第13讲 分式的乘除与分式加减（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第13讲 分式的乘除与分式加减（核心考点讲与练）
【知识梳理】
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【核心考点精讲】
一．通分（共1小题）
1．（2018秋•浦东新区校级月考）将分式化成分母为x（x﹣2）的分式： ．
【分析】根据分式的基本性质，直接计算即可．
【解答】解：根据分式的基本性质，在分子分母上同时乘以（x﹣2），
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的通分，解决此题的关键是能熟记分式的基本性质，要注意分子分母必须同时乘同一个数（或式子）．
二．分式的乘除法（共4小题）
2．（2020秋•黄浦区期末）计算：．
【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则、约分法则是解题的关键．
3．（2021秋•徐汇区月考）计算：．
【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案．
【解答】解：原式＝﹣••
＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
4．（2020秋•上海期末）计算：÷．
【分析】把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【解答】解：原式＝×
＝．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、多项式的因式分解是解题的关键．
5．（2020秋•浦东新区期末）计算：÷．
【分析】直接利用分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．
三．分式的加减法（共8小题）
6．（2021秋•宝山区期末）计算：＝ 1 ．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2020秋•松江区期末）计算：﹣．
【分析】直接通分，再利用分式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确进行通分运算是解题关键．
8．（2019秋•浦东新区期末）已知，求的值．
【分析】根据分式的运算法则以及待定系数法即可求出答案．
【解答】解：∵＝＝，
∴，
解得：A＝3，B＝﹣1，
∴＝．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．
9．（2020秋•嘉定区期末）计算的结果是（ ）
A．mB．﹣mC．m+1D．m﹣1
【分析】根据分式加减的运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：
＝﹣
＝
＝m．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的法则是解题的关键．
10．（2022•宝山区二模）化简：＝ ．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．
11．（2021秋•徐汇区月考）计算：．
【分析】先将各个分式的分子和分母进行因式分解，约分后，再按照异分母分式加减法的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝++
＝++
＝++
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式加减法的计算法则以及因式分解是正确解答的前提．
12．（2020秋•徐汇区校级月考）计算：．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：﹣+
＝﹣+
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则．
13．（2021秋•普陀区期末）计算：＝ ．
【分析】根据分式加减法的法则计算，即可得出结果．
【解答】解：
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键．
四．分式的混合运算（共5小题）
14．（2022•大连二模）化简：．
【分析】将能进行因式分解的分母进行因式分解，然后先算除法，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
15．（2021秋•徐汇区月考）计算：．
【分析】先根据分式的乘法法则进行化简，再通分，最后根据同分母的分式相减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（2021秋•浦东新区校级期中）化简：（）•（）．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的乘法．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式混合运算的运算顺序和计算法则，掌握通分和约分的技巧是解题关键．
17．（2020秋•宝山区期末）计算：（1+）÷．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2020秋•静安区期末）÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝÷（•）+（a﹣b）•
＝•﹣b
＝2﹣b．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
五．分式的化简求值（共4小题）
19．（2022春•杨浦区校级期中）先化简，再求值：÷（1+），其中x是不等式组的整数解．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后再解一元一次不等式组，把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：÷（1+）
＝÷
＝•
＝，
，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x2﹣1≠0，
∴x≠0，x≠±1，
∴当x＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．
【分析】原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
21．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•（x+2）
＝x2+x+2，
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴原式＝2+3＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22．（2021秋•乌拉特前旗期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝[﹣]÷
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
【过关检测】
一．选择题（共2小题）
1．（2019秋•青浦区校级期中）已知，则a的取值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值．
【解答】解：＝，
得到5x+1＝a（x﹣2）+11x﹣11＝（a+11）x﹣2a﹣11，
∴a+11＝5，﹣2a﹣11＝1，
解得：a＝﹣6，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
2．（2019秋•徐汇区校级月考）一件工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果两人合作5天则可以完成这件工作的（ ）
A．5（a﹣b）B．5（a+b）C．5（﹣）D．5（+）
【分析】先确定出甲、乙一天完成的工作量，进而得出两人合作一天的工作量，即可得出结论．
【解答】解：∵甲单独做需a天完成，
∴甲一天完成工作的，
∵乙单独做需b天完成，
∴乙一天完成工作的，
∴甲、乙合作一天完成工作的（+），
∴两人合作5天则可以完成这件工作的5（+），
故选：D．
【点评】此题是工程问题，确定出甲乙的工作效率是解本题的关键．
二．填空题（共11小题）
3．（2019秋•闵行区期末）计算：＝ ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝，
故答案为：
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（2020秋•宝山区期末）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5．（2019秋•奉贤区期末）计算：＝ ．
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝．
故答案是．
【点评】本题考查了分式的乘除法．解题的关键是交叉约分．
6．（2022•长宁区二模）计算：＝ ．
【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．
7．（2022•宝山区模拟）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
8．（2020秋•虹口区期末）计算：＝ 2 ．
【分析】原式进行变形后，按照同分母分式的减法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的加减法运算，理解分式的基本性质，掌握同分母分式加减法运算法则是解题关键．
9．（2020秋•普陀区期末）计算：+＝ ．
【分析】先通分，再按照同分母分式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的加法，先通分，再按照同分母分式的运算法则计算是解题的关键．
10．（2020秋•黄浦区期末）计算：＝ ．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
11．（2020秋•静安区期末）已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝ 11 ．
【分析】由题意可知a﹣﹣3＝0，然后根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵a2﹣3a﹣1＝0且a≠0，
∴a﹣﹣3＝0，
∴a﹣＝3，
∴（a﹣）2＝9，
∴a2﹣2+＝9，
∴a2+＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
12．（2021秋•浦东新区校级期中）化简：﹣x2﹣2x﹣4＝ ．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣（x2+2x）﹣4
＝﹣x（x+2）﹣4
＝﹣﹣
＝﹣﹣
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
13．（2021秋•浦东新区校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 14 ．
【分析】利用完全平方公式将原式进行进行变形后，然后结合等式的性质将已知条件进行变形，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝（x+）2﹣2，
∵x2﹣4x+1＝0，且由题意可得x≠0，
∴﹣＝0，
∴x+＝4，
∴原式＝42﹣2＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
三．解答题（共11小题）
14．（2019秋•徐汇区校级期中）
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝6xy2•（）•
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15．（2019秋•金山区期末）计算：．
【分析】原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝﹣
＝﹣．
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
16．（2020秋•嘉定区期末）计算：﹣•
【分析】首先把分式分子分母分解因式，然后再计算乘法，最后计算减法即可．
【解答】解：原式＝﹣，
＝﹣1，
＝﹣，
＝，
＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，关键是掌握计算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
17．（2020秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷﹣1，其中x＝1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝﹣1
＝﹣
＝，
当x＝1时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（2021•松江区二模）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（2020秋•奉贤区期末）先化简，再求值：÷，其中a＝2，b＝﹣3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝﹣，
当a＝2，b＝﹣3时，
原式＝﹣
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（2020秋•浦东新区期末）先化简，再求值：+÷，其中x＝3．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将x＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：+÷
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝﹣4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（2020秋•宝山区期末）先化简，再求值：÷（+1），其中x为满足不等式x﹣1＞1的最小整数．
【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，求出不等式的最小整数解，最后求出答案即可．
【解答】解：÷（+1）
＝÷
＝•
＝，
解不等式x﹣1＞1得：x＞2，
所以不等式的最小整数解是x＝3，
当x＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，分式的混合运算和求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22．（2020秋•上海期末）先化简：÷（）．然后从﹣1＜x＜3挑选一个合适的整数代入求值．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，求出x＝1，再求出答案即可．
【解答】解：÷（）
＝÷
＝•
＝，
∵﹣1＜x＜3，x≠0，x﹣2≠0，x为整数，
∴x＝1，
当x＝1时，原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
23．（2020秋•虹口区期末）先化简，再求值：（x+2﹣），其中x＝﹣2．
【分析】化简分式，首先计算括号内的式子，然后把除转化成乘法，计算乘法即可化简，然后代入数值即可求解．
【解答】解：原式＝÷＝•＝x+3，
当x＝﹣2时，x+3＝﹣2+3＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
24．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 x+7+ ．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ 2或4或﹣10或16 ．
【分析】（1）将分子x2+6x﹣3化为x（x﹣1）+7（x﹣1）+4，依据题意可得；
（2）将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得．
【解答】解：（1）＝＝++＝x+7+；
故答案为：x+7+；
（2）＝＝2x+11﹣，
∵分式的值为整数，
∴﹣为整数，
∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．