专题02 勾股定理全章复习攻略（2个概念2个定理3种方法2个应用2种思想专练）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

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2个概念
【考查题型一】互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
【例1】（2023秋•淮阳区期末）判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若且，则；③全等三角形对应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有
A．1个B．2个C．3个D．0个
【变式1-1】（2023秋•太康县期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．直角三角形的两锐角互余B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等D．等腰三角形的底角相等
【变式1-2】．（2023秋•松江区期末）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ．
【变式1-3】.在中，，平分，．
（1）求证：；（请用一对互逆命题进行证明）
（2）写出你所用到的这对互逆命题．
【考查题型二】互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
【例2】．（2023秋•嘉定区期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有” 逆定理．
【变式2-1】．（2023春•三明期末）下列定理有逆定理的是
A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等D．直角都相等
【变式2-2】．（2023秋•澧县期末）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ．
【变式2-3】．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在横线上 ．
①矩形是平行四边形．
②内错角相等，两直线平行．
③如果，那么．
④全等三角形的对应角相等．
2个定理
【考查题型三】勾股定理
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【例3】．（2023春•乾安县期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为
A．4B．C．D．8
【变式3-1】．（2023春•乐陵市期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，，，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．
【直接应用】
（1）已知，，求、两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
【变式3-2】．（2023春•陈仓区期末）如图，在中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）求边的长．
（2）当为等腰三角形时，求的值．
【变式3-3】．（2023春•汝南县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（如图中图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
【考查题型四】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【例4】．（2023春•科左中旗校级期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是
A．3，4，5B．5，12，13C．6，7，8D．1，，
【变式4-1】．（2023春•萝北县期末）如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，．求这块草坪的面积．
【变式4-2】．（2023春•莘县期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高1.6米；
（1）求风筝的垂直高度；
（2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【变式4-3】．（2023春•江津区期末）2023年江津区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地边角地、闲置地，在摸排中发现，在某住宅建成区一处闲置地，城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”．如图，四边形为该住宅建成区一处闲置地，经过测量得知：，，，，．
（1）如图，连接，试求的长；
（2）该块闲置用地相关政府部门计划投入24万元进行打造，经测算，每平方米打造的费用为1000元，请你计算说明将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用是否够用？
3种方法
1．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
2．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
【考查题型五】化曲（折）为直法
【例5】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A．B．
C．D．
【变式5-1】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为，高为，则一只小虫从下底点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是（取3） ．

【变式5-2】．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，?
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
【考查题型六】分类计算法
【例6】．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【变式6-1】．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，等腰三角形中，，点在边上，且．
(1)如图①，当时，将沿折叠，点落在处，再将沿折叠，点也恰好落在点处，此时，的形状是，线段之间的关系是__________；
(2)如图②，绕点在内部任意位置时，线段之间的数量关系是__________．试证明你的猜想：若，求的长．
(3)当图③的位置时，线段之间的数量关系是__________．（不要求证明）
【变式6-2】．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
(1)AC的长为______．
(2)①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为______；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为______；
(3)当是直角三角形时，求t的值；
(4)在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值______．
【考查题型七】化斜为直法
【例7】．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
2个应用
【考查题型八】勾股定理的应用
【例8】．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
【变式8-1】．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【变式8-2】．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，）
【变式8-3】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料：
在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为．

根据上面材料，完成探究：
（1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ．
应用：
（2）平面直角坐标系中，已知两点和，线段 ．
（3）若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ．
拓展：
（4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且，，三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？
【考查题型九】勾股定理的逆定理的应用
【例9】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）著名的赵爽弦图（如图（1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为），可以推导出重要的勾股定理．

(1)请你利用图（2）推导勾股定理．
(2)如图（3）一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于种种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明；并求比原来的路线近了多少．
【变式9-1】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【变式9-2】．（22-23八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“”或“