安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了在下列四组数中，属于勾股数的是，如图所示的是某中学九，若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5
2．下列方程中，属于一元二次方程的有（ ）个．
A．ax2+bx+c＝0B．C．x2﹣1+2x3＝0D．x2﹣4x+4＝0
3．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．1，，D．5，12，13
4．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
5．如图所示的是某中学九（2）班的数学一模成绩统计图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．关于该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．该班的总人数是40 B．成绩在90分～100分之间的人数最多
C．优秀（≥90分）的人数是22 D．成绩在80分～90分的人数占总人数的30%
6．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x＝2有两个相等的实数根，则a=（ ）．
A．1B．C．D．
7．如图，平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝260°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．50°C．100°D．130°
8．若6＜m＜10，则化简+的结果是（ ）
A．﹣7B．7C．2m﹣13D．13﹣2m
9．已知两个不等实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，则+的值为（ ）
A．B．2C．2或D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4，则线段PC的长为（ ）
A．B．2C．2D．
二．填空题（每题5分，共20分）
11．关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根是﹣1，则a＝ ．
12．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝DE＝9，，DE⊥AC于E，S△DAC＝54，则∠ACB的度数等于 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，AD＝BD＝8，过点D作DO⊥AB,交AB于点O，AC于点F，连接BF，已知∠BCD=60°，BD=6，以点O为原点建立坐标系，则点C的坐标为______
14．如图，矩形ABCD中，，BC＝4，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点H处，则折痕EF的长为 ．
三．解答题（共9小题）
15．（本题8分）计算：．
16．（本题8分）用适当方法解方程：x2﹣10x+25＝2（x﹣5）
17．（本题8分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积．
18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）在平移的过程中，求△ABC扫过的面积．
19．（本题10分）观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
…
（1）按照此规律，第5个等式是： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
（本题10分）随机抽取部分八年级学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．m为B组所占的百分率
请回答以下问题：
（1）本次调查样本的容量是 ；m= ；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该学校有2000名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
21．（本题12分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与BC相交于点E，与AD相交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若四边形AECF的周长为20，=24，求四边形AECF的对角线之．
22．（本题12分）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
（1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为x，依题意填写下列表格：
（2）求新品种花生亩产量的增长率．
23．（本题14分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ABC＝60°，AB＝6．
（1）求BD的长；
（2）点E在线段BD上，且AE⊥AB，点F为线段BC上一动点．
①当BF＝2时，求四边形DEFC的面积；
②记2EF+BF的最小值为a，OF+AF的最小值为b．求a2﹣b2的值．
安庆市外国语学校2023-2024学年第二学期八年级期末考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题4分，共40分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5
【解答】解：由题意x﹣5≥0，
解得x≥5，
故选：B．
2．下列方程中，属于一元二次方程的有（ ）个．
A．ax2+bx+c＝0B．C．x2﹣1+2x3＝0D．x2﹣4x+4＝0
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，故A不正确；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确；
．x2﹣1+2x3＝0是一元三次方程，故C不正确；
D、3x2﹣4x+6＝0是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
3．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．1，，D．5，12，13
【解答】解：A、1+4≠9，不能构成三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，不符合题意；
C、，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【解答】解：多边形的边数为360÷45＝8，
所以这个多边形是八边形，
故选：D．
5．如图所示的是某中学九（2）班的数学一模成绩统计图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．关于该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．该班的总人数是40 B．成绩在90分～100分之间的人数最多
C．优秀（≥90分）的人数是22 D．成绩在80分～90分的人数占总人数的30%
【解答】解：A．该班的总人数是2+4+8+12+14＝40，故A选项说法正确，不符合题意；
B．由统计图可知，成绩在90分～100分之间的人数是14，是最多的，故B选项说法正确，不符合题意；
C．优秀（≥90分）的人数是14+8+2＝24，故C选项说法错误，符合题意；
D．成绩在80～90分的人数是12，占总人数的×100%＝30%，故D选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
6．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x＝2有两个相等的实数根，则a=（ ）．
A．1B．C．D．
【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝22﹣4（a﹣1）×（﹣2）＝0，
解得a＝．
故选：C．
7．如图，平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝260°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．50°C．100°D．130°
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠C＝260°，
∴∠A＝∠C＝130°，
故选：D．
8．若6＜m＜10，则化简+的结果是（ ）
A．﹣7B．7C．2m﹣13D．13﹣2m
【解答】解：∵5＜m＜9，
∴3﹣m＜0，m﹣10＜0，
∴+＝m﹣3+10﹣m＝7，
故选：B．
9．已知两个不等实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，则+的值为（ ）
A．B．2C．2或D．
【解答】解：∵实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，
∴m、n为方程3x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝，mn＝﹣．
∴+＝＝＝﹣2＝﹣2＝，
故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4，则线段PC的长为（ ）
A．B．2C．2D．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
∵ED＝3＝CD，
∴∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝45°，
如图1，在CD上取点N，使CN'＝CN，连接PN′，MN'，
∴PM+PN＝PM+PN′＝4，
∵PM+PN′＞MN′，MN′≥4，
∴MN＝4，
∴MN'∥BC，
即M、P、N三点共线，
如图2，则四边形BCNM是矩形，
∴BM＝CN′，∠CPN'＝45°＝∠PCN'，
∴PN′＝CN′＝CN＝BM＝BN，
∵CN+BN＝4，
∴CN＝BN＝2，PN'＝CN'＝CN＝2，
由勾股定理得，
故选：C．
二．填空题（每题5分，共20分）
11．关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根是﹣1，则a＝ ．
【解答】解：把x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0得：
1﹣a+2＝0，
3﹣a＝0，
a＝3，
故答案为：3．
12．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝DE＝9，，DE⊥AC于E，S△DAC＝54，则∠ACB的度数等于 ．
【解答】解：∵DE＝3，S△DAC＝6，
∴＝6，
解得：AC＝4，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
即∠ACB＝90°，
故答案为：90°．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，AD＝BD＝8，过点D作DO⊥AB,交AB于点O，AC于点F，连接BF，已知∠BCD=60°，BD=6，以点O为原点建立坐标系，则点C的坐标为______
【解答】解：过点C作x轴垂线于点G
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝BD，∠BCD=60°
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴BC＝BD＝AB＝6，
∵DO⊥AB
∴AO＝BO=3
在△COG中，∠CBG＝60°，BG＝BC=3,CG＝
∴点C的坐标为(6，)
故答案为(6，)
14．如图，矩形ABCD中，，BC＝4，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点H处，则折痕EF的长为 ．
【解答】解：如图所示，连接CE，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝2，
由折叠可得，AE＝GE，∠EGF＝∠A＝90°，
∴DE＝GE，
又∵∠D＝90°，
∴∠EGC＝∠D＝90°，
又∵CE＝CE，
∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL），
∴CD＝CG＝，
设AF＝x，则GF＝x，BF＝﹣x，CF＝+x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△BCF中，BF2+BC2＝CF2，
即（﹣x）2+42＝（x+）2，
解得x＝，
∴AF＝，
∵∠A＝90°，
∴Rt△AEF中，EF＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
15．（本题8分）计算：．
【解答】解：
＝9+2﹣1﹣3
＝5+2．
16．（本题8分）用适当方法解方程：x2﹣10x+25＝2（x﹣5）
【解答】解：（1）∵原方程可化为（x﹣5）2＝2（x﹣5）
（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝5，x2＝7．

17．（本题8分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵AB＝13，AC＝12，
∴AC2+BC2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴图中阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△BDC的面积
＝AC•BC﹣BD•CD
＝×12×5﹣×3×4
＝30﹣6
＝24，
∴图中阴影部分的面积为24．
18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）在平移的过程中，求△ABC扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）△ABC扫过的面积＝
＝
＝24.5；
19．（本题10分）观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
…
（1）按照此规律，第5个等式是： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【解答】（1）解：根据规律可知，第5个等式是：
，
故答案为：；
（2）根据规律猜想第n个等式为：，
证明：
＝
＝
＝
＝，
故猜想成立，即．
（本题10分）随机抽取部分八年级学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．m为B组所占的百分率
请回答以下问题：
（1）本次调查样本的容量是 ；m= ；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该学校有2000名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
【解答】解：（1）本次调查样本的容量是40÷40%＝100，
故答案为：100；m=20%
（2）如图所示
（3）估计月消费零花钱不少于300元的学生数为2000×＝600（人）．
21．（本题12分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与BC相交于点E，与AD相交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若四边形AECF的周长为20，=24，求四边形AECF的对角线之和．
【解答】（1）证明：设AC，EF交于点O，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACE＝∠CAF，∠AFE＝∠CEF，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：如（1）图，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO，EO＝FO，
∵菱形AECF的周长为20，=24，
∴，
∴
在Rt△AOF中，AO2+FO2＝AF2，
∴AO2+（7﹣AO）2＝25，
∴AO＝3或AO＝4，
当AO＝3时，FO＝7﹣3＝4，则AC＝2AO＝6，EF＝2OF＝8，
∴四边形AECF的对角线之和14；
当AO＝4时，FO＝7﹣4＝3，则AC＝2AO＝8，EF＝2OF＝6，
∴四边形AECF的对角线之和14；
综上，四边形AECF的对角线之和14．
22．（本题12分）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
（1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为x，依题意填写下列表格：
（2）求新品种花生亩产量的增长率．
【解答】解：（1）花生的现在亩产量200（1+x），花生的现在出油率50%（1+x）；
（2）设新品种花生亩产量的增长率为x．
200（1+x）×50%（1+x）＝132
x1＝，x2＝﹣（舍去）．
x＝＝20%．
故新品种花生亩产量的增长率为20%．
23．（本题14分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ABC＝60°，AB＝6．
（1）求BD的长；
（2）点E在线段BD上，且AE⊥AB，点F为线段BC上一动点．
①当BF＝2时，求四边形DEFC的面积；
②记2EF+BF的最小值为a，OF+AF的最小值为b．求a2﹣b2的值．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝6，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∠OBC＝∠OBA＝ABC＝30°，
在Rt△ABO中，∠OBA＝30°
∴OA＝AB＝3，
∴OB＝＝3．
∴BD＝2OB＝6．
（2）①如图，连接CE，设AE＝x，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°．
在Rt△ABE中，∠EBA＝30°，
BE＝2AE＝2x，
AE2+AB2＝BE2，
即x2+62＝（2x）2，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝2．
∴AE＝2．
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴CE＝AE＝2，∠BCE＝∠BAE＝90°．
S△BEF＝BF•CE＝×2×＝2．
S△BCD＝BD•OC＝×6．
∴S四形DEFC＝S△BCD﹣S△BEF＝9．
∴四边形DEFC的面积是7．
②如图，过点B作BH⊥AB，且BH＝OB，过点F作FG⊥BH于点G，连接FH．
∵BH⊥AB，FG⊥BH，
∴∠ABH＝∠BGF＝90°，
∴∠CBH＝∠ABH﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BFG中，FG＝BF．
∴2EF+BF＝2（EF+BF）＝2（EF+FG）≥2EG．
∴当E、F、G共线时，2EF+BF的值最小，此时∠EGB＝90°．
∴∠EGB＝∠ABG＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABGE是矩形．
∴EG＝AB＝6．
∴a＝（2EF+BF）＝2EG＝12．
在△OBF和△HBF中，
∴△OBF≌△HBF（SAS）．
∴FH＝OF，
∴OF+AF＝HF+AF≥AH．
∴当A、F、H共线时，OF+AF的值最小．
在Rt△ABH中，
AH＝．
∴b＝AH＝3．
∴a2﹣b2＝122﹣63＝81．
∴a2﹣b2的值为81．
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