专题6-1 数形结合思想在解题中的巧用（考题猜想，11种类型）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

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类型1：实数与数轴上的点的对应关系在求值中的应用
【例题1】（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB＝AC利用两点间的距离公式便可解答．
【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝−1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1−（−1）＝2−，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴上两点间的距离，求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离，掌握利用数轴上的两点数求解两点间的距离是解题的关键
【变式1】（22-23八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

（1）实数m的值是 ；
（2）求的值 ．
【答案】
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
【详解】解：（1）由题意得：；
故答案为：．
（2）
＝（+2）2+||
＝3+
＝；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键
【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，点为点关于点的对称点，设点所表示的数为．

(1)写出实数的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)4
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据实数的运算法则，可得答案．
【详解】（1）解：因为数轴上表示1、的对应点分别为、，点为点关于点的对称点，
所以是的中点，
则，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
则把代入中，
得，
所以的值为4．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用线段中点的性质是解题关键
【变式3】（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m.
(1) ______.
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
∴
．
（3）解：∵与互为相反数
∴
∴，
∴，
∴
∴，
即的平方根是．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键
类型2：直角三角形三边关系与在数轴上表示实数的综合应用
【例题2】（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可,本题的关键是求出AE的长．
【变式1】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图所示，点O为数轴的原点，A点对应1，作腰长为1的等腰直角三角形，其中，以O为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，作直角三角形，其中，，以O为圆心，长为半径作弧，交数轴于点E，则点E对应的实数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．也考查了实数与数轴，根据勾股定理及实数与数轴的关系即可得解．
【详解】解：∵在腰直角三角形中， ，
∴，
∵，，
∴，
∴点E对应的实数为，
故答案为：．
【变式2】．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
(1)拼成的正方形的边长为______．
(2)如图，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是______．
(3)如图，网格中每个小正方形的边长为，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【答案】(1)
(2)
(3)新的正方形的面积为，新正方形的边长为
【分析】(1)根据题意可得，5个小正方形的面积和是拼成的正方形的面积，求得面积的算术平方根即为大正方形的边长；
(2)利用勾股定理得出直角三角形的斜边长，进而根据线段的和差关系求出点A表示的数；
(3)图中阴影部分的面积相当于6个小正方形的面积，然后求面积的算术平方根即为新正方形的边长．
【详解】（1）设拼成的正方形的边长为，
则，
，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）由勾股定理得：，
点表示的数为，
故答案为：；
（3）根据图形得：，即新的正方形的面积为，新正方形的边长为．
【点睛】题考查勾股定理与无理数、实数与数轴的综合应用，灵活运用图形变换对图形进行剪拼组合是解题关键．
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·阶段练习）（1）在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图中以为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形．（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取，则以原点为圆心，为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作．
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】解：（1）如图：点A表示的数为；
（2）如图，即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，实数与数轴，勾股定理，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
类型3：三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用
【例题3】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．4.8B．5C．3.6D．5.4
【答案】A
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：，且，
，
，
，
四边形是矩形．
如图，连接，则，

当时，的值最小，此时，的面积，
，
的最小值为；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型
【变式1】（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，，，平分，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理．过作于，证明为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出，然后利用等面积法求出，即可求得的面积．
【详解】解：如图，作于．
∵，，，
∴，
∴，即，
∵平分，，，
∴，设，
∵，
，即，
∴，
∴，
．
故答案为
【变式2】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
（）利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
在中，；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形
【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析．
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可．
（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证；
（2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如下图：
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，则，
∴在中，
，
即
解得：，
则．
类型4：特殊三角形的规律在解动点问题中的应用
【例题4】（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，在正方形中， ，，相交于点，、分别是边、上的动点 （点、不与线段、的端点重合），，连接，，．在点、运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是；③四边形的面积始终是；④至少存在一个，使得的周长是；所有正确结论的序号是（ ）

A．①③④B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】C
【分析】通过证明则可证明结论①正确；由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；由①可知，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项③正确；假设存在一个，使得的周长为，则，由①可知是等腰直角三角形，即可判断④正确．
【详解】解：①四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故①正确；
②当时，最小，此时，
面积最小，故②正确；
③由①可知，，
，故③正确；
④，
，
假设存在一个，使得的周长为，则，
由①可知是等腰直角三角形，
，
，的最小值为，
存在一个，使得的周长为，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键
【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为t秒．当是以为腰的等腰三角形时，则 秒．
【答案】或4
【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求出，再分、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
当时，，
则，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
当时，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形时，的值为或4，
故答案为：或4
【变式2】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可；
（2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，，如图：

由（1）知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为
【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）综合与探究
在中，的角度记为．
(1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______；
(2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由；
(3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长．
【答案】(1)；．
(2)，理由见解析．
(3)或．
【分析】（1）由旋转的性质得，再证是等边三角形可得，然后证明可得、，最后根据角的和差即可解答；
（2）同第（1）的方法证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
（3）由（2）可得，从而得，进而得到；过A作于F，分两种情况求得,再根据勾股定理以及全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：；．
（2）解：，理由如下：
∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
由论证①可知，，
∴，
∴，
由，可知共有两种情况，如图，，过A作于F，
∵，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得， ，
∵，即，
∴；
在中，由勾股定理得，，
∵，即
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键
类型5：数与形的关系在解实际问题中的应用
【例题5】（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）．
A．24B．30C．48D．60
【答案】A
【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大；连接，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴这块地的面积为：，
故选：A
【变式1】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．

【答案】11700
【分析】连接，先利用勾股定理求出的长，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可求出四边形的面积，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
、米，米，
（米），
米，米，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
（平方米），
则（元），
即铺这块空地需要投入11700元，
故答案为：11700．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·云南迪庆·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，，
，
，，，
，
是直角三角形，且，
阴影部分的面积
【变式3】（23-24八年级上·山西晋中·期中）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篴顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题：

(1)求的长；
(2)按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．
【答案】(1)
(2)符合要求
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，是解题的关键．
（1）设，则，，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理求出与的长，从而得出的长，再利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，，进而得出结论．
【详解】（1）解：设，则，，
，
，
在中，，
，解得．
的长为；
（2）帐篷符合要求．
理由如下：
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，，
．
是直角三角形，．
帐篷符合要求
类型6：数与形的关系在解折叠问题中的应用
【例题6】（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片沿折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的翻折变换、勾股定理等知识点，找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的是解题的关键．
根据折叠可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解之可得的长，进而得到的长；再根据折叠可得，根据可得，进而得到，根据等角对等边可得，再过E点作于H，再在中利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：∵是四边形与的对称轴，
∴，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过E点作于H，
∴，,
∴．
故选：C．
【变式1】（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．
(1)三角形的形状；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)三角形是等腰三角形，理由见解析；
(2)三角形的面积为78．
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．
（1）利用矩形的性质和折叠的性质求得，即可证明三角形是等腰三角形；
（2）设，则，在中，利用勾股定理列式计算求得，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：三角形是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质知：，
∴，
∴，
∴三角形是等腰三角形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质知：，，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴三角形的面积为
【变式2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；

（2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；

（3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．

【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）；（3）．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质，勾股定理．
（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，在中，利用勾股定理列式求得，，再根据折叠的性质和平行线的性质，求出；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先求得，由勾股定理得到，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：菱形
四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，

由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
∵，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
∵，
，
，
，
，
．
【变式3】（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，将沿对角线折得到．
(1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：；
(2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)5或
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得和，进而得，再由翻折的性质得，据此可依据“”判定和全等；
（2）过点D作于点H，先证和全等得，，再证四边形为矩形，进而可得出，，之间的数量关系；
（3）由翻折的性质得：，，因此当为等腰三角形，有以下两种情况：①当时，过点D作于点H，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长；②时，延长交于点F，过点C作于M，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点E在线段延长线上，
∴，
由翻折的性质得：，
在和中，
∴；
（2），，之间的数量关系是：．
理由如下：
过点D作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
由翻折的性质得：，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即：．
（3）由翻折的性质得：，，
∵为等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当时，过点D作于点H，如图所示：
由（2）可知：，四边形为矩形，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴；
②时，延长交于点F，过点C作于M，如图所示：
由（2）可知：，四边形为矩形，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴；
综上所述：的长为：5或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和矩形的相关知识
类型7：数与形的关系在求最值中的应用
【例题7】（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果．
【详解】解：连接，
∵l垂直平分，
，
，
的最小值是，值为7，
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的对角线，面积为，是等边三角形，若点在对角线上移动，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接交于，连接，根据四边形是菱形，得，故当在上时，最小，最小值为的长度，求出，由勾股定理可得，从而，即得最小值为．
【详解】解：连接交于，连接，如图：

四边形是菱形，
，关于对称，
，
，
当在上时，最小，最小值为的长度，
四边形是菱形，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称−最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形性质，勾股定理，解题的关键是求出等边三角形的边长
【变式2】（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知，平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使最小．

(1)作出点的位置；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作点关于轴的对称点连接交轴于点，连接，点即为所求；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图点即为所求．

（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，则是直角三角形，如图所示，
∵点关于轴的对称点，，
∴，
的最小值．

【点睛】本题考查两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题关键是掌握两点之间线段最短，属于中考常考题型
【变式3】（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．

(1)求直线的函数关系式；
(2)过点C作，交轴于点E，求证：；
(3)点P是直线上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)直线的函数关系式为
(2)见解析
(3)的最小值为
【分析】（1）结合正方形的性质与边长确定C、D的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）结合已知证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答；
（3）连接交直线于点P，由轴对称的性质不难得到的最小值为的长，从而解题．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
，
，
为的中点，
，
，
设直线解析式为，
所以，
解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）证明：是的中点，
，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接交直线于点P，
由（2）可知点D与点F关于直线对称，
，
，
的最小值为的长．
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求一次函数解析式和求坐标点的坐标是解题关键
类型8：数与形的关系在求点的坐标中的应用
【例题7】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，等边三角形的边长为，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【大小】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，作，根据等边三角形三线合一可求出，，再根据勾股定理求出，观察图像所在的象限即可得出答案．
【详解】解：作，
是等边三角形，，
，
边长为，
，，
，
又通过观察图像可知点在第四象限，
的坐标是，
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，将绕点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质．分两种情况，画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知和的长，由此判断点的坐标．
【详解】解：当绕点顺时针旋转，如图，
正方形的两边，分别在轴、轴上，点，
，，
根据旋转的性质，，
的坐标；
当绕点逆时针旋转，如图，
四边形是正方形，，
，，
，，
点的坐标为．
故答案为：或
【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6．

(1)______，______；
(2)______，______；
(3)如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标．
【答案】(1)8，6
(2)16，24
(3)
【分析】（1）根据轴，可知点C与点B的横坐标相同，结合点C到x轴的距离为6，得点C的纵坐标为6，即可得到a、b的值；
（2）根据三角形的面积公式得，即可求出的面积；
（3）由图象可知，再由三角形的面积公式求出，结合四边形的面积是的面积的两倍且P在第二象限，即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解： ，点C在第一象限，轴，且到x轴的距离为6，
，
故答案为：8，6；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：16，24；
（3）解：，
，
，
，
，
，
∵且P在第二象限，
，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键
【变式3】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．
(1)点的坐标为： ；
(2)求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)直线的函数解析式为y＝2x
【分析】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作轴于点，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作轴于点，如图，
、两点的坐标分别为，，
，，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
四边形是平行四边形，
，，
．
，轴，
四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：；
（2）设直线的函数解析式为，将点代入
得：，
解得：，
直线的函数解析式为
类型9：数的几何性质在求函数解析式中的应用
【例题9】（22-23八年级下·山西朔州·期末）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的周长得出，再移项即可得出答案．
【详解】根据题意可得
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理清题中的数量关系式是解题的关键
【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，、，点D在上，，过点D的直线l平分的面积，现将l绕原点逆时针旋转得直线，则直线的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】如图，直线l与x轴交于点E，根据平行四边形的性质得出，，根据旋转的性质可得点E绕原点逆时针旋转的对应点，连接，作轴于，证明，求出点D绕原点逆时针旋转的对应点的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，直线l与x轴交于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点D的直线l平分的面积，
∴，
∴，
∴点E绕原点逆时针旋转的对应点，
如图，点D绕原点逆时针旋转的对应点为，则，，
连接，作轴于，
∵，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的函数解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，求出点D绕原点逆时针旋转的对应点的坐标是解题的关键．
【点睛】此题考查根据实际问题列一次函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，点及在第一象限的动点，且．设的面积为．
(1)求关于的函数解析式（直接写出的取值范围）；
(2)当时，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握一次函数的应用，解一元一次不等式组的应用是解题的关键．
（1）如图，过作于，则，，由点在第一象限，可得，即，然后作答即可；
（2）当时，，解得，，进而可得点坐标．
【详解】（1）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，∴
【变式3】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点C，点P在线段上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线于点Q，设正方形与重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．
(1)求点C的坐标；
(2)直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；
(3)当与x轴重合时，求m的值；
(4)求L与m之间的函数解析式．
【答案】(1)点C的坐标为；
(2)点Q的坐标为；
(3)；
(4)；
【分析】（1）本题考查一次函数交点问题，联立两条直线的解析式解二元一次方程组即可得到答案；
（2）本题考查求函数值，根据平行于x轴得到纵坐标相同，代入求解即可得到答案；
（3）本题考查正方形的性质及坐标系中两点间距离，根据正方形得到，结合坐标列式求解即可得到答案；
（4）本题考查一次函数的应用，根据坐标系中两点距离公式及正方形的性质分正方形在三角形内及部分在内部讨论结合周长公式求解即可得到答案
【详解】（1）解：∵直线与直线交于点C，
∴联立方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：∵点P在线段上（点P不与点O、C重合），
∴，
∵点P作x轴的平行线交直线于点Q，
∴点Q的纵坐标为，
代入得，，
∴点Q的坐标为；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴当与x轴重合时，有，
解得；
（4）解：∵，点Q的坐标为，
∴，
当：时，即：，
，
当时，即：，
，
综上所述：
类型10：图像的信息在解几何问题中的应用
【例题10】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②矩形的面积为8；③；④，其中正确的有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质；
由函数图象可知，当时，直线经过点，求出可得，①错误；由函数图象可知，当时，直线经过点，求出点的坐标，可得，即可计算出矩形的面积为8，②正确；求出直线经过点时的函数解析式，可得此时与轴的交点坐标为，利用勾股定理求出即可得到，③正确；求出直线经过点时的函数解析式，可得此时与轴的交点坐标为，然后计算出可得，④正确．
【详解】解：令直线，
解得：，
点的坐标为，
由函数图象可知：当时，直线经过点，
∴，
点的坐标为，①错误；
由函数图象可知：当时，直线经过点，
∴，
点的坐标为，
，
矩形的面积，②正确；
如图1所示；当直线经过点时，直线交于点．
点的坐标为，，
点的坐标为
设此时直线的解析式为，
将点代入得:，
，
此时直线的解析式为，
当时，
解得，
点的坐标为，
∴，
，
∴，③正确；
如图2所示，当直线经过点时，直线交轴于点．
点的坐标为，，
点的坐标为，
设此时的解析式为，
将代入得：，
解得，
此时直线的解析式为，
当时，
解得，
点的坐标为，
∴，
，④正确；
故答案为：②③④．
【变式1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为（ ）

A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由图象上点知，且点P在点A时，的面积为12，连接交于点M，则可求出和，利用勾股定理求出，得到a．
【详解】解：如图1，

连接交于点M，
由图2知，，且时，的面积为12，
∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解的几何意义是关键
【变式2】（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图像（如图2所示）．

(1)求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求的面积及矩形对角线的长．
【答案】(1)，定义域为；
(2)的面积为24；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先根据题意得到当时，点E于点C重合，进而得到的面积为24；然后由，解得，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为
∴将，代入得，
∴解得
∴，
当时，即
解得
∵点E不与点A重合，
∴定义域为；
（2）当时，点E与点C重合，
∴
∴的面积为24；
由（1）可得，当，解得
∴
∵，四边形是矩形
∴，即
∴解得
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点
【变式3】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点在平行四边形边上沿着 A→B→C→D的方向匀速移动，到达点时停止移动．已知的速度为个单位长度，其所在位置用点表示，到对角线的距离（即垂线段 的长）为个单位长度，其中与的函数图象如图所示．

(1) ， ， ．
(2)若，求出时，与的函数关系式，并求当时的面积．
(3)如图，点，分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值．
【答案】(1)，，；
(2)，
(3)，．
【分析】（）当点运动到点时，，结合图，可知的值；当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，根据图可知；
（）结合（）当时，点在边上，即，则时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，代入点可得，在中，由勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组， 解方程组即可．
【详解】（1）如图，

由题意知：当时，点与点重合时，此时最长为， 即，
当点运动到点时，，
∴，
当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
根据图可知，
故答案为：，，；
（2）结合（）当时，点在边上，即，
∴ ，则时对应的点在和之间的函数图象上，
设此时函数为， 把，分别代入得：
，解得：，
∴此时函数为，
当时，，
在中，由勾股定理得，
∴，
（3）如图，

由题意可得，，，，
∵线段平行于横轴，
∴，即此时的值相同，
∴， 即 ，
联立得：，
解得：，
∴，．
【点睛】此题考查了四边形中动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键
类型11：图像的信息在解实际问题中的应用
【例题11】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中（单位：米）和（单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：
①甲让乙先跑了12米；
②射线表示甲的路程与时间的函数关系；
③甲的速度比乙快1.5米/秒；
④8秒钟后，甲超过了乙
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用．结合函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得，甲让乙先跑了12米，故①正确；
甲的速度比乙快，
射线表示乙的路程与时间的函数关系，故②错误；
（米秒），（米秒），
甲的速度比乙快（米秒），故③正确；
由图象可知，8秒后甲超过了乙，故④正确；
正确的有①③④，故3个；
故选：C
【变式1】．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为 ．
【答案】/150千米
【分析】根据题意所述，设函数解析式为，将代入即可得出函数关系式．
【详解】解：设函数解析式为，
由图像可知：该函数过，把代入得：
解得：
∴函数解析式为：
当时，代入解析式得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答
【变式2】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）．
(1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米．
(2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量．
【答案】(1)240；10
(2)，21升
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求关系式是解题的关键．
（1）根据图象可得汽车已行驶的路程，根据50升时行程为0千米和26升时程为240千米可得汽车的耗油量．
（2）利用待定系数法得到函数关系式，再把代入可剩余量．
【详解】（1）由图象可得，当油箱剩油量为26升时汽车已行驶的路程为240千米，
∵（千米/升），
∴消耗一升油汽车能行驶的路程为10千米．
（2）设，把和代入可得，
，
解得，
∴函数表达式为，
当时，．
答：y关于x的函数表达式为，当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量是21升
【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）“宝安新跨越，领湾向未来”是2023深圳宝安马拉松的主题，该赛事设有马拉松和半程马拉松两个项目，参赛规模达到2万人．湖滨学校的小明同学计划参加下一届的半程马拉松，爸爸鼓励小明积极训练，并且作为陪练帮助记录训练数据．某日，小明从家出发，匀速跑向与家相距4800米的公园，10分钟后爸爸从家里出发沿着相同的路线骑共享单车追上小明后，继续往前途经公园，再往前骑行到达还车点；然后立即以平均150米/分的速度跑了1200米返回公园，刚好与小明同时到达公园门口．假设家、公园和还车点均在同一条笔直的公路上，设小明出发时间为（分），如图所示为爸爸离家的距离（米）与（分）的关系的部分图象，如表所示为小明离家的距离（米）与（分）的部分数据，请解答下列问题：
(1)______；
(2)请在图中把爸爸离家的距离（米）与小明出发时间（分）关系的图象补充完整；
(3)请问小明出发后多少分钟与爸爸第一次相遇？
(4)若用（米）表示小明、爸爸两人之间的距离，请直接写出两人第一次相遇后，关于的函数表达式，并求出两人相距1800米时的时间．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)小明出发后分钟与爸爸第一次相遇
(4)，两人相距1800米时的时间是小明出发分钟或者分钟
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，获取函数图象的信息等知识，
（1）根据表格数据求出小明的跑步速度，问题随之得解；
（2）根据题意家相距还车点6000米，小明爸爸返回用时：（分），进而可得出小明爸爸用返回公园时，小明共计跑步的时间为：（分），据此补全函数图象即可作答；
（3）先求出小明的速度：（米/分），小明爸爸骑共享单车的速度：（米/分），设小明出发后x分钟与爸爸第一次相遇，根据题意有：，解方程即可求解；
（4）结合图象，分当时， 当时，两种情况讨论即可得；令，分情况，解一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）（米/分），
（分），
故答案为：；
（2）∵还车点距离公园1200米，家相距公园4800米，
∴根据题意家相距还车点6000米，
∵小明爸爸以平均150米/分的速度跑了1200米返回公园，
∴小明爸爸用时：（分），
结合函数图象：小明爸爸用返回公园时，小明共计跑步的时间为：（分），
即补全函数图象如下：
（3）小明的速度：（米/分），
小明爸爸骑共享单车的速度：（米/分），
设小明出发后x分钟与爸爸第一次相遇，
根据题意有：，
解得：，
即小明出发后分钟与爸爸第一次相遇；
（4）当时，；
当时，；
综上所示：，
当时，令，
解得：；
当时，令，
解得：；
即两人相距1800米时的时间是小明出发分钟或者分钟
（分）
…
5
15
…
（米）
…
800
2400
4800
…