高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题06函数的单调性与最大(小)值(原卷版+解析)

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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题06函数的单调性与最大(小)值(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了【2022年新高考I卷第7题】，常用结论等内容，欢迎下载使用。

练高考明方向
1、【2022年新高考I卷第7题】
2、【2022年全国高考甲卷理科第12题】
3．(2023年高考全国乙卷理科)设，，．则( )
A．B．C．D．
4．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则( )
Aa7.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则
A．B．
C．D．
8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A． B．
C．D．
10．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
11.【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.
12．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则( )
A． B．C． D．
A．B．C．D．
14．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
(A)(B)(C)(D)
15．(2023高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
讲典例备高考
函数的单调性与最大(小)值
单调函数的定义
单调区间的定义素
函数的最值
单调性的判断
单调性的应用
类型一、单调函数的定义
基础知识：
1、单调函数的定义
3、常用结论：
(1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增．
②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减．
(2)y＝x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．
(3)y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－ \r(\f(b,a)) ))和eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(\f(b,a))，＋∞))，
单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ \r(\f(b,a))，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \r(\f(b,a)))).
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
4．注意事项：
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
(5)并非所有的函数都具有单调性．
例如：函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))它的定义域为R，但不具有单调性．
(6)单调区间D必为定义域的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质．
(7)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，
因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括．
(8)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
(9)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
类型一、函数单调性的判断与证明
1．（利用图象判断函数单调性）函数的图象如图所示，则（）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增
2、（利用定义判断函数单调性）证明函数在区间上为减函数。
3、（利用定义判断函数单调性）已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，求证：f(x)在R上是减函数；
【点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·eq \f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．
4、（利用导数判断函数单调性）已知函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)－(a＋2)ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
【点评】(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【基本方法】
1、利用定义证明函数单调性的步骤和变形技巧
（1）五个步骤：取值------------------------设且
作差-----------------------
变形-----------------------对作差的结果进行变形
定号-----------------------确定的符号
定论-----------------------由与的大小关系及单调性的定义下结论
（2）变形技巧： 因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解，
通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解，
分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
2、判断函数的单调性和求单调区间的方法
类型二、求函数的单调性区间
基础知识：
1、单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
基本题型：
1、（利用复合法求函数的单调区间）函数的单调减区间为
A．B．
C．D．
2．（利用复合法求函数的单调区间）定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（）
A． B． C．D．
3．（利用图象求函数的单调区间）函数的单调递增区间是（）
A．B．和
C．D．和
4．（利用导数法求函数的单调区间）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
基本方法：
1、判断函数的单调性和求单调区间的方法
2、确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
类型三、由函数单调性求参数的范围
基础知识：
1、若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2是定义域上(或该区间上)任意两个自变量的值，则f(x1)x2)．
2、已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，要注意“＝”是否取到
基本题型：
1、已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上为减函数，若，求实数的取值范围。
2、设定义在上的偶函数在区间上为减函数，若，求实数的取值范围。
【点评】此类问题考察了函数单调性的应用：
（1）正向应用：若在给定区间上是增函数，则有：
当时，有；当时，有；
（2）逆向应用：若在给定区间上是增函数，则有：
当时，有；当时，有；
【小结】利用奇偶性与单调性解抽不等式的步骤：
（1）转化：利用奇偶性把已知不等式转化为的形式；
（2）定性：确定已知函数的单调性，
（3）去“”：根据单调性去掉“”，不等式转化为或；
（4）求解：解不等式（组）
3．（以二次函数为情境命题）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
4．（以反比例函数为情境命题）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
5．（以分段函数为情境命题）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数a取值范围是（）
A． B． C．D．
6．（以含绝对值函数为情境命题）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．B．
C．D．
7．（利用导数转化为不等式恒成立问题）若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(2，e)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，e2＋1)) D．[e2＋1，＋∞)
8、（利用导数转化为不等式能成立问题）若f(x)＝ax2＋x－ln x存在增区间，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,8)))
9．（利用单调性进行转化）已知函数的定义域为，且对于，都有（），则不等式的解集为______.
基本方法：
1、利用函数的单调性求解不等式的方法
在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但必须在同一单调区间内进行．需要说明的是，若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值．如若已知0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)2、利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．
3、解决分段函数的单调性问题常不会对分段点左右两端函数的单调性进行分析，对函数的单调性理解不够透彻．对于分段函数的单调性，要考虑分段点左右单调性一致，注意端点处的衔接情况．
类型四、函数的最值
基础知识：
基本题型：
1．（利用换元法求最值）已知函数，则函数有（）
A．最小值1，无最大值B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值D．无最大值，无最小值
2、（利用单调性求最值）已知a>0，设函数f(x)＝eq \f(2 018x＋1＋2 016,2 018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 016 B．2 018
C．4 032 D．4 034
3、（利用单调性求最值）（多选题）下列关于函数的说法正确的是（）
A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
4．（利用基本不等式求最值）函数（）的最小值为（）
A．B．C．D．
5、（利用图象求最值）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
6．（利用导数求最值）函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
基本方法：
1、求函数最值的5种常用方法
2、求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，则f(a)为最小(大)值，f(b)为最大(小)值．
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在(a，b)内的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
类型五、利用最值求参数的值或范围
基础题型：
1．（多选题）已知函数，当时，y取得最小值b，则（）
A．B．C．D．
2．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
3．（多选题）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（）
A．1B．C．2D．4
4．已知函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
新预测破高考
1．下列四个函数中，在上为增函数的是（）．
A．B．C．D．
2．下列函数中，最大值为的是（）
A．B．
C．D．
3、已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
4、若函数在区间[1,5]上单调递增，则m的取值范围为（）
A．[﹣2,+∞)B．(﹣∞,﹣2]C．[﹣10,+∞)D．(﹣∞,﹣10]
5．函数f(x)＝eq \f(ln x,x2)的最大值为( )
A.eq \f(1,e) B.eq \f(1,2e) C．e D．0
6．若函数与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
7．若函数在区间上的最大值为，则实数（）
A．B．C．D．或
8、已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
9、已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A．B．
C．D．
10．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
11．（多选题）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（）
A．-2B．6C．4D．-4
12．已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
13．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．
14．设函数f(x)＝eq \f(x＋12＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
15．不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______
16．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.
17．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为_________.
18、对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b。))函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为________。
19．已知函数，，的最大值，表示m,n中的最大值，若，且当时，恒成立，则的最大值为__________．
20．设函数．
（1）当时，求函数的最小值的表达式；
（2）求函数的最大值．
21．设函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若，设在上的最大值为，求的表达式．
22．设函数．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
23．已知函数f(x)＝eq \f(x2－1－2axln x,x)，讨论函数f(x)的单调性．
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
提醒
求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
提醒
求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
∀x∈I，都有f(x)≤M；∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
∀x∈I，都有f(x)≥M；∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件，然后用基本不等式求出最值
导数法
先求出导函数，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
2023高考一轮复习讲与练
06 函数的单调性与最大(小)值
练高考明方向
1、【2022年新高考I卷第7题】
2、【2022年全国高考甲卷理科第12题】
3．(2023年高考全国乙卷理科)设，，．则( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：,所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,，
由于，所以当0即,,所以在上单调递增，所以,
即,即;令,
则,,由于，
在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．
4．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则( )
Aa答案：A
【解析】由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得．综上所述，．故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．
7.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】即则．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和
对数函数的单调性即可比较大小．
8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
答案：C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A． B．
C．D．
答案：C
【解析】是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，
，故选C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．
10．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
答案：
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
11.【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.
答案：
【解析】存在，使得，即有，化
，可得，即，
由，可得.则实数的最大值是.
【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.
12．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则( )
A． B．C． D．
答案：D
【解析】令,则,,,∴,
则,,则,故选D．
【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示．
13．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为,,故选A.
14．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )
(A)(B)(C)(D)
答案：C
【解析】对A：由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此，又由得，
∴，C正确，对D：要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
15．(2023高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
答案：16
【解析】由图像关于直线=－2对称，则0==，
0==，解得=8，=15，∴=，
∴===
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，
在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时，
取极大值，==16．
讲典例备高考
函数的单调性与最大(小)值
单调函数的定义
单调区间的定义素
函数的最值
单调性的判断
单调性的应用
类型一、单调函数的定义
基础知识：
1、单调函数的定义
3、常用结论：
(1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增．
②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减．
(2)y＝x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．
(3)y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－ \r(\f(b,a)) ))和eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(\f(b,a))，＋∞))，
单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ \r(\f(b,a))，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \r(\f(b,a)))).
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
4．注意事项：
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
(5)并非所有的函数都具有单调性．
例如：函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))它的定义域为R，但不具有单调性．
(6)单调区间D必为定义域的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质．
(7)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，
因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括．
(8)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
(9)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
类型一、函数单调性的判断与证明
1．（利用图象判断函数单调性）函数的图象如图所示，则（）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增
答案：A
【详解】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的，则函数在上是单调递增的；图像在上从左到右是“下降”的，则函数在上是单调递减的.
2、（利用定义判断函数单调性）证明函数在区间上为减函数。
证明:任取且---------------------------------------------------第一步：取值
---------------------------------------------- 第二步：作差
------------------------------- 第三步：变形
∵-10,
即-10， -------------------------------第四步：定号
因此，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数-------------------------- 第五步：定论
3、（利用定义判断函数单调性）已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，求证：f(x)在R上是减函数；
证明：方法一：任取且 -----------------------------------第一步：取值
则＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)----------------------------------------- 第二步：作差
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)------------------------------------------- 第三步：变形
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，
∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．-----------------------------------------------第四步：定号
∴f(x)在R上为减函数．------------------------------------- --------------- 第五步：定论
方法二：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，
∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此，f(x)在R上是减函数．
【点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·eq \f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．
4、（利用导数判断函数单调性）已知函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)－(a＋2)ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
【解析】∵f(x)＝2x－eq \f(a,x)－(a＋2)ln x，则f′(x)＝2＋eq \f(a,x2)－eq \f(a＋2,x)＝eq \f(2x2－a＋2x＋a,x2)＝eq \f(2x－ax－1,x2).
①当eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，由f′(x)<0，得00，得x>1，
此时函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)；
②当eq \f(a,2)＝1，即a＝2时，对任意的x>0，f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当00，得01，
由f′(x)<0，得eq \f(a,2)④当eq \f(a,2)>1，即a>2时，由f′(x)>0，得0eq \f(a,2)，由f′(x)<0，得1此时，函数f(x)的增区间为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))，减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(a,2))).
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)；
当0当a＝2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>2时，函数f(x)的增区间为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))，减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(a,2))).
【点评】(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【基本方法】
1、利用定义证明函数单调性的步骤和变形技巧
（1）五个步骤：取值------------------------设且
作差-----------------------
变形-----------------------对作差的结果进行变形
定号-----------------------确定的符号
定论-----------------------由与的大小关系及单调性的定义下结论
（2）变形技巧： 因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解，
通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解，
分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
2、判断函数的单调性和求单调区间的方法
类型二、求函数的单调性区间
基础知识：
1、单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
基本题型：
1、（利用复合法求函数的单调区间）函数的单调减区间为
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】函数，则或，
故函数的定义域为或，由是单调递增函数，可知函数的单调减区间即的单调减区间，当时，函数单调递减，结合的定义域，可得函数的单调减区间为.故选A.
【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间.
2．（利用复合法求函数的单调区间）定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（）
A． B． C．D．
答案：A
【详解】函数可以写成内外层函数，，内层函数在单调递减，在单调递增，外层函数是单调递增函数，根据复合函数“同增异减”判断单调性可知函数在区间单调递减.
3．（利用图象求函数的单调区间）函数的单调递增区间是（）
A．B．和
C．D．和
答案：B
【详解】，作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.
4．（利用导数法求函数的单调区间）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)
【解析】由题可得，f′(x)＝2x－5＋eq \f(2,x)＝eq \f(2x2－5x＋2,x)(x>0)．令f′(x)＝eq \f(2x2－5x＋2,x)＝eq \f(2x－1x－2,x)>0(x>0)，
解得x>2或0基本方法：
1、判断函数的单调性和求单调区间的方法
2、确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
类型三、由函数单调性求参数的范围
基础知识：
1、若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2是定义域上(或该区间上)任意两个自变量的值，则f(x1)x2)．
2、已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，要注意“＝”是否取到
基本题型：
1、已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上为减函数，若，求实数的取值范围。
【解析】由已知得，由，--------------转化
因为奇函数在对称的区间上单调性相同，所以在R上单调递减，------------------------定性
则有------------------------------------------------------------------去“”
解得------- -------------------------------------------------------------------求解
2、设定义在上的偶函数在区间上为减函数，若，求实数的取值范围。
【解析】由偶函数的定义知，所以原不等式可化为------转化
因为偶函数在对称的区间上单调性相反，所以在上单调递增---------------------- 定性
-----------------------------------------------------------------去“”
解得------------------------------------- --------------------------------求解
【点评】此类问题考察了函数单调性的应用：
（1）正向应用：若在给定区间上是增函数，则有：
当时，有；当时，有；
（2）逆向应用：若在给定区间上是增函数，则有：
当时，有；当时，有；
【小结】利用奇偶性与单调性解抽不等式的步骤：
（1）转化：利用奇偶性把已知不等式转化为的形式；
（2）定性：确定已知函数的单调性，
（3）去“”：根据单调性去掉“”，不等式转化为或；
（4）求解：解不等式（组）
3．（以二次函数为情境命题）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
答案：C
【详解】因为对任意，且，不等式恒成立，
所以在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，
4．（以反比例函数为情境命题）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】，函数在递减，而在递增，故，
解得：或，但，故，故的取值范围是，，，
5．（以分段函数为情境命题）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数a取值范围是（）
A． B． C．D．
答案：C
【详解】因为，所以在R上为单调递增函数，当时，的图象如图所示：
因为在R上为单调递增函数，所以，当时，为增函数，所以，
且在x=a处，解得，综上，
6．（以含绝对值函数为情境命题）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】，函数在上单调递增，又
，所以对，不等式恒成立，即不等式恒成立，令，，即又在上单调递增，
，所以实数t的取值范围是
7．（利用导数转化为不等式恒成立问题）若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(2，e)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，e2＋1)) D．[e2＋1，＋∞)
答案：B
【详解】因为函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(2，e)上单调递增，所以f′(x)＝2x－a＋eq \f(1,x)≥0在(2，e)上恒成立，即a≤2x＋eq \f(1,x)在(2，e)上恒成立，令g(x)＝2x＋eq \f(1,x)，x∈(2，e)，因为g′(x)＝2－eq \f(1,x2)>0在x∈(2，e)上恒成立，所以g(x)在(2，e)上单调递增，又g(2)＝eq \f(9,2)，所以a≤eq \f(9,2)，即a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,2))).
8、（利用导数转化为不等式能成立问题）若f(x)＝ax2＋x－ln x存在增区间，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,8)))
答案：C
【详解】若函数f(x)不存在增区间，则函数f(x)单调递减，此时f′(x)＝2ax＋1－eq \f(1,x)≤0在区间(0，＋∞)恒成立，可得2a≤eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)，由eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，可得a≤－eq \f(1,8)，故函数f(x)存在增区间时，实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)).
9．（利用单调性进行转化）已知函数的定义域为，且对于，都有（），则不等式的解集为______.
答案：
【详解】因为函数的定义域为，且对于，都有，（），
所以函数在定义域上单调递增，由，可得，解得
所以不等式的解集为.
基本方法：
1、利用函数的单调性求解不等式的方法
在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但必须在同一单调区间内进行．需要说明的是，若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值．如若已知0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)2、利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．
3、解决分段函数的单调性问题常不会对分段点左右两端函数的单调性进行分析，对函数的单调性理解不够透彻．对于分段函数的单调性，要考虑分段点左右单调性一致，注意端点处的衔接情况．
类型四、函数的最值
基础知识：
基本题型：
1．（利用换元法求最值）已知函数，则函数有（）
A．最小值1，无最大值B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值D．无最大值，无最小值
答案：C
【详解】因为，令，所以，
所以，因为的对称轴为，所以在上递增，所以，无最大值，所以的最小值为，无最大值，
2、（利用单调性求最值）已知a>0，设函数f(x)＝eq \f(2 018x＋1＋2 016,2 018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 016 B．2 018
C．4 032 D．4 034
答案：D
【解析】由题意得f(x)＝eq \f(2 018x＋1＋2 016,2 018x＋1)＝2 018－eq \f(2,2 018x＋1)。因为y＝2 018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，所以f(x)＝2 018－eq \f(2,2 018x＋1)在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 036－eq \f(2,2 018a＋1)－eq \f(2,2 018－a＋1)＝4 034。
3、（利用单调性求最值）下列关于函数的说法正确的是（）
A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
答案：AD
【详解】当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为．当时，函数在区间上单调递增，当时，函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为．
4．（利用基本不等式求最值）函数（）的最小值为（）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，
5、（利用图象求最值）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案：1
【解析】在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图
中实线所示．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为
h(2)＝1.
6．（利用导数求最值）函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
答案：1
【解析】当x＞eq \f(1,2)时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－eq \f(2,x)＝eq \f(2x－2,x).令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，
得eq \f(1,2)＜x＜1，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.
当0＜x≤eq \f(1,2)时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－eq \f(2,x)＝eq \f(－2x－2,x)＜0，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，
所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2lneq \f(1,2)＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1.
基本方法：
1、求函数最值的5种常用方法
2、求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，则f(a)为最小(大)值，f(b)为最大(小)值．
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在(a，b)内的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
类型五、利用最值求参数的值或范围
基础题型：
1．（多选题）已知函数，当时，y取得最小值b，则（）
A．B．C．D．
答案：AD
【详解】，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时.
2．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】由题意，函数，函数的图象开口朝下，对称轴为，函数的图象开口朝上，对称轴为，当时，，函数在R上单调递增，不合题意；当时，作出函数图象，如图，
易得函数在区间上无最值；
当，作出函数图象，如图，
若要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则即，解得；综上，实数a的取值范围是.
3．（多选题）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（）
A．1B．C．2D．4
答案：BCD
【详解】由题意可得二次函数的对称轴，且在上恒成立，所以在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，即在上的最小值为，所以，解得.
4．已知函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
答案：[－2,1)
【解析】由f′(x)＝－x2＋1，知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(a,10－a2)上存在最大值的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,10－a2>1，,f1≥fa，))其中f(1)≥f(a)，
即为－eq \f(1,3)＋1≥－eq \f(1,3)a3＋a，整理得a3－3a＋2≥0，即a3－1－3a＋3≥0，即(a－1)(a2＋a＋1)－3(a－1)≥0，
即(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,10－a2>1，,a－12a＋2≥0，))解得－2≤a<1.
新预测破高考
1．下列四个函数中，在上为增函数的是（）．
A．B．C．D．
答案：C
【详解】是上的减函数；在上是增函数，在上是减函数；在上递减，在上递增，因此在上也递增；的定义域是，而．
2．下列函数中，最大值为的是（）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】由于，因此无最大值，A错；，最小值为0，最大值为1，B错；，，无最大值，D错，只有C正确、
3、已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
答案：A
分析：由函数的单调性，得到每段都是单调递减，并注意分界点处的取值，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.
4、若函数在区间[1,5]上单调递增，则m的取值范围为（）
A．[﹣2,+∞)B．(﹣∞,﹣2]C．[﹣10,+∞)D．(﹣∞,﹣10]
答案：A
【详解】由题意，函数的图象为开口朝上的抛物线，且对称轴，因为函数在区间[1,5]上单调递增，所以，解得，所以m的取值范围为.
5．函数f(x)＝eq \f(ln x,x2)的最大值为( )
A.eq \f(1,e) B.eq \f(1,2e) C．e D．0
答案：B
【详解】由题得f′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x2－2x·ln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3)(x>0)．令f′(x)>0，解得0解得x>eq \r(e).所以函数f(x)的单调递增区间为(0，eq \r(e))，单调递减区间为(eq \r(e)，＋∞)，
所以函数f(x)＝eq \f(ln x,x2)的最大值f(eq \r(e))＝eq \f(ln \r(e),e)＝eq \f(1,2e).故选B.
6．若函数与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是（）
A． B．C．D．
答案：B
【详解】函数的图象开口朝下，且以直线为对称轴，若在区间上是减函数，则的图象由的图象左移一个单位得到，若在区间上是减函数，则
综上可得：的取值范围是.
7．若函数在区间上的最大值为，则实数（）
A．B．C．D．或
答案：B
【详解】函数，即，，当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．
8、已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为对，满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于直线对称，所以函数当时，是单调递增函数，又因为，所以有，当，即当时，
；当，即当时，，综上所述：不等式的解集为.
9、已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，因此，由得，
又在上单调递减，则在上单调递增，所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得，
因此，的解集是.
10．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案：C
【解析】由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函数f(x)在[0,2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
11．（多选题）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（）
A．-2B．6C．4D．-4
答案：AC
【详解】在，上的最大值为5，所以由，解得或，
所以时，，所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，当时，即时，，此时解得，符合题意；当时，即时，，此时解得，符合题意；故或4，
12．已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
答案：D
【详解】函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；当x0.所以a2>a-.所以f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
13．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．
答案：－37
【解析】∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.
14．设函数f(x)＝eq \f(x＋12＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案：2
【解析】f(x)＝eq \f(x2＋2x＋1＋sin x,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，观察函数g(x)＝eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.
15．不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______
答案：
【详解】由题知-2和1是的两根，由根与系数的关系知-2+1= ，−2×1＝，由不等式的解集为，可知，，则，因为函数的定义域为，令则该函数的增区间为，所以的增区间为。
16．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.
答案：2
【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，设；
当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以，，则；所以运费与仓储费之和为，因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.
17．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为_________.
答案：
【详解】不妨令，则等价于，构造函数，则是上的增函数，因为，所以等价于，
即，解得，所以不等式的解集为.
18、对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b。))函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为________。
答案：1
【解析】依题意知，h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，02。))当02时，
h(x)＝3－x 是减函数，则h(x)max＝h(2)＝1。
19．已知函数，，的最大值，表示m,n中的最大值，若，且当时，恒成立，则的最大值为__________．
答案：5
【详解】作出函数图象如图：
若，且当时，恒成立，等价于函数为增函数，由图可知，，则，
20．设函数．
（1）当时，求函数的最小值的表达式；
（2）求函数的最大值．
答案：（1）；（2）.
【详解】，对称轴：；
①当时，在上单调递增，；
②当时，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，；
综上：
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
综上：.
21．设函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若，设在上的最大值为，求的表达式．
答案：（1）和；（2）
【详解】（1）当时，，
当时，，此时函数为增函数；
当时，，此时函数在上为减函数，在上为增函数；
综上可知，的单调递增区间为和
（2）由题意得
①当时，若，则；若，则，此时在上单调递增，所以
②当时，若，则；若，则，此时在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以
③当且，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，所以
④当且，即时，此时在上单调递增，所以
综上可知，
22．设函数．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
答案：（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）时，，故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，故函数的单调递减区间为.
（2），因为函数在R上单调递增，故，解得.
（3）等价于且恒成立，
先考虑恒成立，则，故.
再考虑恒成立，又，故，
故，解得，
综上，的取值范围为.
23．已知函数f(x)＝eq \f(x2－1－2axln x,x)，讨论函数f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(2a,x)＝eq \f(x2－2ax＋1,x2).
令g(x)＝x2－2ax＋1，方程x2－2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－4＝4(a＋1)(a－1)．
(1)当Δ≤0，即－1≤a≤1时，g(x)＝x2－2ax＋1≥0恒成立，
即对任意x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(gx,x2)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当Δ>0，即a<－1或a>1.
①当a<－1时，g(x)＝x2－2ax＋1≥0恒成立，即对任意x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(gx,x2)≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>1时，由x2－2ax＋1＝0，解得α＝a－eq \r(a2－1)，β＝a＋eq \r(a2－1).
所以当00；当αβ时，g(x)>0.
所以在(0，a－eq \r(a2－1))∪(a＋eq \r(a2－1)，＋∞)上，f′(x)>0；在(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))上，f′(x)<0.
所以函数f(x)在(0，a－eq \r(a2－1))和(a＋eq \r(a2－1)，＋∞)上单调递增；
在(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))上单调递减．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，f(x)在(0，a－eq \r(a2－1))和(a＋eq \r(a2－1)，＋∞)上单调递增，
在(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))上单调递减．
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
提醒
求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
提醒
求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
∀x∈I，都有f(x)≤M；∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
∀x∈I，都有f(x)≥M；∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件，然后用基本不等式求出最值
导数法
先求出导函数，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值