江苏省无锡市梁溪区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 解析

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1．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】利用BA=AB这条公共边，判断需要添加BD=AC．
【详解】因为∠1=∠2，BA=AB，且原理为SAS，
所以需要添加BD=AC．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
3．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】因为BC=1,AC=2,AB=3，且BC2+AB2=1+(3)2=4=AC2，
所以A能构成直角三角形，不符合题意；
因为BC=1,AC=2,AB=5，且BC2+AC2=1+22=5=(5)2=AB2，
所以B能构成直角三角形，不符合题意；
因为BC:AC:AB=3:4:5，设一份为k，则BC2+AC2=(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2=AB2，
所以C能构成直角三角形，不符合题意；
因为∠A:∠B:∠C=3:4:5，
所以∠C最大，
所以∠C=512×180∘=75∘，
所以D不能构成直角三角形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据作图的方法确定三角形全等的判定方法．
【详解】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G，
②再分别以A、G为圆心，大于12AG长为半径画弧，两弧交于点B，
③画射线OB，射线OB即为所求，
由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB，
则用到的三角形全等的判定方法是：SSS．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键．
5．C
【分析】已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．
【详解】分两种情况：
若该角为底角，则顶角为180°−2×50°=80°；
若该角为顶角，则顶角为50°.
∴顶角是50°或80°.故选C.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论.
6．C
【详解】根据三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故A不正确；
根据面积相等的两个三角形不一定全等，故B不正确；
根据全等三角形的对应边，对应高相等，可知全等三角形的面积相等，故C正确；
根据两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D不正确.
故选C.
点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时熟悉全等三角形的判定为：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，而AAA，SSA不能判定两三角形全等，然后灵活应用即可.
7．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质及网格的特征作AC和BC的垂直平分线，得出交点即可得答案．
【详解】∵到△ABC三个顶点距离相等，
∴该点是三角形三边垂直平分线的交点，即△ABC的外心，
如图，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质及网格特征是解题关键．
8．C
【分析】先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案．
【详解】解：由勾股定理可知斜边长为：52+122=13，
∴斜边上的中线长为6.5，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
9．B
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】如图，连接AE，
因为点C关于BD的对称点为点A，
所以PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，
∴AE=22+32=13，
∴PE+PC的最小值是13．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
10．A
【分析】延长CD交AE于点，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，是直角三角形，求出AE的长，在RtΔABE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长CD交AE于点，作CF⊥AB，垂足为F．
在中，AC=4，BC=3，
∴AB=5．
为AB的中点，
∴AD=BD=DC．
，
12×3×4=12×5×CF，
解得CF=125．
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
，AH=HE．
∵DC=DB，，
．
．
，
∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，
又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，
∴∠AEB=90°
为直角三角形．
．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
11．4.
【详解】正方形的两条对角线以及对边中点的连线所在的直线都是正方形的对称轴.
故答案为4.
12．22或26．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系进行分析计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为10和6，
∴当6是腰时，6+6＞10，满足构成三角形的条件，
∴等腰三角形的周长为：6+6+10=22；
当10是腰时，10+10＞6，满足构成三角形的条件，
∴三角形的周长是10+10+6=26．
∴三角形的周长是22或26．
故答案是：22或26．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，准确分析计算是解题的关键．
13． 2.5 1.5
【分析】根据勾股定理AP=PE2+AE2=1.52+22=52，根据角的平分线的性质定理，得到点P到AB的距离是PE=1.5．
【详解】因为P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AC，PE=1.5,AE=2，
所以AP=PE2+AE2=1.52+22=52．点P到AB的距离是PE=1.5．
故答案为：2.5,1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，角的平分线的性质，熟练掌握勾股定理和角的平分线性质是解题的关键．
14．∠ABC=∠ABD
【分析】根据AB=AB，然后根据“AAS”的判定方法添加条件即可．
【详解】解：可添加∠ABC=∠ABD．
理由如下：在△ABC和△ABD中，
&∠C=∠D&∠ABC=∠ABD&AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
故答案为：∠ABC=∠ABD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．
15．9π2
【分析】先利用勾股定理得到AC2+BC2=36，再根据圆面积公式求出两个半圆的面积之和为π8AC2+BC2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，
∴由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，
∵分别以边AC、BC为直径向形外作两个半圆，
∴两个半圆的面积之和为12πAC22+12πBC22=π8AC2+BC2=9π2，
故答案为：9π2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理并得到AC2+BC2=36是解题的关键．
16． 2厘米 103厘米
【分析】矩形的性质和折叠的性质，得到AD=AF=BC=10，∠B=∠C=90∘，则，得到．
根据折叠，设DE=EF=x，则EC=DC-DE=6-x，则，求解即可．
【详解】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AD=AF=BC=10，∠B=∠C=90∘，所以，
所以（厘米）．
根据折叠，设DE=EF=x，
所以EC=DC-DE=6-x，
因为，
所以x2=22+(6-x)2，
解得x=103．
故EF=103（厘米），
故答案为：2厘米，103厘米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
17．2或125
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，
∵E为AB的中点，AB=12cm，
∴BE=AE=6cm，
∵∠B=∠C，
∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，
当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，
解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，
当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，
解得：t=52，v=125，即点Q的运动速度是125cm/s，
故答案为2或125
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
18．8
【分析】取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作EF ，交OA、OB于E、F，先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出OM=CM=12CD=3，进而由勾股定理求出ME=5，根据三角形的三边关系即可求出即点E到点O的最大距离为8．
【详解】解：如图，取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作EF ，交OA、OB于E、F．
∵CD=6，M为CD的中点，射线OA⊥射线OB于点O，
∴OM=CM=12CD=3，
∵CE=4，且CE⊥CD于点C，
∴ME=CE2+CM2=42+32=5 ，
∵点M在EF上运动，
∴OE≤ME+OM，当M在OE与EF的交点M'处时，等号成立，
∴OE≤8，
即点E到点O的最大距离为8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理及三角形三边的关系，取直角三角形斜边上中点连斜边上的中线是解题的关键．
19．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）根据AAS，即可证明△ABO≌△DCO；
（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）在△ABO与△DCO中，
∵AB=DC∠ABO=∠DCO∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．
20．(1)15°
(2)12
【分析】(1)根据等边对等角，计算等腰三角形的底角，利用角的差计算即可．
(2)根据垂直平分线的性质，结合周长计算即可．
【详解】（1）因为AB=AC，∠A=50∘，
所以∠ABC=∠C=65∘；
因为AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，
所以DA=DB，
所以∠A=∠DBA=50∘，
所以∠CBD=∠ABC-∠DBA=65∘-50∘=15∘．
（2）因为AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，
所以DA=DB，
所以△CBD的周长为：CB+BD+CD=CB+AD+CD=BC+AC=BC+AB
7+5=12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两条性质是解题的关键．
21．(1)192
(2)图见解析，4，-2
【分析】（1）把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E，即可求解；
【详解】（1），
故答案为：192；
（2）∵，△ABC与△DEC关于y轴的对称
∴点D(3,3),E(4,-2)，
如图所示，画出△DEC如下图：
【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特征，掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．24
【分析】连接BD，然后根据勾股定理可得BD=5，则有△DBC是直角三角形，进而问题可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵∠DAB=90°，，AD=4，
∴BD=AD2+AB2=5，
∵BC=12，CD=13，
∴BD2+BC2=52+122=169=CD2，
∴△DBC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积为12BC⋅BD-12AB⋅AD=24；
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
23．(1)①作图见解析；②作图见解析；③作图见解析
(2)EF=BF
【分析】（1）①如图1，运用直尺与圆规按要求画角平分线即可得直线AD；②如图1，根据得到AD∥BE，过B作BE∥AD，交CA延长线于E即可；③如图1，根据，可知AE=AB，由AF⊥BE可知为线段的垂直平分线，作图即可；
（2）如图1，由（1）可知， ∠BEA=∠EBA，进而可判定△ABE是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证BF=EF．
【详解】（1）①解：如图1，射线AD就是∠BAC的角平分线；
②解：作∠EBC=∠ADC，点E就是所求作的点，如图1所示；
③解：作线段的垂直平分线，如图1所示；
（2）解：BF=EF．
由（1）可知∠BAD=∠CAD
∵∠CBE＝∠ADC
∴AD∥BE
∴∠CAD=∠BEA，∠EBA=∠BAD
∴∠BEA=∠EBA
∴
∴△ABE是等腰三角形
∵AF⊥BE
∴BF=EF．
【点睛】本题考查了作角平分线、作一个角等于已知角、作线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
24．（1）PE=PF；（2）PE=PF；理由见解析；（3）PE=PF；理由见解析
【详解】试题分析：（1）由条件可知PE=PF；
（2）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（3）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
试题解析：（1）PE=PF；
（2）PE=PF，理由如下：
过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，
∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，
∵∠AOB=∠PGE=∠PHF=90°，∴∠GPH=90°，
∵∠EPF=90°，∴∠GPE=∠FPH，
∴△PEG≌△PFH（ASA），
∴PE=PF；
（3）PE=PF，理由如下：
过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，
∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，
∵∠AOB=50°，∴∠GPH=130°，
∵∠EPF=130°，∴∠GPE=∠FPH，
∴△PEG≌△PFH（ASA），
∴PE=PF；
【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，证明三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
25．（1）45；（2）见解析；（3）画图见解析； ∠ADC =90︒或45︒或135︒
【分析】（1）由题意得：AB=AD,CB=CD,再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解∠ABD,∠CBD,从而可得答案；
（2）如图，连接BD, 先证明△ABD是等边三角形，可得∠BDC=150°-60°=90°, 则有BC2=BD2+CD2, 再证明BD=CD, 从而根据新定义可得四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）分三种情况讨论：如图，当AB=BC=CD,AD=AB,∠ABC=90°,可得∠ADC=90°； 如图，当AB=BC=CD,AB=BD,∠ABC=90°时，证明△BDC为等边三角形，从而可得答案；如图，当AB=BC=CD,DA=DB,∠ABC=90°时，过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F， 证明DF=12CD．延长DF至H, 使DF=HF, 连接HC, 则CD=CH,CD=DH,可得△DHC为等边三角形，再结合图形的性质可得答案.
【详解】解：（1）由题意得：AB=AD,CB=CD,
∵∠BAD=120°，∠BCD=150°，
∴∠ABD=∠ADB=12180°-120°=30°,
∠CBD=∠CDB=12180°-150°=15°,
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°,
故答案为：45
（2）如图，连接BD,
∵∠A=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD,∠A=∠ABD=∠ADB=60°,
∵∠ADC=150°,
∴∠BDC=150°-60°=90°,
∴BC2=BD2+CD2,
∵BC=2AB,AB=BD,
∴BC=2BD,
∴2BD2=BD2+CD2,
∴BD2=CD2, 即BD=CD,
所以四边形ABCD是“等腰四边形”.
（3）如图，当AB=BC=CD,AD=AB,∠ABC=90°,
∴∠ABD=∠DBC=∠BDC=∠ADB=45°,
∴∠ADC=90°,
如图，AB=BC=CD,AB=BD时，
∴BD=BC=CD,
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD=30°,
∴∠BAD=∠BDA=12180°-30°=75°,
∴∠ADC=60°+75°=135°,
如图，AB=BC=CD,DA=DB,
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴BE= 12AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC=90°，
∴∠DFB=90°,DE∥BF,DF∥AB,
由平行线间距离处处相等可得：
∴DF=BE= 12AB．
∵AB=CD，
∴DF=12CD．
延长DF至H, 使DF=HF, 连接HC,
则CD=CH,CD=DH.
∴△DHC为等边三角形，
∴∠CDH=60°,
∴∠DCF=30°,
∵CB=CD,DB=DA,∠DCF=∠CBD+∠CDB,DE⊥AB,DE∥BF,
∴∠CBD=∠CDB=15°,∠EDB=∠ADE=15°,
∴∠ADC=15°×3=45°.
综上：∠ADC =90︒或45︒或135︒
【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键.
26．(1)见解析
(2)①5或6；②9或10或496
【分析】（1）设，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由ΔABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出DE=5,，根据题意得出当点M在上，即4【详解】（1）证明：设，
则AB=5x，
在RtΔACD中，AC=AD2+CD2=5x，
∴AB=AC，
∴ΔABC是等腰三角形；
（2）解：设，
则AB=5x，
，而x>0.，
∴x=2cm，
则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=AB=10cm，
由题意可知当点M到达点A时点N刚好到达点C，此时．
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10-t=t，
∴；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若ΔDMN的边与BC平行，t值为5或6．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE=12AC=5cm，
当点M在BD上，即0≤t<4时，ΔMDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4如果，则t-4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴；
如果cm，
过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：
此时EF=12CD=4cm，
∵ED=EA，
∴cm，
∵BM=tcm,BF=4+3=7cm，
∴cm，
∵EF=4cm，
则在RtΔEFM中，(t-4)2-(t-7)2=42，
∴t=496．
综上所述，符合要求的t值为9或10或496．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．