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人教版八年级上册15.2.3 整数指数幂第2课时教学设计
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这是一份人教版八年级上册15.2.3 整数指数幂第2课时教学设计，共4页。教案主要包含了回顾导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。
解题大招一 用科学记数法表示实际问题中的数据
根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，小数点向左移动，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动，n是负整数．
例1 (1)“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000 036 m，用科学记数法表示该数据为3.6×10－5.
解析：0.000 036用科学记数法表示时，先确定a＝3.6，再观察从原数0.000 036变成3.6，小数点向右移动了5位，且原数0.000 036 的绝对值小于1，所以n＝－5.即0.000 036＝3.6×10－5.
(2)肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700 nm，已知1 nm＝10－9 m，那么700 nm用科学记数法可表示为（ B ）
A．7×10－8 m B．7×10－7 m C．70×10－8 m D．0.7×10－7 m
解析：700 nm＝700×10－9 m＝7×10－7 m，故选B.
解题大招二 将用科学记数法表示的数还原为原数
将用科学记数法表示的数a×10－n(其中1≤|a|＜10，n是正整数)“还原”成一般的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
例2 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.
分析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.000 000 2；
(2)3.14×10－5＝0.000 031 4；
(3)7.08×10－3＝0.007 08；
(4)2.17×10－1＝0.217.
培优点 与科学记数法有关的实际应用题
例1 一根约为1 m长、直径为80 mm的光纤预制棒，可拉成至少400 km长的光纤．试问：1 cm2是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)
分析：根据体积相等可求出拉成后的光纤的横截面积，但需注意单位的统一，再用1 cm2除以横截面积即可得解．
解：这种光纤的横截面积为eq \f(π·（\f(80×10－3,2)）2,400 000)≈1.256×10－8(m2)，
1×10－4÷(1.256×10－8)≈8.0×103.
答：1 cm2是这种光纤的横截面积的8.0×103倍．
例2 “黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种坍缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞．施瓦氏半径(单位：m)的计算公式是R＝eq \f(2GM,c2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：kg)；c＝3×108 m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳的质量约为2×1030 kg，计算太阳的施瓦氏半径．
分析：将已知数据代入公式里面即可求解，最后要用科学记数法表示．
解：R＝eq \f(2×6.67×10－11×2×1030,（3×108）2)≈2.96×103(m)．
答：太阳的施瓦氏半径约为2.96×103 m.
教学目标
课题
15.2.3 第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
授课人
素养目标
1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
2.会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.
3.通过用科学记数法表示不同数值，感受数学知识体系内部的转化与统一.
教学重点
用科学记数法表示绝对值小于1的数．
教学难点
用科学记数法表示的数的简单运算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
设计意图
回顾“用科学记数法表示较大的数”这个知识点，以此作为学习本节课的知识铺垫.
【回顾导入】
问题 在七年级第一章有理数中，我们已经讨论过用科学记数法表示较大的数，我们来回顾一下，做一做下面的练习，然后说说科学记数法指的是什么？
用科学记数法表示下列各数：
(1)光速约为300 000 000 m/s；3×108
(2)太阳半径约为696 000 km；6.96×105
(3)世界人口数在2022年底达到8 000 000 000.8×109
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，使用的是科学记数法.
我们已经知道了一些较大的数适合用科学记数法表示，那么在引入负整数指数幂后，我们如何用科学记数法表示小于1的正数呢？就让我们一起进入今天这节课的学习！
【教学建议】
从生活实际中的数据出发引导学生回顾已学的旧知识，并给足学生独立思考的时间，教师再进行总结.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
从用科学记数法表示较大的数，逐步过渡到用科学记数法表示小于1的正数，让学生感受知识的联系与转化.
探究点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
预备练习
让我们先回忆一下上一节课学习的负整数指数幂的相关知识：
a0＝1(a≠0)，a－n＝eq \f(1,an)(a≠0，n是正整数)
请同学们完成下面练习.
1.填空：106＝1 000 000；105＝100 000；104＝10 000；
103＝1 000；102＝100；101＝10
2.根据上面的规律填空：100＝1.
3.根据上面的规律继续填空：10－1＝0.1；10－2＝0.01；10－3＝0.001；
10－4＝0.000 1；10－5＝0.000 01；10－6＝0.000 001.
由此规律可知
(n等于第一个非0数前面所有0的个数)
按照此规律，我们能不能尝试着用科学记数法表示小于1的正数？
0.01＝10－2；0.000 01＝10－5；
0.000 025 7＝2.57×0.000 01＝2.57×10－5；
0.000 000 025 7＝2.57×0.000 000 01＝2.57×10－8.
【教学建议】
用科学记数法表示不同类型的数，都应写成a×10n的形式，其中“×”号前面a的写法是固定的，重点引导学生观察10的指数n的变化规律，并根据观察结果将这种规律从正整数延伸到0，再进一步延伸到负整数，了解用科学记数法表示小于1的正数的合理性.
教学步骤
师生活动
问题 就这样，我们把小于1的正小数也写成了a×10n的形式，那么
(1)a的取值范围是什么？
(2)10的指数n是什么数？
(3)n的绝对值与小数点后面第一个非零数字前面0的个数有什么关系？
教师总结：用科学记数法表示小于1的正数，把它写成a×10n的形式，特征如下：
(1)a的取值范围是1≤a＜10；(2)n为负整数；
(3)|n|等于小数点后面第一个非0数字前所有0的个数(包括小数点前面的0).
即，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.
应用：这种形式更便于比较数的大小，例如2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍.
思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是－9；如果有m个0时，10的指数是－m－1.
例 用科学记数法表示下列数：
(1)0.3； (2)－0.000 78； (3)0.000 020 09
解：(1)0.3＝3×10－1. (2)－0.000 78＝－7.8×10－4.
(3)0.000 020 09＝2.009×10－5.
教师总结 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤：
【对应训练】教材P145下面练习第1题．
【教学建议】
教师需提示学生用科学记数法也可以表示大于－1的负数，如例题(2)中－0.000 78可以表示为－7.8×10－4，即绝对值小于1的非零数都可以用科学记数法表示成a×10－n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数．
活动三：知识延伸，补充新知
设计意图
安排例1是为了给学生的计算练习做示范，提高学生的运算能力．
例1 计算：
(1)(3×10－5)×(5×10－3)；
(2)(－1.8×10－10)÷(9×108)．
解：(1)原式＝3×10－5×5×10－3
＝(3×5)×(10－5×10－3)
＝15×10－8
＝1.5×10－7；
(2)原式＝(－1.8÷9)×(10－10÷108)
＝－0.2×10－18
＝－2×10－19.
【教学建议】
讲完例题后教师总结用科学记数法表示的数的运算技巧：
(1)系数乘系数，幂乘幂．(2)系数除以系数，幂除以幂．(3)先乘方，再乘除．还要提醒学生：要用括号括起来再计算，防止改变运算顺序导致错解．
教学步骤
师生活动
设计意图
安排例2是想通过例题中描述的直观形象的对比，培养数学直观想象的能力和数感，并体会科学记数法与其他知识(包括数学学科内部和其他学科)之间的联系，同时强化了对知识点的应用意识.
例2 (教材P145例10)纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?
解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m.
(10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018.
1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
【对应训练】
1．教材P146练习第2题．
2．已知1 cm3的氢气的质量约为0.000 09 g，一块橡皮的质量为45 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量为9×10－5 g；
(2)这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍(用科学记数法表示)．
【教学建议】
教师提醒学生仔细审题，注意单位不统一时首先要统一单位，此处是将单位统一为“m”，并用科学记数法表示，再进一步列式计算．
教师可补充：018是一个非常巨大的数字，它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍．
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1．如何用科学记数法表示绝对值小于1的数？
2．科学记数法表示的数是如何进行简单的运算的？
3．用科学记数法表示的不同数值如何比较大小？
【知识结构】
【作业布置】
1．教材P147习题15.2第8，9题．
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
用科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10－n(1≤|a|＜10，n是正整数)
教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有学生的讨论，还有在教师指导下学生的自学等．充分调动了学生学习的积极性，发挥了学生的主体作用，拓展了学生的学习空间，并给学生提供了充分发表意见、展示自我的舞台．
解题大招一 用科学记数法表示实际问题中的数据
根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，小数点向左移动，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动，n是负整数．
例1 (1)“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000 036 m，用科学记数法表示该数据为3.6×10－5.
解析：0.000 036用科学记数法表示时，先确定a＝3.6，再观察从原数0.000 036变成3.6，小数点向右移动了5位，且原数0.000 036 的绝对值小于1，所以n＝－5.即0.000 036＝3.6×10－5.
(2)肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700 nm，已知1 nm＝10－9 m，那么700 nm用科学记数法可表示为（ B ）
A．7×10－8 m B．7×10－7 m C．70×10－8 m D．0.7×10－7 m
解析：700 nm＝700×10－9 m＝7×10－7 m，故选B.
解题大招二 将用科学记数法表示的数还原为原数
将用科学记数法表示的数a×10－n(其中1≤|a|＜10，n是正整数)“还原”成一般的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
例2 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.
分析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.000 000 2；
(2)3.14×10－5＝0.000 031 4；
(3)7.08×10－3＝0.007 08；
(4)2.17×10－1＝0.217.
培优点 与科学记数法有关的实际应用题
例1 一根约为1 m长、直径为80 mm的光纤预制棒，可拉成至少400 km长的光纤．试问：1 cm2是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)
分析：根据体积相等可求出拉成后的光纤的横截面积，但需注意单位的统一，再用1 cm2除以横截面积即可得解．
解：这种光纤的横截面积为eq \f(π·（\f(80×10－3,2)）2,400 000)≈1.256×10－8(m2)，
1×10－4÷(1.256×10－8)≈8.0×103.
答：1 cm2是这种光纤的横截面积的8.0×103倍．
例2 “黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种坍缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞．施瓦氏半径(单位：m)的计算公式是R＝eq \f(2GM,c2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：kg)；c＝3×108 m/s，为光在真空中的速度．
已知太阳的质量约为2×1030 kg，计算太阳的施瓦氏半径．
分析：将已知数据代入公式里面即可求解，最后要用科学记数法表示．
解：R＝eq \f(2×6.67×10－11×2×1030,（3×108）2)≈2.96×103(m)．
答：太阳的施瓦氏半径约为2.96×103 m.
教学目标
课题
15.2.3 第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
授课人
素养目标
1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
2.会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算.
3.通过用科学记数法表示不同数值，感受数学知识体系内部的转化与统一.
教学重点
用科学记数法表示绝对值小于1的数．
教学难点
用科学记数法表示的数的简单运算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
设计意图
回顾“用科学记数法表示较大的数”这个知识点，以此作为学习本节课的知识铺垫.
【回顾导入】
问题 在七年级第一章有理数中，我们已经讨论过用科学记数法表示较大的数，我们来回顾一下，做一做下面的练习，然后说说科学记数法指的是什么？
用科学记数法表示下列各数：
(1)光速约为300 000 000 m/s；3×108
(2)太阳半径约为696 000 km；6.96×105
(3)世界人口数在2022年底达到8 000 000 000.8×109
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，使用的是科学记数法.
我们已经知道了一些较大的数适合用科学记数法表示，那么在引入负整数指数幂后，我们如何用科学记数法表示小于1的正数呢？就让我们一起进入今天这节课的学习！
【教学建议】
从生活实际中的数据出发引导学生回顾已学的旧知识，并给足学生独立思考的时间，教师再进行总结.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
从用科学记数法表示较大的数，逐步过渡到用科学记数法表示小于1的正数，让学生感受知识的联系与转化.
探究点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
预备练习
让我们先回忆一下上一节课学习的负整数指数幂的相关知识：
a0＝1(a≠0)，a－n＝eq \f(1,an)(a≠0，n是正整数)
请同学们完成下面练习.
1.填空：106＝1 000 000；105＝100 000；104＝10 000；
103＝1 000；102＝100；101＝10
2.根据上面的规律填空：100＝1.
3.根据上面的规律继续填空：10－1＝0.1；10－2＝0.01；10－3＝0.001；
10－4＝0.000 1；10－5＝0.000 01；10－6＝0.000 001.
由此规律可知
(n等于第一个非0数前面所有0的个数)
按照此规律，我们能不能尝试着用科学记数法表示小于1的正数？
0.01＝10－2；0.000 01＝10－5；
0.000 025 7＝2.57×0.000 01＝2.57×10－5；
0.000 000 025 7＝2.57×0.000 000 01＝2.57×10－8.
【教学建议】
用科学记数法表示不同类型的数，都应写成a×10n的形式，其中“×”号前面a的写法是固定的，重点引导学生观察10的指数n的变化规律，并根据观察结果将这种规律从正整数延伸到0，再进一步延伸到负整数，了解用科学记数法表示小于1的正数的合理性.
教学步骤
师生活动
问题 就这样，我们把小于1的正小数也写成了a×10n的形式，那么
(1)a的取值范围是什么？
(2)10的指数n是什么数？
(3)n的绝对值与小数点后面第一个非零数字前面0的个数有什么关系？
教师总结：用科学记数法表示小于1的正数，把它写成a×10n的形式，特征如下：
(1)a的取值范围是1≤a＜10；(2)n为负整数；
(3)|n|等于小数点后面第一个非0数字前所有0的个数(包括小数点前面的0).
即，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.
应用：这种形式更便于比较数的大小，例如2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍.
思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是－9；如果有m个0时，10的指数是－m－1.
例 用科学记数法表示下列数：
(1)0.3； (2)－0.000 78； (3)0.000 020 09
解：(1)0.3＝3×10－1. (2)－0.000 78＝－7.8×10－4.
(3)0.000 020 09＝2.009×10－5.
教师总结 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤：
【对应训练】教材P145下面练习第1题．
【教学建议】
教师需提示学生用科学记数法也可以表示大于－1的负数，如例题(2)中－0.000 78可以表示为－7.8×10－4，即绝对值小于1的非零数都可以用科学记数法表示成a×10－n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数．
活动三：知识延伸，补充新知
设计意图
安排例1是为了给学生的计算练习做示范，提高学生的运算能力．
例1 计算：
(1)(3×10－5)×(5×10－3)；
(2)(－1.8×10－10)÷(9×108)．
解：(1)原式＝3×10－5×5×10－3
＝(3×5)×(10－5×10－3)
＝15×10－8
＝1.5×10－7；
(2)原式＝(－1.8÷9)×(10－10÷108)
＝－0.2×10－18
＝－2×10－19.
【教学建议】
讲完例题后教师总结用科学记数法表示的数的运算技巧：
(1)系数乘系数，幂乘幂．(2)系数除以系数，幂除以幂．(3)先乘方，再乘除．还要提醒学生：要用括号括起来再计算，防止改变运算顺序导致错解．
教学步骤
师生活动
设计意图
安排例2是想通过例题中描述的直观形象的对比，培养数学直观想象的能力和数感，并体会科学记数法与其他知识(包括数学学科内部和其他学科)之间的联系，同时强化了对知识点的应用意识.
例2 (教材P145例10)纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?
解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m.
(10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018.
1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
【对应训练】
1．教材P146练习第2题．
2．已知1 cm3的氢气的质量约为0.000 09 g，一块橡皮的质量为45 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量为9×10－5 g；
(2)这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍(用科学记数法表示)．
【教学建议】
教师提醒学生仔细审题，注意单位不统一时首先要统一单位，此处是将单位统一为“m”，并用科学记数法表示，再进一步列式计算．
教师可补充：018是一个非常巨大的数字，它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍．
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1．如何用科学记数法表示绝对值小于1的数？
2．科学记数法表示的数是如何进行简单的运算的？
3．用科学记数法表示的不同数值如何比较大小？
【知识结构】
【作业布置】
1．教材P147习题15.2第8，9题．
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
用科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10－n(1≤|a|＜10，n是正整数)
教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有学生的讨论，还有在教师指导下学生的自学等．充分调动了学生学习的积极性，发挥了学生的主体作用，拓展了学生的学习空间，并给学生提供了充分发表意见、展示自我的舞台．
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