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专题1-1 二次根式（考题猜想，利用二次根式的相关概念求字母或代数式的值）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）
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这是一份专题1-1 二次根式（考题猜想，利用二次根式的相关概念求字母或代数式的值）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版），文件包含专题1-1二次根式考题猜想利用二次根式的相关概念求字母或代数式的值原卷版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx、专题1-1二次根式考题猜想利用二次根式的相关概念求字母或代数式的值解析版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
类型1：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
【例题1】（23-24八年级下·湖北恩施·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件．根根二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：D
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而，从而得出答案．
【详解】解：，，
，
满足条件的所有整数的和是10，
，3，2，1或4，3，2，1，0，
，
．
故答案为：
【变式2】（21-22八年级下·全国·课后作业）无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子．
【答案】
【分析】根据代数式都有意义，得出，继而根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵，
且无论取何实数，代数式都有意义，
∴，
∴.
当时，.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键
【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）若m满足关系式，求m的值．
【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值．
【详解】解：由可得，
∴
∴
【变式4】．（23-24八年级下·湖南益阳·开学考试）阅读下列内容：
我们在学习二次根式时，式子有意义，则；式子 有意义，则；若式子有意义，求的取值范围，这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组，得．
(1)式子有意义，求的取值范围；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
本题考查阅读理解，涉及二次根式有意义，解方程等知识，读懂题意，又不等式组转化为方程求解是解决问题的关键．
（1）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案；
（2）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，式子有意义，可得，
，解得或；
（2）解：对于中，，
，解得，
，则．
【变式5】．（23-24八年级下·河南信阳·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，
(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：
去分母，得①
可得②
①+②，可得
将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
方程的解是_____________；（直接写出答案）
【答案】(1)且；
(2)①不存在，理由见解析；②的值为；
(3)．
【分析】本题考查二次根分式有意义的条件，无理方程的解法，求根分式的值．解题的关键是学会模仿例题解决问题，利用平方差公式把问题转化．注意：解无理方程需检验．
（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为0，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
②计算，变形为，是一个整数，则的值为1或2，解出方程取无理数且即可；
（3）利用平方差公式，将无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由且，
解得：且．
故答案为：且．
（2）解：①不存在，理由如下：
由，得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
②，
是一个整数，
是整数，
或，
解得：或或或，
为无理数，且，
．
无理数的值为．
（3）解：①，
，
，
，
又可得：，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
【变式6】．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：，则需计算，
而
，
所以
．
(1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(3)利用②中的结论，
计算：．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
（1）根据二次根式成立的条件求解即可；
（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；
（3）利用②中的结论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：
．
【变式7】．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算
(1)已知实数，满足，求的值．
(2)若，满足，化简：
【答案】(1)1
(2)1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．
（1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件，可得和的值，问题可解；
（2）根据，可得的值，从而得的范围，则可将所给式子化简．
【详解】（1）解：，
，
，，
，，
解得：，，
，
的值为；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式8】．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简：．
解：隐含条件，解得：，
．
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知为的三边长．化简：．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键．
（1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可；
（3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
隐含条件，解得：，
，
原式；
（2）由数轴可知，，，
，
；
（3）解：由三角形的三边关系可知，，，
，，
．
【变式9】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数满足，则的值为多少？
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的意义，先由二次根式有意义的条件得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，整体代入计算即可得出答案，得出是解决此题的关键．
【详解】解：实数满足，
，
解得：，
，
，
，
，
．
【变式10】．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】5
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义，
∴且
由得到
∴
解得，
∴，
∴
类型2：利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
【例题2】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
先化简，然后根据同类二次根式的概念计算求解．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
∴，解得，
故选：B
【变式1】．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】a的值为
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意；
当时，，，符合题意．
∴a的值为．
【变式2】．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值
【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴符合题意
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
【变式3】．（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【变式4】．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．
类型3：利用二次根式的加减求字母的值
【例题3】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，则a等于（ ）．
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式化简即可．
【详解】解：由题意知，
∵，
∴，即．
故选：A．
【变式1】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期中）如果与的和等于，那么的值是 ．
【答案】4
【分析】由，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的化简，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键
【变式2】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
∴且，
∴．
【变式3】．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）阅读材料：
小灰学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小灰并开始以下探索：如果设（其中、、均为正整数），则有，小灰也认识到完全符合完全平方和公式；
，，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、均为正整数时，若用含、的式子分别表示，得：＝________，＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数、、填空： ＋ （ ＋ ）2；
(3)若，且、、均为正整数，求的值．
【答案】(1)；
(2)4，2；
(3)7或13
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出的表达式；
（）首先确定好、的正整数值，然后根据（）的结论即可求出的值；
（）根据题意，，首先确定、的值，通过分析，或者，，然后即可确定好的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：设，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵
∴
∵，且、为正整数，
∴，或者，，
∴，或．
【变式4】．（2024八年级下·浙江·专题练习）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，．
证明：∵，为有理数，
∴是有理数，
∵为有理数，是无理数，
∴，
∴，
∴．
(1)若，其中、为有理数，则 ， ；
(2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值；
(3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的值为，的值为
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答；
（2）根据完全平方数进行计算，即可解答；
（3）利用（2）的结论，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，其中、为有理数，
∴，
为有理数，为有理数，
∴是有理数，
∵为有理数，是无理数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
，
整理得：，
∵，为有理数，
∴为有理数，为有理数，
又∵是无理数，
∴，，
解得：，，
∴的值为，的值为．
【变式5】（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足
(1)求、、的值．
(2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以、、为三边能构成三角形，周长为
【分析】（1）利用完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性进行判断即可；
（2）利用三角形三边关系判断并计算周长即可．
【详解】（1）解：
且三者相加得0
（2）∵
∴以、、为三边能构成三角形，周长为
【点睛】本题主要考查完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性以及三角形三边关系，熟练运用几个非负数的和为零，那么这几个数必定为零的结论以及两边之和大于第三边是解决本题的关键
【变式6】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）阅读下面的材料，并回答问题．
像，这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与都互为有理化因式．在进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)填空：的有理化因式为 ；
(2)已知，，求的值；
(3)已知正整数，满足，求，的值．
【答案】(1)
(2)14
(3)，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键．
（1）阅读材料可直接得出结果；
（2）先分母有理化化简，再代入求值；
（3）先去括号，化为，根据等式恒等性列式计算．
【详解】（1）解：的有理化因式为
（2）解：，
，
∴
（3）原式可化为，
，
，
，，
【变式7】．（21-22八年级下·山西临汾·期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：，
．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，．
(1)请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值．
(2)化简：．
(3)若且、、均为正整数，则________．
【答案】(1)，
(2)2
(3)5或7
【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把转化为的形式，即可求解；
（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；
（3）计算的平方，与进行对比即可求出a值．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：
，
同理，
，
．
（3）解：
且、、均为正整数，
，
，，
当，或，时，；
当，或，时，；
故答案为：5或7．
【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．
【变式8】．（22-23八年级上·四川内江·期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p．
①则p的值= ；
②若p的小数部分为k，求的值．
（2）已知与互为相反数，
①则的平方根 ；②解关于x的方程．
（3）已知正实数x的平方根是m和．
①当时，则m ；②若，求x的值．
【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4
【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数；
②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可；
（2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可；
（3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可．
【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴p的小数部分为，
∴；
（2）∵与互为相反数，
∴，
则，
解得∶，
①当时，
，16的平方根为∶；
②当时，化为
，
解得∶；
(3) ∵正实数x的平方根是m和，
∴，
得∶，
①当时，，
解得∶；
②∵，，
∴，
，
，
则，
解得∶，
∵x是正实数，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
【变式9】．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)的有理化因式为 ；
(2)化简：；
(3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．
②已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式；
（2）利用有理化因式变形，再计算即可；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴的有理化因式为；
故答案为：．
（2）
；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，
中，与的角平分线相交于点，
线段，
，
的周长为，面积为3，
，
解得，
即点P到边的距离为；
②
∴，解得：．
【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键．
类型1：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
【例题1】（23-24八年级下·湖北恩施·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则m取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件．根根二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：D
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而，从而得出答案．
【详解】解：，，
，
满足条件的所有整数的和是10，
，3，2，1或4，3，2，1，0，
，
．
故答案为：
【变式2】（21-22八年级下·全国·课后作业）无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子．
【答案】
【分析】根据代数式都有意义，得出，继而根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵，
且无论取何实数，代数式都有意义，
∴，
∴.
当时，.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键
【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）若m满足关系式，求m的值．
【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值．
【详解】解：由可得，
∴
∴
【变式4】．（23-24八年级下·湖南益阳·开学考试）阅读下列内容：
我们在学习二次根式时，式子有意义，则；式子 有意义，则；若式子有意义，求的取值范围，这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组，得．
(1)式子有意义，求的取值范围；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
本题考查阅读理解，涉及二次根式有意义，解方程等知识，读懂题意，又不等式组转化为方程求解是解决问题的关键．
（1）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案；
（2）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，式子有意义，可得，
，解得或；
（2）解：对于中，，
，解得，
，则．
【变式5】．（23-24八年级下·河南信阳·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，
(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：
去分母，得①
可得②
①+②，可得
将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
方程的解是_____________；（直接写出答案）
【答案】(1)且；
(2)①不存在，理由见解析；②的值为；
(3)．
【分析】本题考查二次根分式有意义的条件，无理方程的解法，求根分式的值．解题的关键是学会模仿例题解决问题，利用平方差公式把问题转化．注意：解无理方程需检验．
（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为0，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
②计算，变形为，是一个整数，则的值为1或2，解出方程取无理数且即可；
（3）利用平方差公式，将无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由且，
解得：且．
故答案为：且．
（2）解：①不存在，理由如下：
由，得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
②，
是一个整数，
是整数，
或，
解得：或或或，
为无理数，且，
．
无理数的值为．
（3）解：①，
，
，
，
又可得：，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
【变式6】．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：，则需计算，
而
，
所以
．
(1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(3)利用②中的结论，
计算：．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
（1）根据二次根式成立的条件求解即可；
（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；
（3）利用②中的结论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：
．
【变式7】．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算
(1)已知实数，满足，求的值．
(2)若，满足，化简：
【答案】(1)1
(2)1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．
（1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件，可得和的值，问题可解；
（2）根据，可得的值，从而得的范围，则可将所给式子化简．
【详解】（1）解：，
，
，，
，，
解得：，，
，
的值为；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式8】．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简：．
解：隐含条件，解得：，
．
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知为的三边长．化简：．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键．
（1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可；
（3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
隐含条件，解得：，
，
原式；
（2）由数轴可知，，，
，
；
（3）解：由三角形的三边关系可知，，，
，，
．
【变式9】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数满足，则的值为多少？
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的意义，先由二次根式有意义的条件得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，整体代入计算即可得出答案，得出是解决此题的关键．
【详解】解：实数满足，
，
解得：，
，
，
，
，
．
【变式10】．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】5
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义，
∴且
由得到
∴
解得，
∴，
∴
类型2：利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
【例题2】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
先化简，然后根据同类二次根式的概念计算求解．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
∴，解得，
故选：B
【变式1】．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】a的值为
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意；
当时，，，符合题意．
∴a的值为．
【变式2】．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值
【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴符合题意
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
【变式3】．（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【变式4】．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．
类型3：利用二次根式的加减求字母的值
【例题3】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，则a等于（ ）．
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式化简即可．
【详解】解：由题意知，
∵，
∴，即．
故选：A．
【变式1】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期中）如果与的和等于，那么的值是 ．
【答案】4
【分析】由，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的化简，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键
【变式2】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
∴且，
∴．
【变式3】．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）阅读材料：
小灰学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小灰并开始以下探索：如果设（其中、、均为正整数），则有，小灰也认识到完全符合完全平方和公式；
，，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、均为正整数时，若用含、的式子分别表示，得：＝________，＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数、、填空： ＋ （ ＋ ）2；
(3)若，且、、均为正整数，求的值．
【答案】(1)；
(2)4，2；
(3)7或13
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出的表达式；
（）首先确定好、的正整数值，然后根据（）的结论即可求出的值；
（）根据题意，，首先确定、的值，通过分析，或者，，然后即可确定好的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：设，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵
∴
∵，且、为正整数，
∴，或者，，
∴，或．
【变式4】．（2024八年级下·浙江·专题练习）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，．
证明：∵，为有理数，
∴是有理数，
∵为有理数，是无理数，
∴，
∴，
∴．
(1)若，其中、为有理数，则 ， ；
(2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值；
(3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的值为，的值为
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答；
（2）根据完全平方数进行计算，即可解答；
（3）利用（2）的结论，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，其中、为有理数，
∴，
为有理数，为有理数，
∴是有理数，
∵为有理数，是无理数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
，
整理得：，
∵，为有理数，
∴为有理数，为有理数，
又∵是无理数，
∴，，
解得：，，
∴的值为，的值为．
【变式5】（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足
(1)求、、的值．
(2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以、、为三边能构成三角形，周长为
【分析】（1）利用完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性进行判断即可；
（2）利用三角形三边关系判断并计算周长即可．
【详解】（1）解：
且三者相加得0
（2）∵
∴以、、为三边能构成三角形，周长为
【点睛】本题主要考查完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性以及三角形三边关系，熟练运用几个非负数的和为零，那么这几个数必定为零的结论以及两边之和大于第三边是解决本题的关键
【变式6】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）阅读下面的材料，并回答问题．
像，这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与都互为有理化因式．在进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)填空：的有理化因式为 ；
(2)已知，，求的值；
(3)已知正整数，满足，求，的值．
【答案】(1)
(2)14
(3)，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键．
（1）阅读材料可直接得出结果；
（2）先分母有理化化简，再代入求值；
（3）先去括号，化为，根据等式恒等性列式计算．
【详解】（1）解：的有理化因式为
（2）解：，
，
∴
（3）原式可化为，
，
，
，，
【变式7】．（21-22八年级下·山西临汾·期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：，
．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，．
(1)请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值．
(2)化简：．
(3)若且、、均为正整数，则________．
【答案】(1)，
(2)2
(3)5或7
【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把转化为的形式，即可求解；
（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；
（3）计算的平方，与进行对比即可求出a值．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：
，
同理，
，
．
（3）解：
且、、均为正整数，
，
，，
当，或，时，；
当，或，时，；
故答案为：5或7．
【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．
【变式8】．（22-23八年级上·四川内江·期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p．
①则p的值= ；
②若p的小数部分为k，求的值．
（2）已知与互为相反数，
①则的平方根 ；②解关于x的方程．
（3）已知正实数x的平方根是m和．
①当时，则m ；②若，求x的值．
【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4
【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数；
②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可；
（2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可；
（3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可．
【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴p的小数部分为，
∴；
（2）∵与互为相反数，
∴，
则，
解得∶，
①当时，
，16的平方根为∶；
②当时，化为
，
解得∶；
(3) ∵正实数x的平方根是m和，
∴，
得∶，
①当时，，
解得∶；
②∵，，
∴，
，
，
则，
解得∶，
∵x是正实数，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
【变式9】．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)的有理化因式为 ；
(2)化简：；
(3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．
②已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式；
（2）利用有理化因式变形，再计算即可；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴的有理化因式为；
故答案为：．
（2）
；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，
中，与的角平分线相交于点，
线段，
，
的周长为，面积为3，
，
解得，
即点P到边的距离为；
②
∴，解得：．
【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键．
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