高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题14导数与函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题14导数与函数的单调性(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了已知且，函数，设，，，若，则，讨论函数f的单调性等内容，欢迎下载使用。
专题14 导数与函数单调性
练高考 明方向
1．(2023年高考全国甲卷理科)已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2.(2023·北京卷T20） 已知函数．
（1）求曲线在点处切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性；
（3）略
3．(2023年高考全国乙卷理科)设，，．则( )
A．B．C．D．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.讨论的单调性；
5、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
6、【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
7、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
8．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
(A) (B) (C) (D)
9．(2023高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A． B．
C． D．
导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
求函数的单调区间
单调性与参数范围
函数单调性的判断
含参函数中的分类讨论
讲典例 备高考
类型一、利用导数判断函数单调性
基础知识：
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)0(或f′(x)0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)0或f′(x)x2，x1＝x2，x10两类讨论，可归纳为“有无实根判别式，两种情形需知晓”．
5、一般地，需要讨论导函数f′(x)的零点是否含在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要进行分类讨论．
类型三、已知函数单调性求参数范围
基础知识：
若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．即“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．
基本题型：
1、已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则( )
A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3
C．a＝3 D．a∈(－∞，3]
2．若函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－(b－1)x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))存在单调递减区间，则实数b的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))
3．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(2，e)上单调递增，则a的取值范围是_______.
5．设函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______.
基本方法：
求参数范围的常见类型和解题技巧
1、已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，要注意“＝”是否取到；
2、已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间：实际上就是f′(x)>0(或f′(x)0时，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范围是________．
基本方法：
1、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
2、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
3、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′”，构造可导函数y＝eq \f(fx,gx)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
新预测 破高考
1．函数f(x)＝x＋2eq \r(1－x)的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值
3．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3＋x D．y＝ln x－x
4．设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若3f(x)＋f′(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0,1)
5．已知当时，，则以下判断正确的是（ ）．
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
6、已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜eq \f(1,2)，f(1)＝1，则不等式f(x)＜eq \f(x,2)＋eq \f(1,2)的解集为( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}
C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|－1＜x＜1}
7、设函数，则不等式的解集为_____________.
8、，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
9、已知函数，其中.则函数的单调增区间为________。
10．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋ax＋4的单调减区间是[－1,4]，则a＝________.
11．若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．
12、设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)＋ln x，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
13．已知f(x)＝x－eq \f(ax,ex)(e为自然对数的底数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝2ln x＋x2－5x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,2)，k))上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
15、已知函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(ax,x＋a)(a>1)，讨论f(x)的单调性．
16、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(1,3)))内是减函数，求a的取值范围．
17、已知函数．当时，讨论的单调性；
18、已知函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)－(a＋2)ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
19．已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R，a0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)0时，f′(x)＝2x－eq \f(6,x3)＝eq \f(2x2＋\r(3)x2－\r(3),x3)，当x∈(0，eq \r(4,3))时，f′(x)0时，f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．
2．(多选) 如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是( )
A．在区间(2,4)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增
C．x＝－3是极小值点 D．x＝4是极大值点
答案：BD
【解析】A项，函数y＝f(x)在区间(2,4)内f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2,4)上单调递增，故A不正确；
B项，函数y＝f(x)在区间(2,3)内的导数f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2,3)上单调递增，故B正确；
C项，由图象知当x＝－3时，函数f′(x)取得极小值，但是函数y＝f(x)没有取得极小值，故C错误；
D项，当x＝4时，f′(x)＝0，当2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)为增函数，当x>4时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)为减函数，则x＝4是函数f(x)的极大值点，故D正确．
基本方法：
充分、必要条件与导数及函数单调性
(1)f′(x)>0(或f′(x)0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)0，g′(x)>0，∴g(x)在x∈[e，＋∞)上是增函数，g(x)≥g(e)＝e－2>0，即f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为[e，＋∞)．
2．（求单调区间）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)
【解析】由题可得，f′(x)＝2x－5＋eq \f(2,x)＝eq \f(2x2－5x＋2,x)(x>0)．令f′(x)＝eq \f(2x2－5x＋2,x)＝eq \f(2x－1x－2,x)>0(x>0)，
解得x>2或00，
由f′(x)>0得00，所以g′(x)>0，所以函数g(x)＝e3xf(x)在R上单调递增，而f(x)>e－3x可化为e3xf(x)>1，又g(0)＝e3×0f(0)＝1，即g(x)>g(0)，解得x>0，所以不等式f(x)>e－3x的解集是(0，＋∞)．
5．已知当时，，则以下判断正确的是（ ）．
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
答案：B
分析：由函数的增减性及导数的应用得，设，，而此函数为偶函数，求导后可判断函数在为增函数，然后利用偶函数的性质结合增减性可得答案.
【详解】设，则它为偶函数，，当时，，函数在递增，由偶函数对称性知在区间递减．变形得即，∴．故选：B
6、已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜eq \f(1,2)，f(1)＝1，则不等式f(x)＜eq \f(x,2)＋eq \f(1,2)的解集为( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}
C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|－1＜x＜1}
答案：B
【解析】∵f(x)＜eq \f(x,2)＋eq \f(1,2)，∴f(x)－eq \f(x,2)－eq \f(1,2)＜0，令g(x)＝f(x)－eq \f(x,2)－eq \f(1,2)，则g(1)＝0，
不等式f(x)－eq \f(x,2)－eq \f(1,2)＜0变为g(x)＜g(1)，∵g′(x)＝f′(x)－eq \f(1,2)＜0，∴g(x)为减函数，∴x＞1.
7、设函数，则不等式的解集为_____________.
答案：
【解析】因为,所以,
所以函数为奇函数,因为(当且仅当时,等号成立)所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,所以根据函数为奇函数可化为,所以根据函数为增函数可化为,可化为,可化为,解得:,所以不等式的解集为:.
8、，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
答案：
【解析】：，有已知条件可得：，使得，即，只需，而，所以
9、已知函数，其中.则函数的单调增区间为________。
答案：,
【解析】函数的定义域为,
,令,得或,
因为,当或时,,单调递增；当时,,单调递减,所以的增区间为,。
10．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋ax＋4的单调减区间是[－1,4]，则a＝________.
答案：－4
【解析】易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1,4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0两个根，故a＝－1×4＝－4.
11．若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，1]
【解析】若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上为单调减函数，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立，即ax2≤1在(－1,1)上恒成立．若a≤0，满足条件；若a＞0，则只要当x＝1或x＝－1时，满足条件即可，此时a≤1，即0＜a≤1，综上，a≤1.
12、设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)＋ln x，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[0，＋∞)
【解析】由f(1)＝0得，a－b＝0，即a＝b，所以f(x)＝ax－eq \f(a,x)＋ln x，x∈(0，＋∞)．于是f′(x)＝eq \f(ax2＋x＋a,x2).
①当a＝0时，f′(x)＝eq \f(1,x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意．
②当a>0时，f′(x)>0，f(x)在（0，＋∞)上单调递增，满足题意．③当a0，所以ax2＋x＋a＝0的根的判别式Δ＝1－4a2≤0，解得a≤－eq \f(1,2).综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[0，＋∞)．
13．已知f(x)＝x－eq \f(ax,ex)(e为自然对数的底数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案：[－e2,1]．
【解析】f(x)＝x－eq \f(ax,ex)，则f′(x)＝eq \f(ex＋ax－a,ex)≥0在(0，＋∞)上恒成立，记φ(x)＝ex＋ax－a，
则φ(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，φ′(x)＝ex＋a.
当a≥－1时，φ′(x)＝ex＋a>1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)>φ(0)＝1－a≥0，∴－1≤a≤1；
当a