx=Asinωx+φ的图象和性质，考查数形结合思想，属中档题．
先求出函数解析式，再根据三角函数图象与性质，逐项计算即可判断得到答案．
【解答】
解：对于A，由图象知T4=2π3−(−π3)=π，得T=4π，所以ω=12，所以A错误；
对于B，由ω=12得f(x)= 3sin(12x+φ)，
由图知f(2π3)= 3sin(π3+φ)= 3，即sin(π3+φ)=1，
由|φ|<π2得φ=π6，所以B正确；
对于CD，由前述推导知f(x)= 3sin(12x+π6)，
所以f(5π3)= 3sin(5π6+π6)= 3sinπ=0，所以C错误，D正确．
综上，选BD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题主要考查事件的并、交运算、对立事件等，属于基础题．
利用P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，得到P(AB)=14，判断C；
分别利用P(A)=P(AB)+P(AB)=14+14=12，P(AB)=1−P(A+B)=14，判断ABD即可．
【解答】解：由P(AB)=P(BA)=14，P(A+B)=34，知P(AB)=14，所以C错误．
所以P(A)=P(AB)+P(AB)=14+14=12，所以A正确.同理可得B正确．
P(AB)=1−P(A+B)=14，所以D正确.综上，选ABD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查线线垂直，线线角，棱锥体积，属于中档题．
A.M为AA1的中点时，PM⊥BD1;
B.∠C2D1B或其补角等于直线MP与BD1所成角，求解判定；
C.当M位于顶点D时三棱锥P−BMD1体积的最大值；
D.段PM运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，求解即可．
【解答】
解：对于A，显然，M为AA1的中点时，PM//AC,AC⊥BD1,PM⊥BD1，A正确．
对于B，如图3，延长CC1到C2使C1C2=1，连C2D1和C2B，则∠C2D1B或其补角等于直线MP与BD1所成角，易得C2D1= 5，BD1=2 3，C2B= 13，所以cs∠C2D1B=5+12−132⋅ 5⋅2 3= 1515，所以B正确．
对于C，如图4，显然△BPD1面积为定值，要三棱锥P−BMD1的体积最大，只要高最大，即当M位于顶点D时，此时VP−BMD1=VB−PMD1=13⋅12⋅2⋅2⋅2=43，所以C错误．
对于D，如图5所示，易知M的轨迹是以DD1为直径，位于侧面ADD1A1内的一段半圆弧.线段PM运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，其面积为S=12πrl= 52π，所以D错误．
综上，选AB．
12.【答案】 2
【解析】【分析】本题主要考查复数的模等，属于基础题．
先利用i2024=1，得到z=21−i，然后得到|z|=|21−i|即可．
【解答】解：因为i2024=1，所以z=21−i，|z|=|21−i|=2|1−i|=2 2= 2．
13.【答案】−1150
【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
利用(sinθ+csθ)2=(65)2得到sinθcsθ=1150，然后利用sin2α=−sinθcsθ即可．
【解答】解：由已知(sinθ+csθ)2=(65)2⇒1+2sinθcsθ=3625，
所以sinθcsθ=1150，所以sin2α=−sinθcsθ=−1150．
14.【答案】474
【解析】【分析】
本题主要考查协方差Cv(x,y)，属于中档题．
利用协方差Cv(x,y)=1ni=1n(xi−x)(yi−y)计算即可．
【解答】
解：由已知求得x=90，y=69，
所以Cv(x,y)=110i=110(xi−x)(yi−y)
=110[(x1−x)(y1−y)+(x2−x)(y2−y)+⋯+(x10−x)(y10−y)]
=110[x1y1+x2y2+⋯+x10y10−(x1+x2+⋯+x10)y−(y1+y2+⋯+y10)x+10x⋅y]
=110(i=110xiyi−10x⋅y)=110i=110xiyi−x⋅y=6684−90×69=474．
15.【答案】解：(1)由a//b得(−2)⋅(−2)=2x，所以x=2．
(2)由x=−2得a=(−2,2)，b=(−2,−2)，
所以a+λb=(−2,2)+λ(−2,−2)=(−2−2λ,2−2λ)，a+μb=(−2−2μ,2−2μ)，
由(a+λb)⊥(a+μb)得(−2−2λ)(−2−2μ)+(2−2λ)(2−2μ)=0，
即(1+λ)(1+μ)+(1−λ)(1−μ)=0，所以λμ=−1．
【解析】本题主要考查向量平行(共线)关系的坐标表示、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系等，属于中档题．
(1)利用a//b得到(−2)⋅(−2)=2x即可；
(2)利用x=−2得到a+λb=(−2−2λ,2−2λ)，a+μb=(−2−2μ,2−2μ)，
然后由(a+λb)⊥(a+μb)得(−2−2λ)(−2−2μ)+(2−2λ)(2−2μ)=0即可．
16.【答案】解：(1)由已知，设a=4k，b=5k，c=6k，k>0，由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=16k2+36k2−25k22⋅4k⋅6k=916．
(2)由csB=916，0
所以sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA=5 716⋅34−916⋅ 74=3 732．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，属于基础题．
(1)设a=4k，b=5k，c=6k，k>0，利用csB=a2+c2−b22ac求解；
(2)利用正弦定理求sinA，再利用sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA求解．
17.【答案】解：(1)由已知，小吃类商家占35%，80×35%=28，玩具类商家占10%，80×10%=8，
所以，小吃类、玩具类商家应分别抽取28、8家．
(2)由已知(0.002×3+2a+0.006)×50=1，所以a=0.004，
设中位数为x，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6，
所以x∈[400,450)，且(x−400)×0.006=0.2，
解得x≈433，x=[0.002×(325+525+575)+0.004×(375+475)+0.006×425]×50=440．
所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元．
(3)记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，
“三人中有且只有1人下单购物”为事件D，
由已知P(A)=13，P(B)=14，P(C)=13，
则P(D)=P(ABC+ABC+ABC)=13×34×23+23×14×23+23×34×13=49．
【解析】本题主要考查频率分布直方图等，属于中档题．
(1)利用已知数据计算即可；
(2)先利用(0.002×3+2a+0.006)×50=1，得到a=0.004，
设中位数为x，利用(x−400)×0.006=0.2，解得x≈433，
然后利用x=[0.002×(325+525+575)+0.004×(375+475)+0.006×425]×50=440即可．
(3)利用相互独立事件的概率乘法公式即可．
18.【答案】解：(1)如图6，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是△PAD的中位线，
所以EN//AD且EN=12AD，又MC//AD且MC=12AD，
所以EN//MC且EN=MC，所以四边形ENCM是平行四边形，
所以CN//MF，又CN⊄平面PAM，EM⊂平面PAM，所以CN//平面PAM．
(2) ①由PH⊥平面AMCD，CD⊂平面PFH，得CD⊥PH，
又已知CD⊥AD，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线，
所以CD⊥平面PAD．
② ①中已证CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
所以CD⊥PD，所以△PDC是Rt△，同理可证PH⊥HC，△PHC是Rt△．
如图7，取PC的中点O，则点O到三棱锥P−HCD各顶点的距离都相等，
所以O是三棱锥P−HCD外接球的球心.如图8，过点P作PF⊥AM于F，
连接HF和BF，因为PH⊥平面AMCD，AM⊂平面AMCD，所以PH⊥AM，
又PF，PH是平面PHF内两条相交直线，所以AM⊥平面PFH，
又HF⊂平面PFH，所以AM⊥HF，由PF⊥AM和翻折关系知AM⊥BF，
所以B，F，H三点共线，且AM⊥BH，
设PM=BM=x(0
HF=BH−BF= 1+x2x−x 1+x2=1x 1+x2，由PF>HF得1
所以PD2=PH2+HD2=x2−1x2+(2−1x)2=5x2−4xx2=5x−4x，
PC2=PD2+CD2=5x−4x+12=6−4x，
因为f(x)=6−4x在1
所以点M位于点的C时，三棱锥P−HCD外接球的体积的最大值为V=4π3．
【解析】本题主要考查线面平行的判定、线面垂直的判定等，属于中档题．
(1)先证明CN//MF，即可；
(2) ①先证明CD⊥PH，CD⊥AD，即可；
②设PM=BM=x(0
所以(ABCD)=32；
(2)由题意，在△AOC，△AOD，△BOC，△BOD中，
CACB=S△AOCS△BOC=12⋅OA⋅OC⋅sin∠AOC12⋅OB⋅OC⋅sin∠BOC=OA⋅sin∠AOCOB⋅sin∠BOC，
DADB=S△AODS△BOD=12⋅OA⋅OD⋅sin∠AOD12⋅OB⋅OD⋅sin∠BOD=OA⋅sin∠AODOB⋅sin∠BOD，
则(ABCD)=CACBDADB=OA⋅sin∠AOCOB⋅sin∠BOC⋅OB⋅sin∠BODOA⋅sin∠AOD=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD ①，
又，在△EOG，△EOH，△FOG，△FOH中，
GEGF=S△EOGS△FOG=12⋅OE⋅OG⋅sin∠EOG12⋅OF⋅OG⋅sin∠FOG=OE⋅sin∠EOGOF⋅sin∠FOG，
HEHF=S△EOHS△FOH=12⋅OE⋅OH⋅sin∠EOH12⋅OF⋅OH⋅sin∠FOH=OE⋅sin∠EOHOF⋅sin∠FOH，
则(EFGH)=GEGFHEHF=OE⋅sin∠EOGOF⋅sin∠FOG⋅OF⋅sin∠FOHOE⋅sin∠EOH=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH②，
又∠EOG=∠AOC，∠FOH=∠BOD，∠FOG=∠BOC，∠EOH=∠AOD，
由 ① ②可得，sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH，
即(EFGH)=(ABCD)；
(3)由题意(EFGH)=32，由(1)可知，(ABCD)=32，
则CACBDADB=32，即CACB．DBDA=32，
又点B为线段AD的中点，即DBDA=12，
故CACB=3，
又AC=3，则AB=2，BC=1，
设OA=x，OC=y，且OB= 3，
由∠ABO=π−∠CBO可知，cs∠ABO+cs∠CBO=0，
即22+( 3)2−x22×2× 3+12+( 3)2−y22×1× 3=0，解得x2+2y2=15 ③，
又在△AOB中，利用正弦定理可知，ABsin∠AOB=xsin∠ABO ④，
在△BOC中，利用正弦定理可知，OBsin∠BCO=ysin∠CBO ⑤，
且sin∠ABO=sin∠CBO，
则 ④ ⑤可得，xy=ABsin∠AOB⋅sin∠BCOOB=32⋅2 3= 3，即x= 3y ⑥，
由 ③ ⑥解得，x=3，y= 3，即OA=3，OC= 3，
则csA=OA2+AB2−OB22OA⋅AB=32+22−( 3)22×3×2=56．
【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题．
(1)利用新定义直接求即可；
(2由题意，结合新定义可得(ABCD)=CACBDADB=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD ①，同理(EFGH)=GEGFHEHF=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH ②，再利用角相等，即可证明；
(3)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可．序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩xi
135
124
118
107
95
87
74
63
53
44
物理成绩yi
97
78
82
83
77
65
67
52
44
45
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