高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题28利用二倍角公式升、降幂的绝招(原卷版+解析)

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1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、升幂公式：，
3、降幂公式：，
【题型归纳目录】
题型一：利用二倍角公式求值
题型二：利用二倍角化简、求值
题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值
题型四：二倍角的综合运用
【典型例题】
题型一：利用二倍角公式求值
例1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
例3．求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
变式1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
变式2．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
题型二：利用二倍角化简、求值
例4．已知，则的值是
A．B．C．D．
例5．已知，则
A．B．C．D．
例6．已知，则的值为
A．B．C．D．
变式3．已知，则的值为
A．B．C．D．
变式4．若，，则
A．B．C．D．
变式5．已知，则的值为 ．
变式6．已知，则 ．
变式7．已知为锐角，，则 ．
变式8．（1）已知角的终边经过点，求
（2）已知为第二象限的角，，求
题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值
例7．等于
A．B．C．D．
例8．若，则化简的结果为
A．B．C．D．
例9．已知，则可化简为
A．B．C．D．
变式9．的值为
A．B．C．D．
变式10．若，则 ．
变式11．
A．B．C．D．
变式12．若，化简得
A．B．C．D．
变式13．的值为
A．B．C．D．2
变式14．的值为
A．B．C．D．
变式15．求值： 1 ．
题型四：二倍角的综合运用
例10．设，，则的值是
A．B．C．D．或
例11．若，，则
A．B．C．D．
例12．函数在区间上的最大值是
A．1B．C．D．
变式16．已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为
A．和1B．和C．和1D．和
变式17．当时，函数取得最大值，则 ．
变式18．已知函数的两条对称轴之间的最小距离为．
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值．
变式19．已知，是一元二次方程的两根，且，求的值．
【过关测试】
1．已知，则的值为
A．B．C．D．
2．已知，则的值为
A．B．C．D．
3．已知，则
A．B．C．D．
4．若，，则
A．B．C．D．
5．已知角满足，则 ， ．
6．函数的值域为 ．
7．（1）已知角的终边经过点，求
（2）已知为第二象限的角，，求
8．（1）已知．求的值；
（2）已知，求的值．
9．（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值．
10．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
11．已知
（1）求的值；
（2）求的值．
12．已知
（1）求的值；
（2）求的值．
13．不用计算器，求值：．
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招
【方法技巧与总结】
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、升幂公式：，
3、降幂公式：，
【题型归纳目录】
题型一：利用二倍角公式求值
题型二：利用二倍角化简、求值
题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值
题型四：二倍角的综合运用
【典型例题】
题型一：利用二倍角公式求值
例1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
例3．求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
变式1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【解析】解：（1）；
（2）；；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
变式2．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
题型二：利用二倍角化简、求值
例4．已知，则的值是
A．B．C．D．
【解析】解：已知，
则
，
故选：．
例5．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：，整理得，即，
故．
故选：．
例6．已知，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：，则
，
故选：．
变式3．已知，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
变式4．若，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，，，
故选：．
变式5．已知，则的值为 ．
【解析】解：，则
，
故答案为：．
变式6．已知，则 ．
【解析】解：，
，，，
．
故答案为：．
变式7．已知为锐角，，则 ．
【解析】解：为锐角，，，．
由二倍角公式可得，
．
，
故答案为：．
变式8．（1）已知角的终边经过点，求
（2）已知为第二象限的角，，求
【解析】解：（1）的终边经过点，
则，，，
（2）为第二象限的角，，
，
，
题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值
例7．等于
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，
又，
．
故选：．
例8．若，则化简的结果为
A．B．C．D．
【解析】解：若，则，
，
故选：．
例9．已知，则可化简为
A．B．C．D．
【解析】解：因为，，且．
所以，
故选：．
变式9．的值为
A．B．C．D．
【解析】解：原式
故选：．
变式10．若，则 ．
【解析】解：，，
则
．
故答案为：．
变式11．
A．B．C．D．
【解析】解：
．
故选：．
变式12．若，化简得
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
．
故选：．
变式13．的值为
A．B．C．D．2
【解析】解：原式．
故选：．
变式14．的值为
A．B．C．D．
【解析】解：
．
故选：．
变式15．求值： 1 ．
【解析】解：．
故答案为：1．
题型四：二倍角的综合运用
例10．设，，则的值是
A．B．C．D．或
【解析】解：，，，
，，，
，
．
故选：．
例11．若，，则
A．B．C．D．
【解析】解：因为①，
所以，即，
所以，
因为且，
所以，，
故②，
①②可得，，
所以．
故选：．
例12．函数在区间上的最大值是
A．1B．C．D．
【解析】解：由，
，．
故选：．
变式16．已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为
A．和1B．和C．和1D．和
【解析】解：函数，
故它的最小正周期为；它的最大值为，
故选：．
变式17．当时，函数取得最大值，则 ．
【解析】解：，
且，，
又当时函数取得最大值，
则，
可得，
则，
故正确答案为：．
变式18．已知函数的两条对称轴之间的最小距离为．
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值．
【解析】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得
，
函数图象两条对称轴之间的最小距离为，
周期，解得，
，
的最大值为；
（2）因为，
，，；
．
．
变式19．已知，是一元二次方程的两根，且，求的值．
【解析】解：由已知得，，
，
，
，
即，
则或，
，，，
与异号，
则，，且，
，，
则，，
则．
【过关测试】
1．已知，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：，
．
故选：．
2．已知，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
故选：．
3．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：由，
得，
．
故选：．
4．若，，则
A．B．C．D．
【解析】解：因为，所以，所以，所以，．
又，所以．
再由，得，所以．
故选：．
5．已知角满足，则 ， ．
【解析】解：角满足，则，则．
所以，整理得．
故答案为：
6．函数的值域为 ， ．
【解析】解：，
设，所以函数该函数在上单调递减，
当时函数取得最大值为10，当时，函数取得最小值为2．
故函数的值域为，．
故答案为：，．
7．（1）已知角的终边经过点，求
（2）已知为第二象限的角，，求
【解析】解：（1）的终边经过点，
则，，，
（2）为第二象限的角，，
，
，
8．（1）已知．求的值；
（2）已知，求的值．
【解析】解：已知．所以，整理得，
所以，故：．
（2）已知，所以，
的．
9．（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值．
【解析】解：（1）由，，
得，
所以；
（2）由，
所以，
解得；
（3）由，
得，
解得，则；
（4）由，得：
．
10．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】解：由，得，
解得：或．
，，
（1）；
（2）
．
11．已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1），，
，，．
（2）．
12．已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）由，可得，．
（2）原式．
13．不用计算器，求值：．
【解析】解：．
原式
．
故答案为：1．