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专题01 二次根式全章复习攻略（3个概念4个性质1个运算2个技巧专练）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）
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这是一份专题01 二次根式全章复习攻略（3个概念4个性质1个运算2个技巧专练）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版），文件包含专题01二次根式全章复习攻略3个概念4个性质1个运算2个技巧专练原卷版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx、专题01二次根式全章复习攻略3个概念4个性质1个运算2个技巧专练解析版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
3个概念
【考查题型一】二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
【例1】．（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式中，不是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A． ，是二次根式，故本选项不符合题意；
B． 被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意；
C． 由于，是二次根式，故本选项不符合题意；
D． ，是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
【详解】
解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【变式1-2】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若都是实数，且，的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得：，
，
故答案为：．
【变式1-3】．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知，求的值．
【答案】13
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、二次根式的性质等知识，熟练掌握相知识是解题关键．首先根据二次根式有意义的条件可得，进而化简绝对值，可得，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
∴，
即，
∴，
解得，
经检验为方程的解，
所以的值为13．
【考查题型二】代数式
【例2】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式的运用，二次根式的混合运算，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
（1）直接把x，y的值代入进行计算即可；
（2）把（1）中的，的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）由（1）知，，
①；
②．
【变式2-1】．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知，则代数式的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把的值代入原式，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式2-2】．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查无理数的估算及代数式化简求值．先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值．
（3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）∵把看成点到两点和的距离之和，
∴两点和的距离便是的最小值，
∴最小值为：．
【考查题型三】最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式3-2】．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 .
【答案】4
【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
【详解】
解：∵，
又∵是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有：，
解得：，
故答案为：4．
【变式3-3】．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【答案】，
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：，，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，
4个性质
（1）；
（2）；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
【考查题型四】
【例4】．化简(－3eq \r(7))2的结果为( )
A．21 B．－21
C．147 D．63
【变式4-1】．化简：(eq \r(3))2＝ ；(eq \r(\f(1,2)))2＝ .
【答案】3，eq \f(1,2)
【变式4-2】.计算：
(1)(eq \r(\f(3,5)))2； (2)(－eq \r(7))2； (3)(4eq \r(3))2.
【解析】(1)原式＝eq \f(3,5)；(2)原式＝7；(3)原式＝42·(eq \r(3))2＝16×3＝48.
【变式4-3】．计算下列各题：
(1)2(eq \r(5))2; (2)(2eq \r(5))2；
(3)(－2eq \r(\f(2,3)))2; (4)(eq \r(a2＋1))2.
【解析】（1）原式＝10; （2）原式＝20； （3）原式＝eq \f(8,3)； （4）原式＝a2＋1.
【考查题型五】eq \r(a2)＝a(a≥0)
【例5】计算：
(1)eq \r(\f(49,36))； (2)eq \r(－\f(4,5)2)； (3)eq \r(1－\r(3)2).
【解析】(1)原式＝eq \r(\f(7,6)2)＝eq \f(7,6)；
(2)原式＝eq \r(\f(16,25))＝eq \r(\f(4,5)2)＝eq \f(4,5)；
(3)原式＝eq \r(\r(3)－12)＝eq \r(3)－1.
【考查题型六】积的算术平方根的性质
【例6】．（21-22八年级下·广西梧州·期中）计算正确的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
【变式6-1】．（22-23八年级下·广西南宁·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法法则．熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【变式6-2】．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）化简： ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式6-3】．（23-24八年级上·广东茂名·期中）计算：；
【答案】
【分析】先计算乘法，再化简，即可求解；
【详解】解：
【考查题型七】商的算术平方根的性质
【例7】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】
本题考查了二次根式的除法运算，解题关键是掌握二次根式的除法法则．根据二次根式的除法法则进行运算即可得解．
【详解】解：原式=，
故答案为．
【变式7-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是二次根式的除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式除法法则．直接进行二次根式的除法运算即可，然后再化简．
【详解】
．
故答案为：．
【变式7-2】．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式7-3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
1个运算
【考查题型八】二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
【例8】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式8-1】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
．
【变式8-2】．（22-23八年级下·四川广安·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式8-3】．（22-23八年级下·四川南充·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、完全平方公式，熟练掌握运算方法是关键．
（1）先化简，再计算减法即可；
（2）先利用完全平方公式展开，再计算加减即可．
【详解】（1）；
（2）
．
【考查题型九】倒数法比较大小
【例9】．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,
,
∵,
∴,
∴．
【变式9-1】．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值；
（2）利用倒数法比较即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
∴，；
（2）；，
，
．
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些．
【变式9-2】．（21-22八年级下·江西宜春·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：
(1)化简：_______；________；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)解方程：
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】(1)直接进行分母有理化即可；
(2)通过变形得到，，比较分母的大小即可求出原来两个式子的大小关系；
(3)设，再与原方程相乘得到，进而求出；再将与原方程相加得到，求出，最后检验即可．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
即：．
（3）解：设，与原方程相乘得：
，
整理得到：，
解之得，
∴，与原方程相加得：
，
，
即：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴方程的根是11．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中细心即可．
【变式9-3】．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(1)化简：______，______（n为正整数）
(2)比较大小：______（填“”，“”或“”）
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解；
（2）先求出和，即可求解；
（3）根据题意，原式可变形为，即可求解．
【详解】（1）解：；
，
故答案是：，；
（2）解：∵，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案是：＜；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键．
【考查题型十】整体代入求值
一、解答题
【例10】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式10-1】．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)24
(2)26
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）根据（1）所求代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：．
【变式10-2】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式，先计算，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
【变式10-3】．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料：
已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：
解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若，求代数式的值；
(2)若，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键．
（1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可；
（2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
3个概念
【考查题型一】二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
【例1】．（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式中，不是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A． ，是二次根式，故本选项不符合题意；
B． 被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意；
C． 由于，是二次根式，故本选项不符合题意；
D． ，是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
【详解】
解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【变式1-2】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若都是实数，且，的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得：，
，
故答案为：．
【变式1-3】．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知，求的值．
【答案】13
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、二次根式的性质等知识，熟练掌握相知识是解题关键．首先根据二次根式有意义的条件可得，进而化简绝对值，可得，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
∴，
即，
∴，
解得，
经检验为方程的解，
所以的值为13．
【考查题型二】代数式
【例2】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式的运用，二次根式的混合运算，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
（1）直接把x，y的值代入进行计算即可；
（2）把（1）中的，的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）由（1）知，，
①；
②．
【变式2-1】．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知，则代数式的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把的值代入原式，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式2-2】．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查无理数的估算及代数式化简求值．先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值．
（3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）∵把看成点到两点和的距离之和，
∴两点和的距离便是的最小值，
∴最小值为：．
【考查题型三】最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式3-2】．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 .
【答案】4
【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
【详解】
解：∵，
又∵是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有：，
解得：，
故答案为：4．
【变式3-3】．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【答案】，
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：，，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，
4个性质
（1）；
（2）；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
【考查题型四】
【例4】．化简(－3eq \r(7))2的结果为( )
A．21 B．－21
C．147 D．63
【变式4-1】．化简：(eq \r(3))2＝ ；(eq \r(\f(1,2)))2＝ .
【答案】3，eq \f(1,2)
【变式4-2】.计算：
(1)(eq \r(\f(3,5)))2； (2)(－eq \r(7))2； (3)(4eq \r(3))2.
【解析】(1)原式＝eq \f(3,5)；(2)原式＝7；(3)原式＝42·(eq \r(3))2＝16×3＝48.
【变式4-3】．计算下列各题：
(1)2(eq \r(5))2; (2)(2eq \r(5))2；
(3)(－2eq \r(\f(2,3)))2; (4)(eq \r(a2＋1))2.
【解析】（1）原式＝10; （2）原式＝20； （3）原式＝eq \f(8,3)； （4）原式＝a2＋1.
【考查题型五】eq \r(a2)＝a(a≥0)
【例5】计算：
(1)eq \r(\f(49,36))； (2)eq \r(－\f(4,5)2)； (3)eq \r(1－\r(3)2).
【解析】(1)原式＝eq \r(\f(7,6)2)＝eq \f(7,6)；
(2)原式＝eq \r(\f(16,25))＝eq \r(\f(4,5)2)＝eq \f(4,5)；
(3)原式＝eq \r(\r(3)－12)＝eq \r(3)－1.
【考查题型六】积的算术平方根的性质
【例6】．（21-22八年级下·广西梧州·期中）计算正确的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
【变式6-1】．（22-23八年级下·广西南宁·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法法则．熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【变式6-2】．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）化简： ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式6-3】．（23-24八年级上·广东茂名·期中）计算：；
【答案】
【分析】先计算乘法，再化简，即可求解；
【详解】解：
【考查题型七】商的算术平方根的性质
【例7】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】
本题考查了二次根式的除法运算，解题关键是掌握二次根式的除法法则．根据二次根式的除法法则进行运算即可得解．
【详解】解：原式=，
故答案为．
【变式7-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是二次根式的除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式除法法则．直接进行二次根式的除法运算即可，然后再化简．
【详解】
．
故答案为：．
【变式7-2】．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式7-3】．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
1个运算
【考查题型八】二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
【例8】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式8-1】．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
．
【变式8-2】．（22-23八年级下·四川广安·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式8-3】．（22-23八年级下·四川南充·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、完全平方公式，熟练掌握运算方法是关键．
（1）先化简，再计算减法即可；
（2）先利用完全平方公式展开，再计算加减即可．
【详解】（1）；
（2）
．
【考查题型九】倒数法比较大小
【例9】．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,
,
∵,
∴,
∴．
【变式9-1】．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值；
（2）利用倒数法比较即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
∴，；
（2）；，
，
．
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些．
【变式9-2】．（21-22八年级下·江西宜春·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：
(1)化简：_______；________；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)解方程：
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】(1)直接进行分母有理化即可；
(2)通过变形得到，，比较分母的大小即可求出原来两个式子的大小关系；
(3)设，再与原方程相乘得到，进而求出；再将与原方程相加得到，求出，最后检验即可．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
即：．
（3）解：设，与原方程相乘得：
，
整理得到：，
解之得，
∴，与原方程相加得：
，
，
即：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴方程的根是11．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中细心即可．
【变式9-3】．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(1)化简：______，______（n为正整数）
(2)比较大小：______（填“”，“”或“”）
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解；
（2）先求出和，即可求解；
（3）根据题意，原式可变形为，即可求解．
【详解】（1）解：；
，
故答案是：，；
（2）解：∵，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案是：＜；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键．
【考查题型十】整体代入求值
一、解答题
【例10】．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式10-1】．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)24
(2)26
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）根据（1）所求代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：．
【变式10-2】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式，先计算，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
【变式10-3】．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料：
已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：
解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若，求代数式的值；
(2)若，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键．
（1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可；
（2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
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