高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题25任意角与三角函数的定义(原卷版+解析)

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知识点一：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点诠释：
（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．
（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．
知识点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
知识点三、特殊角的三角函数值
【题型归纳目录】
题型一：任意角弧度与角度
题型二：扇形弧长与面积
题型三：三角函数定义
【典型例题】
题型一：任意角弧度与角度
例1．给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
例3．如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么与之间的关系是
A．B．
C．，D．，
变式1．已知为第二象限的角，则所在的象限是
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
变式2．已知是第二象限角，则与都不是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
变式3．下列终边相同的角是
A．与，B．与，
C．与，D．与，
变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并在范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
变式5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
（1）；
（2）；
（3）．
变式6．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？
变式7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．
变式8．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．
题型二：扇形弧长与面积
例4．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A．B．
C．D．
例5．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形所在圆的半径为 ，此扇形的面积为 ．
例6．已知扇形的周长为，当它的半径为 和圆心角为 弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是 ．
变式9．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ．
变式10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是 ，弧田的面积是 ．
变式11．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该扇形面积为 9 该弧所对弦长为 ．
变式12．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为 ，扇形面积为 ．
变式13．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
（1）当圆心角为，矢为2时，求弧田（如图阴影部分所示）的面积；
（2）已知该扇形圆心角是，半径为，扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？
变式14．已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是．
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？
题型三：三角函数定义
例7．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为
A．B．C．D．
例8．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为
A．B．C．D．
例9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则
A．8B．C．D．
变式15．已知点在第二象限，则角的终边在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式16．若三角方程与的解集分别为，，则
A．B．C．D．
变式17．已知角的终边经过点，且，则
A．B．C．D．
变式18．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则可以是
A．B．C．D．
变式19．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则的值为 ．
变式20．已知点在第三象限，则角的终边在第 二 象限．
变式21．若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，且，求，，的值．
变式22．对于①，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是 ①③⑤ ；
（2）角为第二象限角的充要条件是 ；
（3）角为第三象限角的充要条件是 ；
（4）角为第四象限角的充要条件是 ．
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
微专题25 任意角与三角函数的定义
【方法技巧与总结】
知识点一：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点诠释：
（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．
（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．
知识点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
知识点三、特殊角的三角函数值
【题型归纳目录】
题型一：任意角弧度与角度
题型二：扇形弧长与面积
题型三：三角函数定义
【典型例题】
题型一：任意角弧度与角度
例1．给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：①是第三象限角，①不正确，
②是第三象限角，②正确，
③是第四象限角，③正确，
④是第一象限角．正确，
故选：．
例2．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
【解析】解：钟表的时针按顺时针旋转，
转过的弧度数为，
故选：．
例3．如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么与之间的关系是
A．B．
C．，D．，
【解析】解：
，整数
故选：．
变式1．已知为第二象限的角，则所在的象限是
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
【解析】解：因为为第二象限的角，所以为第一或第三象限的角，
所以为第二或第四象限的角，所以为第二或第四象限的角．
故选：．
变式2．已知是第二象限角，则与都不是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解析】解：是第二象限角，
，，
，，
是第一象限或第三象限角，
，
是第一象限或第四象限角，
与都不是第二象限角．
故选：．
变式3．下列终边相同的角是
A．与，B．与，
C．与，D．与，
【解析】解：与都表示奇数，
与，表示终边相同的角．
故选：．
变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并在范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【解析】解：在平面直角坐标系中：
由图形可知：（4）是第三象限角，在范围内，是与其终边相同的角；
（2）是第四象限角，在范围内，是与其终边相同的角；
（3）是第一象限角，在范围内，是与其终边相同的角；
（4）是第三象限角，在范围内，是与其终边相同的角；
（5）是第二象限角，在范围内，是与其终边相同的角．
变式5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】解：（1）因为，
所以在范围内，终边与相同的角是，它是第一象限角；
（2）因为，
所以在范围内，终边与相同的角是，它是第四象限角；
（3）因为，
所以在范围内，终边与相同的角是，它是第三象限角．
变式6．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？
【解析】解：时针每小时转过了，即，则每分钟转过了，而分针每分钟转过了，即，
故2小时15分钟后，时针转过了；
分针转过了，
2小时15分钟后为10点20分．
此时如右图所示，分针指向4，时针则由10转过了．
变式7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．
【解析】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为，
（2）图（2）阴影部分内的角的集合为，
变式8．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．
【解析】解：图1所表示的角的集合：，．
图2终边落在阴影部分的角的集合．，或．
题型二：扇形弧长与面积
例4．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A．B．
C．D．
【解析】解：内接正边形的边长为，故其周长为，
外切正边形的边长为，故其周长为，
两个周长的算术平均数为，
故．
故选：．
例5．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形所在圆的半径为 12 ，此扇形的面积为 ．
【解析】解：设圆的半径为，扇形面积为，
由弧长，扇形的圆心角为，得，则；
．
故答案为：12；．
例6．已知扇形的周长为，当它的半径为 和圆心角为 弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是 ．
【解析】解：扇形的周长为，
，
即，
当半径时，扇形的面积最大为，
此时，，
故答案为：，2，
变式9．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ．
【解析】解：如图所示：，
设的中点为，两半圆交于点，连接，则，设扇形的半径为，
，，，
，
两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，
图中阴影部分的面积为，
此点取自阴影部分的概率是．
故答案为：．
变式10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是 ，弧田的面积是 ．
【解析】解：如图，弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，
，可得，，
，
弧田的面积．
故答案为：，．
变式11．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该扇形面积为 9 该弧所对弦长为 ．
【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，
扇形所对的圆心角，
扇形面积．
由余弦定理可得该弧所对弦长为：．
故答案为：9，．
变式12．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为 ，扇形面积为 ．
【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，
扇形所对的圆心角，
由余弦定理可得该弧所对弦长为：．
扇形面积．
故答案为：，9．
变式13．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
（1）当圆心角为，矢为2时，求弧田（如图阴影部分所示）的面积；
（2）已知该扇形圆心角是，半径为，扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【解析】解：（1）由题意，如下图所示，
，
令圆弧的半径为，为，
，即，解得，
弧田面积，
，
．
（2）由题意知弧长为，即该扇形周长，扇形面积，
，当且仅当，即时，等号成立，
故为2弧度时，该扇形面积最大．
变式14．已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是．
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】解：（1）设弧长为，弓形面积为，
，，
．
．
（2）扇形周长，
，
．
当且仅当，即时，扇形面积最大．
题型三：三角函数定义
例7．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为
A．B．C．D．
【解析】解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，
所以，，所以．
故选：．
例8．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为
A．B．C．D．
【解析】解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，
所以，，所以．
故选：．
例9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则
A．8B．C．D．
【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，，，
，，
故选：．
变式15．已知点在第二象限，则角的终边在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：已知点在第二象限，，，
则角的终边在第三象限，
故选：．
变式16．若三角方程与的解集分别为，，则
A．B．C．D．
【解析】解：由题意，，由，得出，．故，，，可以得出，反之不成立，故是的真子集，符合．
故选：．
变式17．已知角的终边经过点，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：因为角的终边经过点，所以
因为，所以：；
所以．（正值舍）
故；
故选：．
变式18．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则可以是
A．B．C．D．
【解析】解：即，所以在第四象限，如图：
角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，
则可以是：．
故选：．
变式19．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则的值为 ．
【解析】解：根据角的终边落在射线上，在角的终边上任意取一点，，
则，，，
故，
故答案为：．
变式20．已知点在第三象限，则角的终边在第 二 象限．
【解析】解：因为点在第三象限，所以，，，则角的终边在第二象限，
故答案为：二．
变式21．若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，且，求，，的值．
【解析】解：在直线上除了原点外任意取一点，则，
．
．
．
变式22．对于①，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是 ①③⑤ ；
（2）角为第二象限角的充要条件是 ；
（3）角为第三象限角的充要条件是 ；
（4）角为第四象限角的充要条件是 ．
【解析】解：①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）当角为第一象限角时，反之也对的是①③⑤；
（2）当角为第二象限角时，反之也对的是①④⑥；
（3）当角为第三象限角时，反之也对的是②④⑤；
（4）当角为第四象限角时，反之也对的是②③⑥．
故答案为：（1）①③⑤；（2）①④⑥；（3）②④⑤；（4）②③⑥．
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
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