安徽省安庆市外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
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这是一份安徽省安庆市外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案),共25页。
安庆市外国语学校22-23学年度第一学期
八年级期中考试数学试卷
一.选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)在平面直角坐标系中,点P(1,﹣1)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(4分)某三角形的三边长分别为3,6,x,则x可能是( )
A.3 B.9 C.6 D.10
3.(4分)点M(﹣2,y1),N(3,y2)是函数图象上两点,则y1与y2的大小关系( )
A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法确定
4.(4分)如图,围棋棋盘放在某平面直角坐标系内,已知黑棋(甲)的坐标为(﹣2,2),黑棋(乙)的坐标为(﹣1,﹣2),则白棋(甲)的坐标是( )
A.(2,2) B.(0,1) C.(2,﹣1) D.(2,1)
5.(4分)具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B=2∠C
C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=2∠B=2∠C
6.(4分)下列四个命题中,真命题有( )
①内错角一定相等;②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2;③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;④若a2=b2,则a=b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(4分)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,0),且当x>2时,y>0,则该函数图象所经过的象限为( )
A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四
8.(4分)如图,AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,连接BE、CE,若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.(4分)直线l1:y=kx与直线l2:y=x﹣k在同一坐标系中的图象大致是( )
10.(4分)如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论:
①∠DBE=∠F;
②2∠BEF=∠BAF+∠C;
③∠F=(∠BAC﹣∠C);
④∠BGH=∠ABE+∠C
其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)函数中,自变量x的取值范围是 .
12.(5分)在△ABC中,∠A=35°,∠B=45°,则∠C为 .
13.(5分)函数y=﹣x+3的图象上有一点P,使得P点到x轴的距离等于1,则点P的坐标为 .
14.(5分)如图,直角坐标系中,点P(t,0)是x轴上的一个动点,过点P作y轴的平行线,分别与直线y=x,直线y=﹣x交于A,B两点,以AB为边向右侧作正方形ABCD.
(1)当t=2时,正方形ABCD的周长是 .
(2)当点(2,0)在正方形ABCD内部时,t的取值范围是 .
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.(8分)如图,已知单位长度为1的方格中有个△ABC.
(1)请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′.
(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出),
然后写出点B、点B′的坐标:B( , );B′( , )
16.(8分)补充完成下列证明过程,并填上推理的依据.
已知:如图,∠BEC=∠B+∠C.求证:AB∥CD.
证明:延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C.( )
又∵∠BEC=∠B+∠C,
∴∠B= ,(等量代换)
∴AB∥CD. ( )
17.(8分)已知一次函数的图象经过点(﹣4,﹣9),(3,5)和(a,6),求a的值.
18.(8分)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,AE是BC边上的高.
(1)若∠ACB=100°,求∠CAE的度数;
(2)若S△ABC=12,CD=4,求高AE的长.
19.(10分)在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(ax+y,x+ay),则称点B是点A的“a级开心点”(其中a为常数,且a≠0),例如,点P(1,4)的“2级开心点”为Q(2×1+4,1+2×4),即Q(6,9).
(1)若点P的坐标为(﹣1,2),则点P的“3级开心点”的坐标为 ;
(2)若点M(m﹣1,2m)的“﹣3级开心点”N位于y轴上,求点N的坐标.
20.(10分)2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心,也增强了大家的防护意识,因此,日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要.某社区为防控疫情传播,保障社区人员的生命安全,计划购买大量消毒液用于日常消毒.经了解,甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下:甲公司规定:每瓶消毒液一律按标价的八五折出售;乙公司规定:每瓶消毒液按标价出售,若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折.已知每瓶消毒液的标价为10元,若该社区计划购买消毒液共x(x>20)瓶,购买甲公司消毒液所需费用为y1元,购买乙公司消毒液所需费用为y2元.
(1)分别求y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)若该社区计划购买消毒液共65瓶,则选择哪一家销售公司比较合算?
21.(12分)如图所示,直线l1:y=﹣x+b,过点A(﹣3,0),交y轴于点B,将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C,已知直线l3:y=﹣x+b与直线l1交于点D,且过点C,连接AC.
(1)求直线l3的解析式和点D的坐标;
(2)直接写出关于x的不等式﹣x+b>x+c的解集;
(3)求△ACD的面积.
22.(12分)如图①,凹四边形ABCD形似圆规,这样的四边形称为“规形”,
(1)如图①,在规形ABCD中,若∠A=80°,∠BDC=130°,∠ACD=30°,则∠ABD= °;
(2)如图②,将△ABC沿DE,EF翻折,使其顶点A,B均落在点O处,若∠CDO+∠CFO=72°,则∠C= °;
(3)如图③,在规形ABCD中,∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E,且∠B>∠C,试探究∠B,∠C,∠E之间的数量关系,并说明理由.
23.(14分)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车比乙车早出发1小时,甲车从B地出发,先驶向A地,到达A地后立即掉头按原速经B地驶向C地,乙车从C地出发驶向A地,两车匀速行驶.在此过程中,两车之间的路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题:
(1)甲车行驶速度是 千米/时,B,C两地的路程是 千米,图中的( )内应填的数为 ;
(2)求甲车从B地驶向A地的过程中,y与x之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围);
(3)乙车出发后多少小时,两车相距160千米的路程?请直接写出答案.
安庆市外国语学校22-23学年度第一学期
八年级期中考试数学试卷 参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.(4分)在平面直角坐标系中,点P(1,﹣1)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限.
【解答】解:∵点P的横坐标是正数,纵坐标是负数,
∴点P(1,﹣1)在第四象限,
故选:D.
【点评】本题主要考查点的坐标,熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键,第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是(+,+)、(﹣,+)、(﹣,﹣)、(+,﹣).
2.(4分)某三角形的三边长分别为3,6,x,则x可能是( )
A.3 B.9 C.6 D.10
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,先求出x的取值范围,再根据取值范围选择.
【解答】解:∵3+6=9,6﹣3=3,
∴3<x<9.
故选:C.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系,即三角形任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
3.(4分)点M(﹣2,y1),N(3,y2)是函数图象上两点,则y1与y2的大小关系( )
A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法确定
【分析】由k=﹣<0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小,再结合﹣2<3即可得出结论.
【解答】解:∵k=﹣<0,
∴y随x的增大而减小,
又∵﹣2<3,
∴y1>y2.
故选:A.
【点评】本题考查了一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.
4.(4分)如图,围棋棋盘放在某平面直角坐标系内,已知黑棋(甲)的坐标为(﹣2,2),黑棋(乙)的坐标为(﹣1,﹣2),则白棋(甲)的坐标是( )
A.(2,2) B.(0,1) C.(2,﹣1) D.(2,1)
【分析】先利用黑棋甲的坐标为(﹣2,2)画出直角坐标系,然后可写出白棋(甲)的坐标.
【解答】解:建立如图所示的平面直角坐标系:
白棋(甲)的坐标是(2,1).
故选:D.
【点评】本题考查了坐标确定位置:平面内的点与有序实数对一一对应;记住平面内特殊位置的点的坐标特征.
5.(4分)具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B=2∠C
C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=2∠B=2∠C
【分析】根据三角形的内角和是180°,分别求出每个三角形中∠A、∠B、∠C的度数各是多少,判断出不是直角三角形的是哪个即可.
【解答】解:∵∠A+∠B=∠C,
∴∠C=180°÷2=90°,
∴△ABC是直角三角形,
∴选项A不符合题意;
∵∠A=∠B=2∠C,
∴∠C=180°÷(2+2+1)=36°,∠A=∠B=36°×2=72°,
∴△ABC不是直角三角形,
∴选项B符合题意;
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,
∴∠A=180°×=30°,∠B=30°×2=60°,∠C=30°×3=90°,
∴△ABC是直角三角形,
∴选项C不符合题意;
∵∠A=2∠B=2∠C,
∴∠A=180°×=90°
∴选项D不符合题意.
故选:B.
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是180°.
6.(4分)下列四个命题中,真命题有( )
①内错角一定相等;②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2;③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;④若a2=b2,则a=b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质、乘方法则判断.
【解答】解:两直线平行,内错角相等,①是假命题;
如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2,②是真命题;
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,③是真命题;
若a2=b2,则a=±b,④是假命题;
故选:B.
【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
7.(4分)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,0),且当x>2时,y>0,则该函数图象所经过的象限为( )
A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四
【分析】根据题意画出函数大致图象,根据图象即可得出结论.
【解答】解:如图,∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,0),且当x>2时,y>0,
∴该函数图象所经过一、三、四象限,
故选:C.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,数形结合是解题的关键.
8.(4分)如图,AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,连接BE、CE,若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可.
【解答】解:∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,
∵点E是AD的中点,
∴S△ABE=S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△CAE=S△ACD,
∵S△ABE=S△ABC,S△CDE=S△ABC,
∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4;
∴阴影部分的面积为4,
故选:B.
【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换,三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此题难度不大.
9.(4分)直线l1:y=kx与直线l2:y=x﹣k在同一坐标系中的图象大致是( )
【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质,分析得出即可.
【解答】解:A、由y=kx经过第二、四象限,则k<0,y=x﹣k与y轴交于负半轴,则﹣k<0,则k>0,故此选项错误;
B、由y=kx经过第二、四象限,则k<0,y=x﹣k与y轴交于正半轴,则﹣k>0,则k<0,故此选项正确;
C、由y=kx经过第一、三象限,则k>0,y=x﹣k与y轴交于正半轴,则﹣k>0,则k<0,故此选项错误;
D、由y=kx没经过原点,图象不合题意,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数图象的性质,正确得出k的符号是解题关键.
10.(4分)如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论:
①∠DBE=∠F;
②2∠BEF=∠BAF+∠C;
③∠F=(∠BAC﹣∠C);
④∠BGH=∠ABE+∠C
其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
【分析】①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,证明结论正确;
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;
③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C,根据①的结论,证明结论正确;
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确.
【解答】解:①∵BD⊥FD,
∴∠FGD+∠F=90°,
∵FH⊥BE,
∴∠BGH+∠DBE=90°,
∵∠FGD=∠BGH,
∴∠DBE=∠F,
①正确;
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∠BEF=∠CBE+∠C,
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,
∠BAF=∠ABC+∠C,
∴2∠BEF=∠BAF+∠C,
②正确;
③∠ABD=90°﹣∠BAC,
∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC,
∵∠CBD=90°﹣∠C,
∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE,
由①得,∠DBE=∠F,
∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE,
∴∠F=(∠BAC﹣∠C);
③正确;
④∵∠AEB=∠EBC+∠C,
∵∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE+∠C,
∵BD⊥FC,FH⊥BE,
∴∠FGD=∠FEB,
∴∠BGH=∠ABE+∠C,
④正确,
故选:D.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键.
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.(5分)函数中,自变量x的取值范围是 x≥1 .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:由题意得:x﹣1≥0,
解得:x≥1,
故答案为:x≥1.
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
12.(5分)在△ABC中,∠A=35°,∠B=45°,则∠C为 100° .
【分析】根据三角形内角和定理,由∠A+∠B+∠C=180°,得∠C=100°.
【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣35°﹣45°=100°.
故答案为:100°.
【点评】本题主要考查三角形内角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
13.(5分)函数y=﹣x+3的图象上有一点P,使得P点到x轴的距离等于1,则点P的坐标为 (2,1)或(4,﹣1) .
【分析】由点P到x轴的距离为1可得点P纵坐标为1或﹣1,将y=1,y=﹣1代入函数解析式求解.
【解答】解:∵点P到x轴的距离为1,
∴点P纵坐标为y=1或y=﹣1,
将y=1代入y=﹣x+3得1=﹣x+3,
解得x=2,
将y=﹣1代入y=﹣x+3得﹣1=﹣x+3,
解得x=4,
∴点P坐标为(2,1)或(4,﹣1),
故答案为:(2,1)或(4,﹣1).
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解题关键是掌握一次函数与方程的关系.
14.(5分)如图,直角坐标系中,点P(t,0)是x轴上的一个动点,过点P作y轴的平行线,分别与直线y=x,直线y=﹣x交于A,B两点,以AB为边向右侧作正方形ABCD.
(1)当t=2时,正方形ABCD的周长是 12 .
(2)当点(2,0)在正方形ABCD内部时,t的取值范围是 t<﹣4或<t<2 .
【分析】(1)根据点P的横坐标利用两条直线的解析式求出PA、PB的长度,再求出正方形的边长AB,然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解;
(2)根据点P的横坐标表示出AB,再分①t<0时,点C的横坐标大于2列出不等式求解即可;②t>0时,点P的横坐标小于2点C的横坐标大于2列出不等式求解即可.
【解答】解:(1)t=2时,PA=×2=1,
PB=|﹣1×2|=2,
∴AB=PA+PB=1+2=3,
∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12;
(2)∵点P(t,0),AB∥y轴,
∴点A(t,t),B(t,﹣t),
∴AB=|t﹣(﹣t)|=|t|,
①t<0时,点C的横坐标为t﹣t=﹣t,
∵点(2,0)在正方形ABCD内部,
∴﹣t>2,
解得t<﹣4,
②t>0时,点C的横坐标为t+t=t,
∵点(2,0)在正方形ABCD内部,
∴t>2,且t<2,
解得t>且t<2,
∴<t<2,
综上所述,t<﹣4或<t<2.
故答案为:(1)12;(2)t<﹣4或<t<2.
【点评】本题是一次函数综合题型,主要利用了一次函数图象上点的坐标特征,正方形的性质,难点在于(2)要根据点P的位置分情况讨论.
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.(14分)如图,已知单位长度为1的方格中有个△ABC.
(1)请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′.
(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出),
然后写出点B、点B′的坐标:B( 1 , 2 );B′( 3 , 5 )
【分析】(1)把3个顶点向上平移3个单位,再向右平移2个单位,顺次连接各个顶点即可;
(2)以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系,找到所求点的坐标即可.
【解答】解:(1)如图可得△A′B′C′.
(2)如上图,以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,则B(1,2);B′(3,5).
【点评】在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同,注意上下移动改变点的纵坐标,下减,上加.
16.(12分)补充完成下列证明过程,并填上推理的依据.
已知:如图,∠BEC=∠B+∠C.求证:AB∥CD.
证明:延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C.( 三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和 )
又∵∠BEC=∠B+∠C,
∴∠B= ∠EFC ,(等量代换)
∴AB∥CD. ( 内错角相等,两直线平行 )
【分析】延长BE交CD于点F,利用三角形外角的性质可得出∠BEC=∠EFC+∠C,结合∠BEC=∠B+∠C可得出∠B=∠EFC,利用“内错角相等,两直线平行”可证出AB∥CD,即可得出结论.
【解答】证明:延长BE交CD于点F.则∠BEC=∠EFC+∠C.(三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和).
又∵∠BEC=∠B+∠C,
∴∠B=∠EFC,(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
故答案为:三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和,∠EFC,内错角相等,两直线平行.
【点评】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质,利用各角之间的关系,找出∠B=∠EFC是解题的关键.
17.(12分)已知一次函数的图象经过点(﹣4,﹣9),(3,5)和(a,6),求a的值.
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b,将点(﹣4,﹣9),(3,5)两点坐标代入,列方程组可求一次函数解析式;将点(a,6)代入所求解析式中,可求a的值.
【解答】解:设一次函数解析式为y=kx+b,
依题意,得,
解得,
∴一次函数解析式为y=2x﹣1;
将点(a,6)代入y=2x﹣1中,得2a﹣1=6,
解得a=
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特点.关键是求出一次函数解析式.
18.(10分)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,AE是BC边上的高.
(1)若∠ACB=100°,求∠CAE的度数;
(2)若S△ABC=12,CD=4,求高AE的长.
【分析】(1)根据三角形高的定义和三角形的内角和解答即可;
(2)根据三角形的面积公式和中线的性质解答即可.
【解答】解:(1)∵AE是BC边上的高,
∴∠E=90°,
又∵∠ACB=100°,∠ACB+∠ACE=180°,
∴∠ACE=80°,
∵∠CAE+∠ACE+∠E=180°
∴∠CAE=180°﹣90°﹣80°=10°;
(2)∵AD是BC上的中线,DC=4,
∴D为BC的中点,
∴BC=2DC=8,
∵AE是BC边上的高,S△ABC=12,
∴S△ABC=BC•AE,
即×8×AE=12,
∴AE=3.
【点评】此题考查三角形的面积,关键是根据三角形的面积和中线的性质解答.
19.(10分)在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(ax+y,x+ay),则称点B是点A的“a级开心点”(其中a为常数,且a≠0),例如,点P(1,4)的“2级开心点”为Q(2×1+4,1+2×4),即Q(6,9).
(1)若点P的坐标为(﹣1,5),则点P的“3级开心点”的坐标为 (2,14) ;
(2)若点M(m﹣1,2m)的“﹣3级开心点”N位于y轴上,求点N的坐标.
【分析】(1)根据关联点的定义,结合点的坐标即可得出结论.
(2)根据关联点的定义和点M(m﹣1,2m)的“﹣3级关联点”N位于y轴上,即可求出N的坐标.
【解答】解:(1)3×(﹣1)+5=2;﹣1+3×5=14,
∴若点P的坐标为(﹣1,5),则它的“3级关联点”的坐标为(2,14).
故答案为:(2,14);
(2)∵点M(m﹣1,2m)的“﹣3级关联点”为N(﹣3(m﹣1)+2m,m﹣1+(﹣3)×2m),
∵N位于y轴上,
∴﹣3(m﹣1)+2m=0,
解得:m=3
∴m﹣1+(﹣3)×2m=﹣16,
∴N(0,﹣16).
综上所述,点N的坐标为(0,﹣16).
【点评】本题考查点的坐标,“关联点”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
20.(8分)2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心,也增强了大家的防护意识,因此,日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要.某社区为防控疫情传播,保障社区人员的生命安全,计划购买大量消毒液用于日常消毒.经了解,甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下:甲公司规定:每瓶消毒液一律按标价的八五折出售;乙公司规定:每瓶消毒液按标价出售,若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折.已知每瓶消毒液的标价为10元,若该社区计划购买消毒液共x(x>20)瓶,购买甲公司消毒液所需费用为y1元,购买乙公司消毒液所需费用为y2元.
(1)分别求y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)若该社区计划购买消毒液共65瓶,则选择哪一家销售公司比较合算?
【分析】(1)由已知条件直接写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)把x=65代入两个解析式即可判断.
【解答】解:(1)由题意知,y1=10×0.85x=8.5x,
当0≤x≤20时,y2=10x,
当x>20时,y2=10×20+0.7×10(x﹣20)=7x+60,
;
(2)当x=65时,y1=8.5×65=552.5,
y2=7×65+60=515,
∵552.5>515,
∴选择乙销售公司比较合算.
【点评】本题主要考查一次函数的应用,关键是根据已知条件写出从甲、乙两个销售公司购买的函数解析式.
21.(8分)如图所示,直线l1:y=﹣x+b,过点A(﹣3,0),交y轴于点B,将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C,已知直线l3:y=x+c与直线l1交于点D,且过点C,连接AC.
(1)求直线l3的解析式和点D的坐标;
(2)直接写出关于x的不等式﹣x+b>x+c的解集;
(3)求△ACD的面积.
【分析】(1)根据待定系数法求得直线l1的解析式,根据平移的规律求得直线l2的解析式,即可求得C点的坐标,代入y=x+c求得c的值,然后解析式联立即可求得D的坐;
(2)观察图像可得不等式解集;
(3)由直线l1:y=﹣x﹣4得到直线l1与y轴的交点,然后根据两个三角形面积的差即可求得.
【解答】解:(1)∵直线l1:y=﹣x+b,过点A(﹣3,0),
∴0=4+b,
∴b=﹣4,
∴直线l1为y=﹣x﹣4,
将直线l1向上平移6个单位长度,得直线l2:y=﹣x+2,
令x=0,则y=2,
∴C(0,2),
∵点C在直线l3:y=x+c上,
∴c=2,
∴直线l3的解析式为y=x+2;
解得,
∴D(﹣,﹣2);
(2)由图像可得不等式的解集:x<﹣
(3)∵直线l1:y=﹣x﹣4,交y轴于点B,
∴B(0,﹣4),
∴BC=6,
∴S△ACD=S△ABC﹣S△BCD=3﹣×=.
【点评】本题考查了直线交点的性质、待定系数法的应用,直线平移的特点等,熟练掌握函数的性质是本题的关键;
22.(8分)如图①,凹四边形ABCD形似圆规,这样的四边形称为“规形”,
(1)如图①,在规形ABCD中,若∠A=80°,∠BDC=130°,∠ACD=30°,则∠ABD= 20 °;
(2)如图②,将△ABC沿DE,EF翻折,使其顶点A,B均落在点O处,若∠CDO+∠CFO=72°,则∠C= 54 °;
(3)如图③,在规形ABCD中,∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E,且∠B>∠C,试探究∠B,∠C,∠E之间的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)连接AD,并延长到点E,知∠3=∠1+∠B、∠4=∠2+∠C,相加可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,据此可得答案;
(2)由折叠的性质可得∠A=∠DOE,∠B=∠EOF,可得∠DOF=∠A+∠B,由三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°﹣∠C,即可求∠C的度数;
(3)由(1)知∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,根据角平分线知∠3=∠BDC=(∠BAC+∠B+∠C),结合∠E=∠5﹣∠3、∠5=∠1+∠B,根据∠E=∠1+∠B﹣∠3可得答案.
【解答】解:(1)如图1,连接AD,并延长到点E,
则∠3=∠1+∠B、∠4=∠2+∠C,
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,
∵∠A=80°,∠BDC=130°,∠ACD=30°,
∴∠ABD=∠BDC﹣∠BAC﹣∠ACD=20°,
故答案为:20;
(2)∵将△ABC沿DE,EF翻折,顶点A,B均落在点O处,
∴∠A=∠DOE,∠B=∠EOF,
∴∠DOF=∠A+∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠B=180°﹣∠C,
∵∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°﹣∠C,
∴∠C+72°=180°﹣∠C,
∴∠C=54°.
(3)∠E=∠B﹣∠C.
理由:如图3,
由(1)知∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,
∵DE平分∠BDC,
∴∠3=∠BDC=(∠BAC+∠B+∠C),
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠BAC,
∵∠E=∠5﹣∠3,∠5=∠1+∠B,
∴∠E=∠1+∠B﹣∠3
=∠BAC+∠B﹣∠BDC
=∠BAC+∠B﹣(∠BAC+∠B+∠C)
=∠B﹣∠C,
即∠E=∠B﹣∠C.
【点评】本题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,角平分线的性质,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
23.(8分)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车比乙车早出发1小时,甲车从B地出发,先驶向A地,到达A地后立即掉头按原速经B地驶向C地,乙车从C地出发驶向A地,两车匀速行驶.在此过程中,两车之间的路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题:
(1)甲车行驶速度是 100 千米/时,B,C两地的路程是 500 千米,图中的( )内应填的数为 1 ;
(2)求甲车从B地驶向A地的过程中,y与x之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围);
(3)乙车出发后多少小时,两车相距160千米的路程?请直接写出答案.
【分析】(1)利用路程÷时间=速度可得出甲的速度;由图象可直接得出B,C两地的路程的距离;由甲比乙早出发1小时,可得出图中的数;
(2)设线段D,E所在直线的解析式,代入点D(0,500),E(1,600)的坐标,解方程组即可;
(3)根据路程÷时间=路程,由此可得出乙行驶的速度,根据相遇问题看得出点F的坐标,进而可得出EF,FM所在直线的解析式,令y=160即可得出答案.
【解答】解:(1)甲的速度为:(600﹣500)÷1=100(km/h);
当x=0时,y=500,
∴B,C两地的路程为500千米;
甲比乙早出发1小时,
故答案为:100,500,1;
(2)设甲车从B地驶向A地的过程中的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
把(0,500),(1,600)代入y=kx+b,得,解得.
∴甲车从B地驶向A地的过程中的函数解析式为y=100x+500;
(3)由图象可知,乙从C地到A地用时6﹣1=5(小时),
∴乙的速度为:600÷5=120(km/h),
∴设甲乙相遇时,乙行驶的时间为:600÷(120+100)=(小时),
∴F(,0),
∴EF的解析式为:y=﹣220x+820,
FM的解析式为:y=220x﹣820,
令y=﹣220x+820=160,解得x=3;
令y=220x﹣820=160,解得x=;
∴3﹣1=2,﹣1=;
∴乙车出发后2或小时,两车相距160千米的路程.
【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.
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