第03讲 幂的运算（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第03讲 幂的运算（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一、同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
二、幂的乘方
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（
1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
三、积的乘方
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：
（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【核心考点精讲】
一、同底数幂的乘法
1 （黄浦2018期末10）如果，那么m＝ .
【答案】4;
【解析】把左边的底数全部化成2，.所以5m＝20，m＝4.
2 （浦东四署2018期中13）用的幂的形式表示：＝ .
【答案】；
【解析】原式＝. 运用整体思想，视（x+y）为一整体；运用（n为偶数）化不同底为同底！
3、计算：
（1）；（2）；
（3）．
【答案与解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．
4.计算：
（1）；
（2）（为正整数）；
（3）（为正整数）．
【答案】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
5、已知，求的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：
【答案与解析】解：由得．∴ ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．
二、幂的乘方
1、计算：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
2、已知，求的值．
【答案与解析】 解：∵ ，∴ ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
3.已知，．求的值．
【答案】解：．
4.已知，，求的值．
【答案】解：因为, .
所以.
5. 已知，请用含m、n的代数式表示.
【答案】.
【解析】.利用“”与求解！
6. 已知，求n的值；
【答案】2.
【解析】，所以，，故n＝2. 本题关键在于将左边整理成底数为3的形式，难点在于运用乘法对加法分配律的逆用！
三、积的乘方
1 、 计算：.
【答案】12.
【解析】原式＝.本题的关键是“积的乘方”运算的逆运用.
2、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
3.计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
【过关检测】
1．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】此题在解答时直接利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则分别进行运算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题的关键．
2．（2019·上海市黄浦大同初级中学七年级月考）计算： .
【答案】
【分析】先算积的乘方，再合并同类项即可.
【详解】解：
.

．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.
3．（2019·上海浦东新·七年级月考）已知，，求的值.
【答案】81
【分析】先由已知条件得出，再把所求的式子进行化简，再整 体代入即可.
【详解】解：∵
∴
原式
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方的应用，掌握积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键.
4．（2020·上海市第十中学七年级期中）计算：
【答案】6
【分析】逆用积的乘方，再运用幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了逆用积的乘方，运用幂的乘方运算法则计算是解题的关键．
5．（2020·上海文来实验学校七年级期中）已知的值
【答案】
【分析】先根据幂的运算法则及性质进行化简，再求值．
【详解】解原式=
把代入上式，得
原式
，
【点睛】本题考查了幂的运算法则及性质，运用同底数幂的乘法法则及积的乘方的性质是解本题的关键．
6．（2020·上海文来实验学校七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据同底数幂的运算及幂的乘方直接进行求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的运算及幂的乘方是解题的关键．
7．（2020·上海南洋中学）计算：（结果用幂的形式表示）；
【答案】
【分析】
先根据幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
8．（2020·上海浦东新·七年级月考）（结果用幂的形式表示）
【答案】
【分析】根据题意将变形为，然后进行运算即可
【详解】原式==
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是关键
9．（2019·上海市青浦区华新中学七年级月考）已知，求的值.
【答案】8
【分析】首先可根据积的乘方、幂的乘方将原式变形为；接下来根据等式的性质可得到关于m、n的方程，求解即可求得m、n的值.
【详解】∵，
∴ ，
∴ ，
则=23=8.
【点睛】此题考查积的乘方与幂的乘方，解题关键在于掌握运算法则.
10．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）已知:试用分别表示和.
【答案】；．
【分析】根据同底数幂的逆运算和幂的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】∵
∴；
．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法与幂的乘方的运算公式是解题的关键．
11．（2020·上海浦东新·七年级月考）已知，求的值．
【答案】－1
【分析】由幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则对方程进行运算，列出关于n的一元一次方程，解方程得出n的值，再将n的值代入要求的式子求值即可．
【详解】，
，
，
解得：．
所以．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则以及一元一次方程的求解，熟记运算法则，根据题意列方程求解是解题关键．
12．（2020·上海市民办立达中学）若（，为正整数），且，求的值．
【答案】2020
【分析】根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
即．
此时．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到a、b的值．
13．（2019·上海市闵行区明星学校七年级月考）已知，求的值.
【答案】675
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则，通过变形计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴原式=.
【点睛】本题考查了积的乘方，以及幂的乘方，解题的关键是正确的进行变形计算.
14．（2019·上海市同洲模范学校七年级月考）已知=a,=b,用a,b的代数式表示。
【答案】
【分析】利用积的乘方和幂的乘方进行化简，然后代值计算即可.
【详解】解：，
∵=a,=b，
∴原式=.
【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，解题的关键是熟记运算法则.
15．（2019·上海市洋泾··菊园实验学校七年级月考）
【答案】0
【分析】原式变形为，然后利用有理数的加减法运算法则计算即可.
【详解】解：原式=
故答案为：0.
【点睛】本题考查了有理数的加法运算以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
16．（2019·上海市高桥·东陆学校七年级月考）
【答案】
【分析】先根据幂的乘方计算,再合并同类项进行运算.
【详解】
解原式=,
=
【点睛】本题主要考查幂的乘方,解决本题的关键是要熟练掌握幂的乘方运算法则.
17．（2019·上海市洋泾中学南校七年级月考）计算结果用幂的形式表示： ；
【答案】
【分析】先进行括号内的幂的运算，再进行括号外面的运算.
【详解】原式=
【点睛】本题主要考查幂的乘法、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
18．（2019·上海市洋泾中学南校七年级月考）计算：；
【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项即可.
【详解】原式
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是熟练掌握运算规则.
19．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）把下列式子化成的形式:
【答案】
【分析】将原式中的每项变成同度数幂，运用同底数幂的乘法法则进行计算即可得解．
【详解】，
=
=
=
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，掌握并熟练运用同底数幂的忒覅覅买基金解题的关键．