安徽省安庆市外国语学校2022—2023学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案）

这是一份安徽省安庆市外国语学校2022—2023学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案），共22页。
安徽省安庆市外国语2022—2023学年九年级上学期开学考数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）用配方法解方程x2﹣8x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝1 B．（x﹣8）2＝17 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝1
4．（3分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则3m+3n﹣mn的值是（　　）
A．15 B．13 C．﹣9 D．9
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　）

A．3 B．2.4 C．2.5 D．
7．（3分）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小
8．（3分）对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　）
A．该函数图象的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③OA＝OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱ABCD是正方形的有（　　）组．

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）有关于x的两个方程：ax2+bx+c＝0与ax2﹣bx+c＝0，其中abc＞0，下列判断正确的是（　　）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣5的图象的顶点坐标是 　 　．
12．（4分）将抛物线y＝x2先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 　 　．
13．（4分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有 　 　长．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，∠DAC＝30°，点M是BC边的中点，点P是对角线AC上一动点（0＜CP＜1.5），将△CPM沿PM折叠，点C落在点C'处，线段MC′交AC于点N，连接AC，当△ANC′是直角三角形时，线段AC′的长度为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分54分）

15．（6分）计算：
（1）x2﹣2x＝2x﹣4．
（2）．
16．（6分）图①、②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画出一个以AB为边的等腰直角三角形ABC；
（2）在图②中画出一个以AB为边的矩形ABCD，并直接写出矩形ABCD的面积．


17．（6分）已知，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m．
（1）若图象经过原点，求m的值；
（2）若图象的对称轴是y轴，求m的值．
18．（8分）某校随机抽取了50名九年级学生进行立定跳远水平测试，并把测试成绩（单立：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩频数分布表

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，样本成绩的中位数落在 　 　范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级组共有1200名学生，请估计该校九年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

19．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．

20．（8分）安庆百货大楼以进价120元/件购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在如表中的数量关系：
每件销售价格/元
130
135
140
…
180
…
日销售量/件
70
65
60
…
a
…
（1）请你观察表格中数据的变化规律，填写表中的a值为 　 　．
（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？
（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式．
21．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BE＝﹣AB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．


安徽省安庆市外国语2021—2022学年九年级上学期开学考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别化简二次根式，从而根据最简二次根式的概念进行分析判断．
【解答】解：A、原式＝，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、原式＝，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、原式＝，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（3分）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：②④是二次函数，共2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣8x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝1 B．（x﹣8）2＝17 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝1
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
则x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（3分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个正多边形的边数是9．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
5．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则3m+3n﹣mn的值是（　　）
A．15 B．13 C．﹣9 D．9
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣3，然后利用整体代入的方法求3m+3n﹣mn的值．
【解答】解：根据题意，得m+n＝4，mn＝﹣3，
所以3m+3n﹣mn＝3（m+n）﹣mn＝3×4﹣（﹣3）＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　）

A．3 B．2.4 C．2.5 D．
【分析】在菱形中，根据已知条件中对角线的长，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出菱形边长AD的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝AD．从而求出OE．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形．
∴AO＝AC＝3，OD＝BD＝4，且AC⊥BD．
在Rt△AOD中，AD＝＝5．
∵OE是斜边AD上的中线．
∴OE＝AD＝2.5．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质与直角三角形的有关知识，熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分是解题的关键．
7．（3分）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣，然后比较三个点都直线x＝﹣的远近得到a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵y＝x2+x+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴点（3，c）离直线x＝﹣最远，（﹣1，﹣b）离直线x＝﹣最近，
∴c＞a＞b；
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（3分）对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　）
A．该函数图象的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解答】解：A、y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；
B、因y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、a＝＞0，开口向上，故C不符合题意；
D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数对称轴、顶点、与x轴（y轴）交点是解决此类题的关键．
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③OA＝OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱ABCD是正方形的有（　　）组．

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形可判定①②组合可以；
根据有一个角是直角，且对角线互相垂直的平行四边形是正方形可判定②④组合可以；
根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可判定③④组合可以；
根据对角线相等且一组邻边相等的平行四边形是正方形可判定①③组合可以．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是正方形，
故①②为一组，能判定▱ABCD是正方形；
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
故②④为一组，能判定▱ABCD是正方形；
在▱ABCD中，AC＝2OA，BD＝2OB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是正方形，
故③④为一组，能判定▱ABCD是正方形；
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形，
故①③为一组，能判定▱ABCD是正方形；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形和正方形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
10．（3分）有关于x的两个方程：ax2+bx+c＝0与ax2﹣bx+c＝0，其中abc＞0，下列判断正确的是（　　）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
【解答】解：两个方程的根的判别式相等为Δ＝b2﹣4ac，所以两个方程解的情况相同，所以排除A；
两个方程只有b的系数是相反数，其他系数相同，所以必有一根是互为相反数，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣5的图象的顶点坐标是 　（2，﹣5）　．
【分析】根据二次函数的顶点形式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣5的解析式是顶点形式，
所以图象的的顶点坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
【点评】本题考查的是求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法．
12．（4分）将抛物线y＝x2先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 　y＝（x+3）2+2　．
【分析】根据平移规律即可求出新抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为y＝（x+3）2+2，
故答案为：y＝（x+3）2+2．
【点评】本题主要考查了二次图象的图象与几何变换．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（4分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，则绳索有 　　长．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得：x＝，
答：绳索长为尺，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，∠DAC＝30°，点M是BC边的中点，点P是对角线AC上一动点（0＜CP＜1.5），将△CPM沿PM折叠，点C落在点C'处，线段MC′交AC于点N，连接AC，当△ANC′是直角三角形时，线段AC′的长度为 　或2　．

【分析】分两种情况讨论，①当∠ANC′＝90°时，先求出CN的长，再得出AN的长，最后利用勾股定理得出结果；②当∠AC′N＝90°时，先得出AM的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
∴BC＝，
①如图，

当∠ANC′＝90°时，
∵点M是BC边的中点，
∴CM＝BM＝＝，
∵∠ACB＝30°，
∴MN＝，∠CMC′＝60°，
由折叠的性质得：
，∠CMP＝∠C′MP＝30°，∠MCP＝∠MC′P＝30°，
∴∠∠MC′P＝∠C′MP，
∴MP＝C′P，
∵∠ANC′＝90°，
∴MN＝＝，
在Rt△MCN中，
CN＝，
∴AN＝AC﹣CN＝4﹣＝，
在Rt△ANC′中，AC'＝＝；
②如图，

当∠AC′N＝90°时，
连接AM，
在Rt△ABM中，
AB＝2，BM＝，
∴AM＝，
由①知，MC＝C′M＝，
在Rt△AC′M中，
＝2，
综上所述，线段AC′的长度为：或2，
故答案为：或2．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换及勾股定理等知识点，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题．
三．解答题（共8小题，满分60分）
15．（6分）计算：
（1）x2﹣2x＝2x﹣4．
（2）．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）（2）先化简负整数指数幂，然后利用平方差公式和二次根式除法计算法则先算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x+4＝0，
分解因式得：（x﹣2）2＝0，
解得：x1＝x2＝2；
（2）原式＝﹣22+（）2+3÷2
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
17．（6分）图①、②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画出一个以AB为边的等腰直角三角形ABC；
（2）在图②中画出一个以AB为边的矩形ABCD，并直接写出矩形ABCD的面积．


【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
（2）根据矩形的定义，画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC，△ABC′即为所求；

（2）如图②中，矩形ABCD即为所求，矩形ABCD的面积＝×2＝10．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（6分）已知，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m．
（1）若图象经过原点，求m的值；
（2）若图象的对称轴是y轴，求m的值；
（3）若图象的顶点在x轴上，求m的值．
【分析】（1）图象过原点意味着解析式中的c＝0；
（2）对称轴为x＝﹣＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m，
∴a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，
（1）若图象经过原点，则c＝0，
∴﹣m＝0，
∴m＝0；

（2）若图象的对称轴是y轴，即x＝0，
∴x＝﹣＝0，
∴＝0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点；②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
19．（8分）某校随机抽取了50名九年级学生进行立定跳远水平测试，并把测试成绩（单立：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩频数分布表

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　8　，b＝　20　，样本成绩的中位数落在 　2.0≤x＜2.4　范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级组共有1200名学生，请估计该校九年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

【分析】（1）根据频数分布直方图可知a的值，然后根据题目中随机抽取该年级50名学生进行测试，可以求得b的值，根据中位数的定义可得答案；
（2）根据（1）中b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以算出该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，a＝8，
b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
∵有50个数据，
∴样本位数是第25，26个数的平均数，
由频数分布直方图可知，第25，26个数都在2.0≤x＜2.4范围内，
∴样本成绩的中位数落在2.0≤x＜2.4范围内；
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b＝20，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）1200×＝240（人），
答：估计该校九年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把点A和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x；

（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO＝4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP＝×4h＝8，
解得h＝4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x＝4，
解得x＝﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x＝﹣4，
解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．
21．（8分）合肥百货大楼以进价120元/件购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在如表中的数量关系：
每件销售价格/元
130
135
140
…
180
…
日销售量/件
70
65
60
…
a
…
（1）请你观察表格中数据的变化规律，填写表中的a值为 　20　．
（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？
（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式．
【分析】（1）由130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200 可知每件的售价与产品的日销量之和为200，然后求出a；
（2）设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）元，根据该商品柜组想日盈利达到1600元列出方程求解；
（3）当销售该种商品m件时，定价为：（200﹣m）元，销售该种商品n件时，定价为：（200﹣n）元，然后由利润相等列出关系式，得出m、n的关系．
【解答】解：（1）∵130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200，
∴每件的售价与产品的日销量之和为200，
∴a＝200﹣180＝20，
故答案为：20；
.（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，
设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x ）＝1600，
整理得：x2﹣320x+25600＝0，
解得：x1＝x2＝160．
答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；
（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，
∴当销售该种商品m件时，定价为：（200﹣m）元，
销售该种商品n件时，定价为：（200﹣n）元，
由题意得：（200﹣m﹣120）m＝（200﹣n﹣120）n，
整理得：（m﹣n）（m+n﹣80）＝0，
∵m≠n，
∴m+n﹣80＝0，
即m+n＝80．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据已知条件找到等量关系列出关系式．
22．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BE＝﹣AB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．

【分析】（1）通过正方形的性质利用ASA证明△ABE≌ADF，得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，由角之间的关系可得∠AEF＝90°，即可求证；
（2）①过点H作HM⊥BH交BC延长线于M，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质，利用ASA证明△ABH≌△EMH，得到△BHM是等腰直角三角形，EM＝AB，从而得出EM＝BH，即可得出答案；
②连接BG，设BE＝x，则DF＝x，CB＝x+4，FG＝x+3，CG＝x+4﹣3＝x+1，在Rt△ECG中利用勾股定理得出关于x的方程，解之即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）①过点H作HM⊥BH交BC延长线于M，
∴∠BHE+∠EHM＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，
∴AH＝EH，∠AHE＝90°，
∴∠BHE+∠AHB＝90°，
∴∠EHM＝∠AHB，
∵∠ABE＝∠AHE＝90°，四边形ABEH内角和为360°，
∴∠BAH+∠BEH＝180°，
∵∠BEH+∠HEM＝180°，
∴∠BAH＝∠HEM，
在△ABH和△EMH中，
，
∴△ABH≌△EMH（ASA），
∴BH＝HM，EM＝AB，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BM＝BH，
∵BM＝EM+BE＝AB+BE，
∴BE＝BH﹣AB；
②连接BG，设BE＝x，则DF＝x，
∵CE＝4，DG＝3，
∴CB＝x+4，FG＝x+3，CG＝x+4﹣3＝x+1，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF
∴AH垂直平分EF，
∴FG＝EG＝x+3，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EG2＝CG2+EC2，
∴（x+3）2＝（x+1）2+16，
∴x＝2，
∴BE＝2．

【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，过点H作HM⊥BH交BC延长线于M，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质，利用ASA证明△ABH≌△EMH是解题的关键．