高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题13导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题13导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版+解析)，共39页。
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．
2.(2023·新高考Ⅱ卷T14） 写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．
3.(2023·全国甲（文）T20） 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求a；（2）求a的取值范围．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T22） 已知函数和有相同最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
5．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A． B． C． D．
8．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
9．(2023年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为 ．
11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
13．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
14．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
导数的概念及其意义、导数的运算
导数的概念
导数的几何意义
导数公式
导数的运算法则
复合函数的导数
讲典例 备高考
类型一、导数的概念及导数的几何意义
基础知识：
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设为可导函数，且满足，则为（ ）
A．1B．
C．2D．
2．已知函数，且，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．（多选题）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（ ）
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
类型二、导数的几何意义
基础知识：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
基本题型：
1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为( )
A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
2．（在某点处切线的方程）(2023全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
3、（求参数的值）已知函数f(x)＝msin x＋b在x＝eq \f(π,6)处的切线方程为y＝eq \f(\r(3),2)x－eq \f(\r(3),12)π＋1，则实数b的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(3)
4．（求参数的范围）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（切线的倾斜角）设点P是曲线y＝x3－x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A． B．C．D．
6．（切线的斜率）偶函数的图象在处的切线斜率为
A．2eB．eC．D．
7、（求切点坐标）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
8．（求参数的值）已知直线l：y＝x＋b为曲线f(x)＝ex的切线，若直线l与曲线g(x)＝－eq \f(1,2)x2＋mx－eq \f(7,2)也相切，则实数m的值为________．
基本方法：
1、函数y＝f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，一定要抓住关键eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝fx0，,k＝f′x0.))
2、过点的切线方程的求解方法：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．
(x0有几个值，就有几条切线)
3、求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
4、求参数问题的方法：通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．
类型三、导数的运算
基础知识：
1．基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．
基本题型：
1．（多选）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x) B．若y＝lneq \r(1＋2x)，则y′＝eq \f(1,1＋2x)
C．若y＝eq \f(1,tan x)，则y′＝eq \f(1,cs2x) D．若y＝x2 022＋lg2x，则y′＝2 022x2 021＋eq \f(1,xln 2)
3．（多选）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在处的切线方程为 D．
基本方法：
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：先化为和、差形式，再求导
类型三、复合函数的导数
基础知识：
1、一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成eq \a\vs4\al(x)的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
2、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
基本题型：
1．设，，，…，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2B．C．3D．
3．求下列函数的导数．
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）．
基本方法：
复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。
类型四、解析式中含有导数值的函数
基础知识：
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
注意：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
基本题型：
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝eq \f(1,x)＋3xf′(1)，则f′(2)的值为( )
A.eq \f(5,4) B．1
C.eq \f(1,4) D．－2
2．已知函数，，则满足的的值为______．
3．已知函数的导函数，若，则________.
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1．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．1D．
2、(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(－1，－3) D．(1，－3)
3．函数，且，则（ ）
A．1B．
C．2D．
4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（ ）
A． B．C．D．
7．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．
8．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（ ）
A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙D．大小关系不确定
9．设曲线y＝x＋ln x的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.eq \f(e,21＋e) B.eq \f(e,1＋e)
C.eq \f(e2,2e2＋1) D.eq \f(e2,e2＋1)
10．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．C．D．
11．（多选）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多选）已知函数在处的导数为，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
15．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.
16．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．
17．过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋eq \f(1,ex)相切的直线方程为________．
18．已知函数，若，则实数的值为___________.
19．若直线y＝kx＋b是曲线y＝e x－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则b＝________.
20．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
21．（若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：．
定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝eq \a\vs4\al(0)
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
2023高考一轮复习讲与练
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．
答案：
分析：设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,
2.(2023·新高考Ⅱ卷T14） 写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．
答案： ①. ②.
【解析】
分析：分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
3.(2023·全国甲（文）T20） 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求a；（2）求a的取值范围．
答案：（1）3 （2）
分析：（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【小问1详解】由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
【小问2详解】，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
4.(2023·新高考Ⅰ卷T22） 已知函数和有相同最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
答案：（1） （2）见解析
【解析】
分析：（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时， 的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【小问1详解】的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，
故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.
综上，.
【小问2详解】由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，
所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，
所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.
设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且：
当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，
故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，，，
所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解，又可化为即，即，故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，故即.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
5．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
解析：设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
8．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
答案：函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.
【解析】法一：（1）的定义域为.因为，所以在和上是单调递增.因为，，所以在有唯一零点，即．又，，故在有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．
（2）因为，故点在曲线上．由题设知，即，
故直线的斜率．曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．
法二：（1）函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
(2)因为是的一个零点，所以,
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
9．(2023年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
答案：
解析：由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，
所以．故切线方程为．
10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为 ．
答案：
解析：，
所以曲线在点处的切线方程为．
11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
答案：
解析：记，则
依题意有，即，解得．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
答案：
解析：因为，所以，切线方程为，即．
13．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
答案：
【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.
14．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
答案：
【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以
所以，所以，所以．
导数的概念及其意义、导数的运算
导数的概念
导数的几何意义
导数公式
导数的运算法则
复合函数的导数
讲典例 备高考
类型一、导数的概念及导数的几何意义
基础知识：
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设为可导函数，且满足，则为（ ）
A．1B．
C．2D．
答案：B
分析：利用导数的定义进行求解.
【详解】因为，所以，即
所以.
2．已知函数，且，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
分析：利用导数定义，可求得，代入，即得解
【详解】∵，
∴，∴，，解得．
3．（多选题）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（ ）
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案：ABD
分析：结合平均速度、瞬时速度、位移等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】该物体在时的平均速度是，A正确.
，B正确.
当时，，C错误.
，D正确.
类型二、导数的几何意义
基础知识：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
基本题型：
1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为( )
A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
答案：D
分析：①易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，y′＝3x2，k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3xeq \\al(2,0).
∵点A在曲线上，∴y0＝xeq \\al(3,0)，∴eq \f(x\\al(3,0)－8,x0－2)＝3xeq \\al(2,0)，∴xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.
2．（在某点处切线的方程）(2023全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
答案：D
【解析】法一： 因为函数为奇函数，所以，
所以，所以，因为，
所以，所以，所以，所以，所以曲线在点 处的切线方程为．故选D．
法二：因为函数为奇函数，所以，
所以，解得，所以，
所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
法三：易知，因为为奇函数，
所以函数为偶函数，所以，解得，所以，
所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．
3、（求参数的值）已知函数f(x)＝msin x＋b在x＝eq \f(π,6)处的切线方程为y＝eq \f(\r(3),2)x－eq \f(\r(3),12)π＋1，则实数b的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(3)
答案：A
分析：由题意，函数f(x)＝msin x＋b，则f′(x)＝mcs x，可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝mcseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)m，
即切线的斜率k＝eq \f(\r(3),2)m，所以eq \f(\r(3),2)m＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝1，所以f(x)＝sin x＋b，当x＝eq \f(π,6)时，
y＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(π,6)－eq \f(\r(3),12)π＋1＝1，即切点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))，代入函数f(x)＝sin x＋b，可得sineq \f(π,6)＋b＝1，解得b＝eq \f(1,2).
4．（求参数的范围）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点可作曲线的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．
【详解】设切点坐标，∵，∴，∴曲线在处的切线斜率为，又∵切线过点，∴切线斜率为，∴
即 ①，∵过点可作曲线的三条切线，∴方程①有3解．
令，则图象与x轴有3个交点，∴的极大值与极小值异号
，令，得或1，∴，即（m＋3）（m＋2）＜0，
解得−3＜m＜−2.
【点睛】（1准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．
（2）当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
5．（切线的倾斜角）设点P是曲线y＝x3－x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A． B．C．D．
答案：C
分析：对函数求导得y′＝3x2－≥－，即tan α≥－，结合正切函数的性质得α∈[0，)∪[，π).
【详解】因为y′＝3x2－≥－，所以tan α≥－，又α∈，所以α∈[0，)∪[，π)．
6．（切线的斜率）偶函数的图象在处的切线斜率为
A．2eB．eC．D．
答案：A
分析：先通过偶函数的性质求出的值，然后对函数求导，即可求出的值，即为图像在处的切线斜率．
【详解】由于函数为偶函数，则，即，
解得，故，则，则，
故函数的图像在处的切线斜率为.
7、（求切点坐标）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
答案：
【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是．
8．（求参数的值）已知直线l：y＝x＋b为曲线f(x)＝ex的切线，若直线l与曲线g(x)＝－eq \f(1,2)x2＋mx－eq \f(7,2)也相切，则实数m的值为________．
答案：4或－2
分析：设直线l：y＝x＋b与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，ex0)，由f′(x0)＝ex0＝1，得x0＝0，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l的方程为y＝x＋1.又由直线l与曲线g(x)相切，联立方程，消去y得－eq \f(1,2)x2＋mx－eq \f(7,2)＝x＋1，化简得x2－2(m－1)x＋9＝0，所以Δ＝4(m－1)2－4×9＝0，解得m＝4或m＝－2.
基本方法：
1、函数y＝f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，一定要抓住关键eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝fx0，,k＝f′x0.))
2、过点的切线方程的求解方法：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．
(x0有几个值，就有几条切线)
3、求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
4、求参数问题的方法：通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．
类型三、导数的运算
基础知识：
1．基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．
基本题型：
1．（多选）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：根据求导的基本公式、四则运算法则及复合函数求导法则，逐一计算，即可得答案.
【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；
对于C：令，则=，故C错误；
对于D：，故D错误.
2．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x) B．若y＝lneq \r(1＋2x)，则y′＝eq \f(1,1＋2x)
C．若y＝eq \f(1,tan x)，则y′＝eq \f(1,cs2x) D．若y＝x2 022＋lg2x，则y′＝2 022x2 021＋eq \f(1,xln 2)
答案：ABD
【解析】对于A，y′＝－sineq \f(1,x)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，A正确；对于B，y′＝eq \f(1,2)·eq \f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq \f(1,1＋2x)，B正确；对于C，y＝eq \f(1,tan x)＝eq \f(cs x,sin x)，y′＝eq \f(－sin x·sin x－cs x·cs x,sin2x)＝－eq \f(1,sin2x)，C错误；对于D，y′＝2 022x2 021＋eq \f(1,xln 2)，D正确．
3．（多选）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在处的切线方程为 D．
答案：BC
分析：利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.
【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：因为，所以，所以.而，所以在处的切线方程为，故C正确；对于D：.故D错误.
基本方法：
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：先化为和、差形式，再求导
类型三、复合函数的导数
基础知识：
1、一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成eq \a\vs4\al(x)的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
2、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
基本题型：
1．设，，，…，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：分别计算，，，，得出规律，进而可得结果.
【详解】∵，∴，，
，，通过以上过程可以看出满足以下规律：对任意，，故，
2．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2B．C．3D．
答案：A
分析：函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】由已知得，则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，，所以.
3．求下列函数的导数．
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）．
答案：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
分析：对于（1）直接求导，对于（2）（4），直接利用导数的除法法则求导，（3）（5）（6）利用导数乘法法则求导.
【详解】（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
基本方法：
复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。
类型四、解析式中含有导数值的函数
基础知识：
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
注意：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
基本题型：
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝eq \f(1,x)＋3xf′(1)，则f′(2)的值为( )
A.eq \f(5,4) B．1
C.eq \f(1,4) D．－2
答案：A
【解析】因为f(x)＝eq \f(1,x)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋3f′(1)，
令x＝1代入f′(x)得，f′(1)＝eq \f(1,2)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(3,2)，f′(2)＝－eq \f(1,4)＋eq \f(3,2)＝eq \f(5,4).
2．已知函数，，则满足的的值为______．
答案：
分析：对分别求导，结合题设方程得，即可求的值.
【详解】∵，∴，又，，
∴，解得，又，故．
3．已知函数的导函数，若，则________.
答案：
分析：根据导数运算法则可求得，代入即可构造方程求得结果.
【详解】，，
解得：.
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1．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．1D．
答案：A
分析：利用导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为，，由题知：，所以，解得：或（舍去）.
2、(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(－1，－3) D．(1，－3)
答案：AB
【解析】因为f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，故3x2－1＝2⇒x＝1或－1，所以P(1,3)或(－1,3)．经检验，
点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选A、B.
3．函数，且，则（ ）
A．1B．
C．2D．
答案：A
分析：首先根据导数的四则运算和简单复合函数的导数运算，求出函数的导函数，再根据，代入求值即可.
【详解】，，
即，解得：或，∵，∴，
4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】……①，……②，
联立①②，解得，则，，，切线方程为：，即.
5．已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：求得，由结合条件可求得的值.
【详解】，，由题意可得，化简得，，.
6．（多选）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（ ）
A． B．C．D．
答案：BCD
分析：设切点坐标为，利用导数的几何意义求切线方程，代入点后，转化为关于的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求的取值范围.
【详解】设切点坐标为，因为，所以，所以切线方程为，将点代入可得，化简得，过点作曲线的切线有且仅有两条，即方程有两个不同的解，则，解得或，故实数的取值范围是.，所以由选项判断可知正确.
7．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
分析：求导可得，令，得，化简即可得解.
【详解】由，得.令，得，解得.
8．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（ ）
A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙D．大小关系不确定
答案：B
分析：利用平均变化率的几何意义即可得出选项.
【详解】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
9．设曲线y＝x＋ln x的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.eq \f(e,21＋e) B.eq \f(e,1＋e)
C.eq \f(e2,2e2＋1) D.eq \f(e2,e2＋1)
答案：C
【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝1＋eq \f(1,x)，切线方程为y－x0－ln x0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))(x－x0)，切线过点(0,1)，
∴1－x0－ln x0＝－x0－1，∴ln x0＝2，x0＝e2，∴切线方程为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,e2)))x＋1，
故可得切线在x，y轴上的截距为－eq \f(e2,e2＋1)，1.故三角形的面积为eq \f(e2,2e2＋1).
10．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．C．D．
答案：D
分析：对函数求导得，进而得到，求三角函数的值域，即可得到答案；
【详解】，，，。
11．（多选）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】由图象可知，在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，
，，可看作过和的割线的斜率，
由图象可知，。
12．（多选）已知函数在处的导数为，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
分析：依次求出每个选项中对应函数的导数即可判断.
【详解】对于A，，，故A满足题意对于B，，，故B不满足题意对于C，，，故C不满足题意对于D，，，故D满足题意.
13．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． B． C． D．
答案：ACD
分析：根据青山点的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，由，得，由，得或，所以函数有青山点，所以A正确，对于B，由，得，由，方程无解，所以函数不存在青山点，所以B错误，对于C，由，得（），由于和的图像有交点，所以方程有解，所以函数有青山点，所以C正确，对于D，由，得，由，得，所以有青山点，所以D正确，
14．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
答案：BCD
分析：利用特殊情况判断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即可判断选项B；求出，，即可判断选项C、D
【详解】A，因为，则，设，则切线方程为，切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；B，处的切线方程为，所以与轴的交点横坐标为，故B正确；C，因为，，所以两条切线可以确定的值，故C正确；D，由选项C可知，，所以无论在上取任何有理数都有，故D正确.
15．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.
答案：
【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.
【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.
16．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．
答案：
分析：设切点为，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a.
【详解】设切点坐标为．由题意，知，切线的斜率为①，所以切线的方程为②．将点代入②式，得，解得或．分别将和代入①式，得和．由题意，得，得．
17．过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋eq \f(1,ex)相切的直线方程为________．
答案：(e－1)x＋y＋1＝0
【解析】设切点为(x0，y0)，因为y′＝1－eq \f(1,ex)，所以y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))＝1－eq \f(1,ex0)，所以过切点(x0，y0)的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－eq \f(1,ex0)))(x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－eq \f(1,ex0))) (0－x0)，即－1－x0＋1－eq \f(1,ex0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－eq \f(1,ex0))) (－x0)，解得x0＝－1，所以所求的切线方程为y－(－1)＝(1－e)(x－0)，即切线方程为(e－1)x＋y＋1＝0.
18．已知函数，若，则实数的值为___________.
答案：或
分析：根据解析式，求得导数，根据自变量范围及，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得.因为，所以或，解得或.
19．若直线y＝kx＋b是曲线y＝e x－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则b＝________.
答案：eq \f(1,2)ln 2－eq \f(1,2)
【解析】设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－2切于点P1(x1，ex1－2)，与曲线y＝ex－1切于点P2(x2，eeq \a\vs4\al(x2)－1)，
则有k＝ex1－2＝eeq \a\vs4\al(x2)＝eq \f(e\a\vs4\al(x2)－1－e\a\vs4\al(x1－2),x2－x1)，从而x1－2＝x2，k＝eq \f(1,2)，eeq \a\vs4\al(x2)＝eq \f(1,2)，x2＝－ln 2.
所以切线方程y＝eq \f(1,2)(x＋ln 2)＋eeq \a\vs4\al(x2)－1＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)ln 2－eq \f(1,2)，所以b＝eq \f(1,2)ln 2－eq \f(1,2).
20．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
答案：y=0或9x+4y=0
分析：分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．
【详解】∵f′（x）＝3x2+6x，①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）＝0，则切线方程为y＝0；
②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点（0，0），∴，∵x0≠0，解得．∴切线方程为，化为9x+4y＝0．∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．
21．（若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：．
答案：①③④
【解析】 对于①，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，，在点处的切线为，令，可得，所以，故，可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．
0
1
0
0
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定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝eq \a\vs4\al(0)
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)